一道恒等式的几个证法及其推广与应用.pdf
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1、第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.019高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023一道恒等式的几个证法及其推广与应用陈应生(华侨大学数学科学学院,福建泉州36 2 0 2 1)摘要本文针对一个恒等式给出四种不同的证明方法,并对这个恒等式进行推广,最后给出所得结论在解题中的应用。关键词高等数学;中值定理;泰勒公式;创新思维中图分类号0 17 2Proofs for an Identity and Its Extension and Applications(
2、School of Mathematic Science,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)Abstract This paper provides four different proofs for an identity and its generalization,and shows theapplication of the conclusion obtained.Keywords Advanced Mathematics,intermediate value theorem,Taylor formula,innovative think
3、ing1引言高等数学是大学理工类学生必修的一门公共基础数学课程1.2.3,它是其它数学的基础,也是理工类专业课程学习必备的工具,其重要程度不言而喻.相对于高中的初等数学,高等数学无论从概念的抽象程度、知识内容的广度、数学思想的深度都远超高中数学.不少新生进人大学后,在高等数学的学习上遇到困难一个典型的特点就是高等数学的方法和技巧很多,很多学生不能及时掌握在教学中,一题多解是拓宽学生思维、激发学生学习兴趣、挖掘学生学习潜能的重要教学方法4.5.6,数学题目的总结和推广是训练学生举一反三、触类旁通的重要启发式教学方式7。在针对理工类学生的教学过程中,为了提高学生学习的兴趣,吸引学生的注意力,我们经
4、常尝试一题多解一般把一道题目布置给学生,让学生课后思考,下一堂课进行总结归纳.不同的学生有不同的思路,做起来不完全相同,教师也尽量提供收稿日期:2 0 2 2-0 7-2 1基金项目:国家自然科学基金(118 7 12 59),福建省自然科学基金项目(2 0 2 2 J0 130 6);华侨大学教育教学研究项目(HQJGYB2204).作者简介:陈应生(197 6 一),男,福建泉州,硕士,讲师,研究方向,粗糙集与概念格.Email:,文献标识码ACHEN Yingsheng新的解题思路最后,再进行变式和拓展推广,从而在教学过程中培养学生的思维能力和创新能力.本文给出一道高等数学恒等式的四种证
5、明方法,并把问题进一步拓展.2问题与证法题目设函数f()在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,证明存在E(a,b),使得a+b)+(b-a)?f(b)+f(a)=2f().24证法一禾利用拉格朗日中值定理b-aa+b令t,o2F()=f(+t)-f(),a o,注意到o一a=t,由拉格朗日中值定理,存在a.co,使得F(o)-F(a)=F(n)(o-a)=(f(n+t)-f(n)t.对()在区间,n十上再次利用拉格朗日中值定理,存在nnt,使得 f(n t)-f(n)=f()t,所以修改日期:2 0 2 3-0 2-2 1F(o)-F(a)=f(=)t?.又 F(zo)-F(a)=(b)-2
6、f(“)a+bf(6)-2f(b)+(a)=fr(e)(b).2文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 53-0 3,记+f(a),故24222k54证法二利用泰勒中值定理b-aa+b设t,又设f()在o点的泰2.o勒展开式如下,其中在。与之间(a)=(2o)+F(20(-20)+L(-.).2!将=与=b分别代人上述泰勒展开式得f()(a-o),f(a)=f(ao)+f(co)(a-o)+L2!L(P(b-0).f(b)=f(o)+f(o)(b-o)+2!两式相加,并注意到(b一o)=。一a=t,于是有+(f(a)+f(3)(a=)f(a)+f(b)=2 f(a+b)
7、2由于2 min(f(),f()f()+f()2max(f(),()),由介值定理得,存在asb,使得f()+f()=2f(s),从而f(a)+f(b)=2.r(ab)2证法三利用待定系数法设a+bf(b)2f2F()=f()-2f(a十+f(a)2则有 F(a)=0,且a+6F(b)=f(b)-2 f(2由罗尔定理,存在nE(a,b),使得 F(n)=0,即f(n)-f(a+)_(ra)c=0,22从而f(n)一又根据拉格朗日中值定理,有(n)-f(atn)对照(2)式,有C=f(=),再根据(1)式,有(b)-2f(9(a+62证法四利用罗尔定理原命题即证f(b)-2 f(ab)2F()=
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