真glrac半群的结构_刘海军.pdf
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1、山东大学学报(理学版)年 月 第 卷 第 期:(),:山东大学科技期刊社版权所有:收稿日期:;网络出版时间:网络出版地址:基金项目:国家自然科学基金资助项目()第一作者简介:刘海军(),男,博士研究生,研究方向为半群代数理论:通信作者简介:郭小江(),男,教授,博士,研究方向为半群代数理论:文章编号:():真 半群的结构刘海军,郭小江(江西师范大学数学与统计学院,江西 南昌;韶关学院数学与统计学院,广东 韶关)摘要:引入 半群胚的概念,利用幺半群在真 半群胚的左作用给出真 半群一个结构定理。作为应用,研究了真左 半群的构造。关键词:半群;半群胚;幺半群中图分类号:文献标志码:引用格式:刘海军,
2、郭小江真 半群的结构 山东大学学报(理学版),():,(,;,):,:;引言 半群是,和 提出并研究的一类半群。从泛代数的观点来看,这类半群是满足若干等式的(,)型代数;另一方面,半群是逆半群的非正则推广,被称为广义正则半群,因此也是左限制半群,左 半群以及左 半群的共同推广。于是,作者及其他学者分别从结构、同余、(几乎)左可裂性等方面对 半群开展研究工作,推广了左限制半群、左 半群以及左 半群相应的结果,同时也引入一些新方法,对 半群理论的深入研究有一定学术价值。据文献知,半群 存在最小的既约(,)同余。设,若,蕴含,则 称为真 半群。等在文献中证明了任何 半群都存在真 覆盖,也就是说,每个
3、 半群都是真 半群的(,)满同态象。从这个意义上说,研究真 半群的结构是很有意义的。本文首先给出真 半群的刻画,再以半群胚和幺半群为构件,利用幺半群在真 半群胚的左作用给出真半群的结构定理。作为应用,研究了真左 半群的构造。预备知识本节主要给出 半群的一些基本结果,尚未说明的符号和术语见文献。第 期刘海军,等:真 半群的结构 定义 半群被定义为一类(,)型代数,具体来说是形如(,)的代数,其中(,)构成乘法半群,是 上的一元运算,并且满足以下等式:(),(),()(),()。()称():为 的投射集,()中的每个元素称为 的一个投射。据定义 知,从而 半群的每个投射都是幂等元。由 得,()是
4、的左正则带。于是,投射集()成为 的一个 子半群。若 半群满足 ,则 称为左限制半群;若 半群满足(即任给,),则 为左 半群。特别地,若(),则称 是既约 半群。其本质是幺半群,单位元 是唯一的投射,因为若,则 且()。反之,设 为幺半群,若定义,则不难验证 为既约 半群,因此,下文中既约 半群和幺半群不再加以区分。另外,由于 半群是(,)型代数,因此(,)型代数中子代数,同态、同构以及同余,对 半群来说分别表示(,)子半群、(,)同态和(,)同余。设 为 半群,若同余 满足,则称 为(,)同余。不难验证,商半群 关于一元运算:,构成 半群并且():。若 为既约 半群,则称 为既约(,)同余
5、。由于泛同余 本身就是既约(,)同余,因此,上最小既约(,)同余 存在。下面命题给出 的具体刻画。命题 若 为 半群,则最小的既约(,)同余(,):()(,):()(,):(,()。特别地,若 为左 半群,则 为最小的右消去幺半群同余。证明 据文献定理 和文献命题,只须证明这三者等价。若,则。反过来,设,则()(),从而,我们可得()()()()();另一方面,蕴含,其中。反之,若,则 ,因此,命题证毕。命题 设 是 半群,则 是真 当且仅当,。证明 易知充分性成立。下面仅证必要性。显然,蕴含。反过来,若,则,从而。注意到()(),由于 是真 半群,因此。证毕。下面引入 半群胚和幺半群左作用
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