时间尺度上Nielsen方...对称性导致的两类新型守恒量_孔楠.pdf
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1、第 32 卷第 1 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.12023 年 3 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Mar.2023收稿日期:2022-04-13基金项目:国家自然科学基金(11972241,11572212)作者简介:孔楠(1988),男,河南商丘人,上海杉达学院基础教育部教师。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.01.006时间尺度上 Nielsen 方程的 Mei 对称性导致的两类新型守恒量孔楠1,朱建青2(1.上海杉达学院 基础教育部,
2、上海 201209;2.苏州科技大学 数学科学院,江苏 苏州 215009)摘要:研究时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统 Nielsen 方程的 Mei 对称性,及由 Mei 对称性导致的两类新型 Mei 守恒量。给出系统的 Mei 对称性定义和判据方程,得到系统 Mei 对称性导致的两类新型 Mei 守恒量的条件和形式,并举例说明结果。关键词:时间尺度;Nielsen 方程;Mei 对称性;结构方程;新型 Mei 守恒量中图分类号:O316文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)01-0031-050引言自 1988 年 HILGER 在他的博士论文里首次提出时间尺度的概念,
3、这种将连续和离散统一起来的理论便迅速发展。2004 年,BOHNER M1给出时间尺度上的变分原理,随后该领域就获得诸多典型成果,如时间尺度上的偏微分2,时间尺度上的高阶变分原理3等。诸多学者对动力学系统的研究主要着重于其对称性与守恒量的研究。2000 年,中国学者梅凤翔先生提出了一种形式不变性4,人们称为 Mei 对称性。随着研究的深入,诸多学者在 Lagrange 系统、Nielsen 系统、Birkhoff 系统及 Appell 方程等的 Mei 对称性及其守恒量方面的研究取得了一系列成果5-15。李元成等16研究了完整系统 Nielsen 方程的统一对称性与守恒量;贾利群等17、张美玲
4、等18先后合作研究了 Nielsen 方程的统一对称性与守恒量;而 TORRES D F M19将时间尺度和动力学系统的对称性结合,给出了时间尺度上的 Noether 定理,CAI PINGPING 等20研究了时间尺度上非保守力学系统的 Noether 对称性。2021 年张毅等21研究了时间尺度上非迁移完整力学系统的 Lagrange方程、Nielsen 方程,给出了由时间尺度上非迁移 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程,并借助时间尺度上非迁移Lagrange 方程推导出了时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统的 Nielsen 方程;随后,舒莲莲等22由链式法则建立时间尺度
5、上单自由度的 Nielsen 方程,并给出 Mei 对称性及由 Mei 对称性直接导致的守恒量。本文在前面工作的基础上,给出时间尺度上单自由度非迁移完整力学系统 Nielsen 方程的 Mei 对称性的定义和判据,并得到该方程由 Mei 对称性导致的两种新型结构方程及其相应的两种新型 Mei 守恒量,最后举例说明。1时间尺度上完整系统的单自由度非迁移 Lagrange 方程和 Nielsen 方程对于一般完整力学系统时间尺度上单自由度非迁移 Lagrange 方程为tTq-Tq-tTq=Q,(1)Nielsen 方程为Tq-2Tq-tTq=Q。(2)显然,有E(T)=N(T),(3)其中,T=
6、T(t,q,q)是时间尺度上的动能函数,Q=Q(t,q,q)是广义力,E 称为时间尺度上的欧拉算子32 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年E=tq-q-tq,N 称为时间尺度上的 Nielsen 算子 N=qt-2q-tq,于是(1)式和(2)式可依次分别简写为E(T)=Q,(4)N(T)=Q。(5)2Nielsen 方程的 Mei 对称性及其判据方程引入时间尺度上的无限小变换t=t+0(t,q)+o()q(t)=q(t)+(t,q)+o(),(6)其中,为无限小参数,0,为无限小单参数群变换的生成元。在无限小变换(6)式下,T=T(t,q,q)变为 T=T(t,q,(q),Q=Q(t
7、,q,q)变为 Q=Q(t,q,(q)。类似于文献6中的定义,时间尺度上 Mei 对称性的定义表达如定义 1。定义 1若用变换后的动能函数 T和广义力函数 Q分别依次代替变换前的 T 和 Q 时,方程(5)的形式保持不变,即N(T)=Q,(7)则称这种不变性为单自由度非迁移 Nielsen 方程的 Mei 对称性。展开 T有T=T(t,q,(q)=T(t,q,q)+X(1)(T)+o(2),(8)Q=Q(t,q,(q)=Q(t,q,q)+X(1)(Q)+o(2),(9)其中X(1)=0t+q+(-0q)q。(10)将(8)式、(9)式代入方程(7),忽略 2及其以上高阶小量,并利用方程(5),
8、可得N(X(1)(T)=X(1)(Q),(11)于是有判据:对时间尺度上单自由度非迁移完整系统 Nielsen 方程(5),若无限小变换生成元 0,满足方程(11),则相应的不变性是系统的 Mei 对称性。称方程(11)为 Nielsen 方程(5)的 Mei 对称性的判据方程。3系统 Nielsen 方程 Mei 对称性导致的新型结构方程与新型守恒量命题 1如果时间尺度上的 Nielsen 方程(5)的 Mei 对称性的生成元 0,和规范函数 G1=G1(t,q,q)满足结构方程qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q-qX(1)(Q)+tG1=0,(12)则系统的 Mei 对称性导致的一
9、种守恒量为 I1=X(1)(T)qq+G1=const。(13)证明将(13)式对时间 t 求 导数,并利用(12)得tI1=(X(1)(T)qq+G1)=tX(1)(T)qq+tG1=tX(1)(T)qq+X(1)(T)qq+tG1=tX(1)(T)q(q+q)+X(1)(T)qq+tG1=qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q+tG1-qtX(1)(T)q-X(1)(T)q-tX(1)(T)q()=qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q+tG1-qE(X(1)(T)=qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q+tG1-qN(X(1)(T)=qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q
10、+tG1-qX(1)(Q)=0。方程(12)和(13)是完整系统单自由度非迁移 Nielsen 方程的 Mei 对称性导致的一种新型结构方程和新型守恒量。第 1 期孔楠,等:时间尺度上 Nielsen 方程的 Mei 对称性导致的两类新型守恒量33 推论 1若命题 1 中时间尺度上该系统所受非势广义力为 0,即方程(5)和(11)依次退化为N(T)=0,(14)N(X(1)(T)=0,(15)则其中的结构方程变为qtX(1)(T)q+qtX(1)(T)q+tG1=0,(16)其 Mei 对称性导致的新型守恒量仍为方程(13),I1=X(1)(T)qq+G1=const。证明方法同命题 1,只需
11、在证明过程中将(15)式代入即可。推论 217若命题 1 中的时间尺度为实数域,则其中的结构方程变为 qddtX(1)(T)q+qddt X(1)(T)q-qX(1)(Q)+dG1dt=0,与其相对应的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量为 I1=X(1)(T)qq+G1=const。显然,该推论就是文献17中的命题在单自由度系统下的情形。推论 318若命题 1 中的时间尺度为实数域且系统所受非势广义力为 0,则其中的结构方程变为qddtX(1)(T)q+qddtX(1)(T)q+dG1dt=0,与其相对应的 Mei 对称性导致的 Mei 守恒量仍为 I1=X(1)(T)qq+G1=cons
12、t。显然,该推论就是文献18中的命题在单自由度系统下的情形。命题 2如果时间尺度上完整系统单自由度非迁移 Nielsen 方程(5)的 Mei 对称性的生成元 0,和规范函数 G2=G2(t,q,q)满足条件X(1)(T)t-qX(1)(Q)-X(1)(T)q()q-X(1)(T)q()q+G2=0,(17)则该系统在时间尺度上的 Mei 对称性可直接导致的另一种守恒量是I2=X(1)(T)-qX(1)(T)q+G2=const,(18)证明将 I2对 t 求 导数I2=X(1)(T)-qX(1)(L)q+G2=X(1)(T)-qX(1)(L)q()+G2=X(1)(T)t+X(1)(T)qq
13、+X(1)(T)qq-X(1)(T)q()q-X(1)(T)q()q+G2=X(1)(T)t+X(1)(T)qq+X(1)(T)qq-X(1)(T)q()q-X(1)(T)q+X(1)(T)q()()q+G2=X(1)(T)t+X(1)(T)qq+X(1)(T)qq-X(1)(T)q()q-X(1)(T)qq-X(1)(T)q()q+G2=X(1)(T)t+X(1)(T)qq-X(1)(T)q()q+X(1)(T)q()q-X(1)(T)q()q-X(1)(T)q()q+G2=X(1)(T)t-qE(X(1)(T)+G2-X(1)(T)q()q-X(1)(T)q()q=X(1)(T)t-qN(
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