变量代换方法多 解题轻松又快乐.pdf
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1、2023年第2期河北理科教学研究问题讨论在数学解题中,变量代换是一种常用的重要的数学方法,用代换法通常可以将分散的条件集中起来,或者将条件与结论联系起来,使问题化繁为简、化难为易,特别是在不等式的证明、研究函数的性质以及化简求值中应用较为广泛.变量代换的实质是实施数学中的转化思想,这样就可以变生疏为熟悉、变未知为已知,起到化繁为简、化难为易的效果,从而优化解题过程,这样有利于提高学生分析问题、解决问题的能力.需要注意的是,在进行变换时一定要确保等价.1均值代换例1 若x+y+z=1,且x,y,zR,求证:x2+y2+z213.证明:令x=13+,y=13+,z=13+(+=0),则有x2+y2
2、+z2=13+2+2+213(当且仅当x=y=z=13时取等号).2和差代换例2 已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,求x2-y2的取值范围.解析:设x=m+n,y=m-n,则x2-xy+y2=m2+3n2=1.m2+3n22 3|mn(当且仅当m2=3n2时取等号),-36mn 36.又x2-y2=4mn,-2 334mn2 33,即x2-y2的取值范围是 -2 33,2 33.例3 设a、b、c是三角形三边的长,求证:ab+c-a+bc+a-b+ca+b-c3.分析:待证式的左边分母太复杂,设法减少分母中的元的个数,同时注意到左边为轮换式,当a=b=c时等号成立.证明:设a=x+y,b
3、=y+z,c=z+x(x,y,z0),则有b+c-a=2z,c+a-b=2x,a+b-c=2y,则左边=x+y2z+y+z2x+z+x2y=(x2z+y2x+z2y+y2z+z2x+x2y3x2zy2xz2y3+y2zz2xx2y2=32+32=3.当且仅当x=y=z,即a=b=c时,等号成立.变量代换方法多解题轻松又快乐安徽省灵璧县黄湾中学 华腾飞 234213摘 要:在数学解题中实施转化思想,给出了多种变量代换方法,有一定的实用性.关键词:变量代换;转化思想;方法归纳 272023年第2期河北理科教学研究问题讨论3整体代换例 4设x,y,z0,x+y+z=1,求1x+4y+9z的最小值.分
4、析:注意到x+y+z=1,其它的代数式与之相乘后不会改变其原来的性质,就本题来说,相乘后可得到能利用均值不等式的模式.证 明:1x+4y+9z=(x+y+z)1x+4y+)9z=14+yx+4xy+4zy+9yz+9xz+zx14+2yx4xy+4zy9yz+9xzzx=14+2(2+6+3)=36.当x=16,y=13,z=12时,等号成立.例5 设M是ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是MBC,MAC,MAB的面积.若SABC=1,f(M)=(12,x,y),则1x+4y的最小值为_.解析:若SABC=1,当f(M)=(12,x,y)时,得12+x+y=1,即x
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