由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨_刘可为.pdf
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1、 收稿日期2 0 2 2-0 7-0 2;修改日期2 0 2 2-1 0-3 0 基金项目合肥工业大学课程思政教学改革示范课程项目(K C S Z 2 0 2 1 0 4 7)作者简介刘可为(1 9 7 4-),男,博士,讲师,从事基础数学研究.E-m a i l:k w e i l i u 1 6 3.c o m 通讯作者宁荣健(1 9 6 2-),男,硕士,教授,从事计算数学和大学数学教学研究.E-m a i l:n r j i a n 1 2 6.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C
2、SD e c.2 0 2 2由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨刘可为,宁荣健(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要通过对2 0 2 2年一道全国研究生入学考试数学试题中条件分布的研究,得到随机变量独立性的有关结论,具有一定的理论价值和应用价值.关键词条件分布;密度函数;分布律;分布函数;独立性 中图分类号O 2 1 1.5 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 8 4-0 61 引 言2 0 2 2年全国硕士研究生入学统一考试数学一第1 0题为引例 设X N(0,1),在X=x的条件下,Y N(x,1),则X与Y的相关
3、系数为().(A)1 (B)12 (C)33 (D)22解 由题设可得fX(x)=12e-x22,x .在X=x的条件下,Y N(x,1),则fYX(yx)=12e-(y-x)22,y,所以f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=12e-x2+(y-x)22,-x+,-y0的任意实数x,当X=x时,Z=z(X,Y)的条件密度函数fZX(zx)与x无关,并记fZX(zx)为g(z),则(i)X和Z相互独立,且Z的密度函数fZ(z)=g(z);(i i)Y=y(X,Z)的密度函数为fY(y)=+-fX(x)fZ(z(x,y)z ydx.证(i)记(X,Z)的密度函数为f(x,z),-x+,-z
4、0的任意实数x,f(x,z)=fX(x)fZX(zx)=fX(x)g(z),-z0的任意实数xi,当X=xi时,Z=z(X,Y)的条件分布律与xi无关,并将其记为PZ=zjX=xi=qj,j=1,2,则(i)X和Z相互独立,Z的分布律为PZ=zj=qj,j=1,2,;(i i)记Y=y(X,Z)的取值为y1,y2,yk,Y的分布律为PY=yk=y(xi,zj)=ykpiqj,k=1,2,.证(i)记(X,Z)的分布律为PX=xi,Z=zj=pi j,i=1,2,;j=1,2,.对满足pi0的任意实数xi,pi j=PX=xi,Z=zj=PX=xiPZ=zjX=xi=piqj,j=1,2,;对满
5、足pi=0的任意实数xi,pi j=0,j=1,2,进而对任意的i=1,2,;j=1,2,有pi j=piqj.由于i=1pi=1,得qj=i=1pi j=PZ=zj,j=1,2,故对任意的i=1,2,;j=1,2,58第6期 刘可为,等:由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨PX=xi,Z=zj=PX=xiPZ=zj,所以X和Z相互独立,Z的分布律为PZ=zj=qj,j=1,2,.(i i)由于X和Z相互独立,故(X,Z)的分布律为PX=xi,Z=zj=piqj,i=1,2,;j=1,2,进而得Y的分布律为PY=yk=Py(X,Z)=yk=y(xi,zj)=ykPX=xi,Z=zj=y(x
6、i,zj)=ykpiqj,k=1,2,.定理3 设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数,且z y0,y=y(x,z).X和Y为随机变量,X的分布 律为PX=xi=pi,i=1,2,.如果对满足pi 0的任意实数xi,当X=xi时,Z=z(X,Y)的条件密度函数fZX(zxi)与xi无关,将其记为g(z),则(i)X和Z相互独立,且Z的密度函数fZ(z)=g(z);(i i)Y=y(X,Z)的分布函数为FY(y)=i=1PX=xiPy(xi,Z)y.证(i)记(X,Z)的分布函数 为F(x,z),X的分布函数 为FX(x),Z的 分布函数 为FZ(z),-x+,-z0的任意实数xi,以及-z+
7、,有PX=xi,Zz=PX=xiPZz X=xi=PX=xiz-fZX(txi)dt=PX=xiz-g(t)dt;对满足pi=0的任意实数xi,PX=xi,Zz=0,所以对任意的i=1,2,-z+,PX=xi,Zz=PX=xiz-g(t)dt.由于i=1pi=i=1PX=xi=1,得PZz=z-g(t)dt,故PX=xi,Zz=PX=xiPZz.进而对任意的-x+,-z+,有PXx,Zz=xixPX=xi,Zz=xixPX=xiPZz=PXxPZz,即F(x,z)=FX(x)FZ(z),所以X和Z相互独立,Z的密度函数为fZ(z)=g(z).(i i)由于X和Z相互独立,故有FY(y)=PYy
8、=i=1PX=xi,Yy=i=1PX=xi,y(xi,Z)y=i=1PX=xiPy(xi,Z)y.有了上面相关结论,再来看引例.记z=y-x,z y=10.由于在X=x条件下,YN(x,1),故Z=Y-X=Y-x N(0,1),与x无关,所以由定理1(i)知X和Z相互独立,Z N(0,1).进而由C o v(X,Z)=C o v(X,Y-X)=0,得C o v(X,Y)=DX=1.又Y=X+Z N(0,2),DY=2,所以所求相关系数为C o v(X,Y)DXDY=11 2=22.显然,利用本文结论既不需要利用解法1中难以记住的二维正态分布的密度函数,又避免了解法2中繁杂的计算.3 应用实例例
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