由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨_刘可为.pdf

收稿日期2 0 2 2-0 7-0 2;修改日期2 0 2 2-1 0-3 0 基金项目合肥工业大学课程思政教学改革示范课程项目(K C S Z 2 0 2 1 0 4 7)作者简介刘可为(1 9 7 4-),男,博士,讲师,从事基础数学研究.E-m a i l:k w e i l i u 1 6 3.c o m 通讯作者宁荣健(1 9 6 2-),男,硕士,教授,从事计算数学和大学数学教学研究.E-m a i l:n r j i a n 1 2 6.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨刘可为,宁荣健(合肥工业大学 数学学院,合肥2 3 0 6 0 1)摘 要通过对2 0 2 2年一道全国研究生入学考试数学试题中条件分布的研究,得到随机变量独立性的有关结论,具有一定的理论价值和应用价值.关键词条件分布;密度函数;分布律;分布函数;独立性 中图分类号O 2 1 1.5 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 0 8 4-0 61 引 言2 0 2 2年全国硕士研究生入学统一考试数学一第1 0题为引例 设X N(0,1),在X=x的条件下,Y N(x,1),则X与Y的相关系数为().(A)1 (B)12 (C)33 (D)22解 由题设可得fX(x)=12e-x22,x .在X=x的条件下,Y N(x,1),则fYX(yx)=12e-(y-x)22,y,所以f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=12e-x2+(y-x)22,-x+,-y0的任意实数x,当X=x时,Z=z(X,Y)的条件密度函数fZX(zx)与x无关,并记fZX(zx)为g(z),则(i)X和Z相互独立,且Z的密度函数fZ(z)=g(z);(i i)Y=y(X,Z)的密度函数为fY(y)=+-fX(x)fZ(z(x,y)z ydx.证(i)记(X,Z)的密度函数为f(x,z),-x+,-z0的任意实数x,f(x,z)=fX(x)fZX(zx)=fX(x)g(z),-z0的任意实数xi,当X=xi时,Z=z(X,Y)的条件分布律与xi无关,并将其记为PZ=zjX=xi=qj,j=1,2,则(i)X和Z相互独立,Z的分布律为PZ=zj=qj,j=1,2,;(i i)记Y=y(X,Z)的取值为y1,y2,yk,Y的分布律为PY=yk=y(xi,zj)=ykpiqj,k=1,2,.证(i)记(X,Z)的分布律为PX=xi,Z=zj=pi j,i=1,2,;j=1,2,.对满足pi0的任意实数xi,pi j=PX=xi,Z=zj=PX=xiPZ=zjX=xi=piqj,j=1,2,;对满足pi=0的任意实数xi,pi j=0,j=1,2,进而对任意的i=1,2,;j=1,2,有pi j=piqj.由于i=1pi=1,得qj=i=1pi j=PZ=zj,j=1,2,故对任意的i=1,2,;j=1,2,58第6期 刘可为,等:由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨PX=xi,Z=zj=PX=xiPZ=zj,所以X和Z相互独立,Z的分布律为PZ=zj=qj,j=1,2,.(i i)由于X和Z相互独立,故(X,Z)的分布律为PX=xi,Z=zj=piqj,i=1,2,;j=1,2,进而得Y的分布律为PY=yk=Py(X,Z)=yk=y(xi,zj)=ykPX=xi,Z=zj=y(xi,zj)=ykpiqj,k=1,2,.定理3 设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数,且z y0,y=y(x,z).X和Y为随机变量,X的分布 律为PX=xi=pi,i=1,2,.如果对满足pi 0的任意实数xi,当X=xi时,Z=z(X,Y)的条件密度函数fZX(zxi)与xi无关,将其记为g(z),则(i)X和Z相互独立,且Z的密度函数fZ(z)=g(z);(i i)Y=y(X,Z)的分布函数为FY(y)=i=1PX=xiPy(xi,Z)y.证(i)记(X,Z)的分布函数 为F(x,z),X的分布函数 为FX(x),Z的 分布函数 为FZ(z),-x+,-z0的任意实数xi,以及-z+,有PX=xi,Zz=PX=xiPZz X=xi=PX=xiz-fZX(txi)dt=PX=xiz-g(t)dt;对满足pi=0的任意实数xi,PX=xi,Zz=0,所以对任意的i=1,2,-z+,PX=xi,Zz=PX=xiz-g(t)dt.由于i=1pi=i=1PX=xi=1,得PZz=z-g(t)dt,故PX=xi,Zz=PX=xiPZz.进而对任意的-x+,-z+,有PXx,Zz=xixPX=xi,Zz=xixPX=xiPZz=PXxPZz,即F(x,z)=FX(x)FZ(z),所以X和Z相互独立,Z的密度函数为fZ(z)=g(z).(i i)由于X和Z相互独立,故有FY(y)=PYy=i=1PX=xi,Yy=i=1PX=xi,y(xi,Z)y=i=1PX=xiPy(xi,Z)y.有了上面相关结论,再来看引例.记z=y-x,z y=10.由于在X=x条件下,YN(x,1),故Z=Y-X=Y-x N(0,1),与x无关,所以由定理1(i)知X和Z相互独立,Z N(0,1).进而由C o v(X,Z)=C o v(X,Y-X)=0,得C o v(X,Y)=DX=1.又Y=X+Z N(0,2),DY=2,所以所求相关系数为C o v(X,Y)DXDY=11 2=22.显然,利用本文结论既不需要利用解法1中难以记住的二维正态分布的密度函数,又避免了解法2中繁杂的计算.3 应用实例例1(根据2 0 0 4年全国硕士研究生入学统一考试数学四第2 3题改编)设随机变量X U(0,1),68大 学 数 学 第3 8卷在X=x(0,1)的条件下,Y U(0,x),(i)证明X和YX相互独立;且YX U(0,1);(i i)求Y密度函数fY(y).证法1(i)由于在X=x(0,1)的条件下,Y U(0,x),故fY|X(y|x)=1x,0yx,0,其他,所以f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x)=1x,0yx1,0,其他.令U=X,V=YX,可得X=U,Y=U V,则(x,y)(u,v)=1 0v u=u,由文献2 定理3.7.4可得(U,V)的密度函数为fU V(u,v)=f(u,u v)(x,y)(u,v)=1,0u1,0v1,0,其他,进而得fU(u)=1,0u1,0,其他,fV(v)=1,0v1,0,其他,所以fU V(u,v)=fU(u)fV(v),故U和V相互独立,即X和YX相互独立.由于fV(v)=1,0v1,0,其他,所以V U(0,1),即YX U(0,1).(i i)由于f(x,y)=1x,0yx1,0,其他,所以fY(y)=1y1xdx,0y1,0,其他=-l ny,0y1,0,其他.证法2(i)记z=yx,当0 x1时,z y=1x0.由于在X=x(0,1)的条件下,Y U(0,x),故Z=YX=YxU(0,1),与x无关,所以由定理1(i)知X和Z相互独立,且ZU(0,1),即X和YX相互独立,且YX U(0,1).(i i)由于X和Z相互独立,以及X U(0,1),Z U(0,1),由定理1(i i)知fY(y)=+-fX(x)fZyx 1xdx=1y1xdx,0y1,0,其他=-l ny,0y1,0,其他.例2(根据2 0 1 5年全国硕士研究生入学统一考试数学一第2 2题改编)设随机变量X的分布律为PX=i=p(1-p)i-1,i=1,2,在X=i(i=1,2,)的条件下,78第6期 刘可为,等:由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨PY=i+j X=i=p(1-p)j-1,j=1,2,(i)证明X和Y-X独立同分布;(i i)求Y的分布律.证(i)记z=y-x,z y=10.由于在X=i(i=1,2,)的条件下,PZ=j X=i=PY-X=j X=i=PY=i+j X=i=p(1-p)j-1,j=1,2,与i无关,故由定理2(i)知X和Z相互独立,且Z的分布律为PZ=j=p(1-p)j-1,j=1,2,进而可知X和Z同分布,因此X和Z独立同分布,即X和Y-X独立同分布.(i i)由定理2(i i),得Y的分布律为PY=k=i+j=kPX=iPZ=j=k-1i=1PX=iPZ=k-i=k-1i=1p(1-p)i-1p(1-p)k-i-1=p2k-1i=1(1-p)k-2=(k-1)p2(1-p)k-2,k=2,3,.例3(根据2 0 1 4年全国硕士研究生入学统一考试数学一第2 2题改编)设随机变量X的概率分布为PX=1=PX=2=12,在给定X=i的条件下,随机变量Y服从U(0,i)(i=1,2),(i)证明X和YX相互独立,且YX U(0,1);(i i)求Y的密度函数fY(y).证(i)记z=yx,z y=1x0.由于在给定X=i的条件下,Y服从U(0,i)(i=1,2),故得Z=YX=Yi服从U(0,1),与X的取值无关,所以由定理3(i),X和Z相互独立,且Z U(0,1),即X和YX相互独立,且YX U(0,1).(i i)由于Y=X Z,且X和Z相互独立,X121212 ,Z U(0,1),由定理3(i i)得Y的分布函数为FY(y)=PYy=PX=1PZy+PX=2P2Zy=12PZy+12PZy2 =0,y0,12y+12y2,0y212,121+12y2,12y21,1,y21=0,y0,34y,0y1,12+14y,1y2,1,y2,所以fY(y)=F Y(y)=34,0y1,14,1y2,0,其他.4 结束语本文主要讨论了X和Y为离散型随机变量和连续型随机变量的情形,如果X和Y中出现非离散型88大 学 数 学 第3 8卷随机变量,也非连续型随机变量,是否仍有类似的结论?这个问题还需进一步研究,欢迎各位同仁给于指导,也期盼能共同探讨.致谢 感谢审稿人给出的宝贵意见,感谢唐烁老师对论文的结构等多方面的指导.参 考 文 献1 宁荣健.概率论中有关计算公式的改进J.大学数学,2 0 0 4,2 0(5):7 0-7 3.2 宁荣建,朱士信.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,2 0 2 0:1 0 7-1 0 8.D i s c u s s i o no nt h e I n d e p e n d e n c eo fR a n d o mV a r i a b l e sM o t i v a t e db yaM a t hP r o b l e mi nt h eP o s t g r a d u a t eE n t r a n c eE x a m i n a t i o nL I U K e w e i,N I NGR o n g j i a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,H e F e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,H e f e i 2 3 0 6 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:B ys t u d y i n gac o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o np r o b l e m o ft h eN a t i o n a lE n t r a n c eE x a m i n a t i o nf o rP o s t g r a d u a t e2 0 2 2,s o m er e s u l t so nt h e i n d e p e n d e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sa r eo b t a i n e d.T h er e s u l t sh a v ec e r t a i nt h e o r e t i c a lv a l u ea n da p p l i c a t i o nv a l u e.K e yw o r d s:c o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n;p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n;d i s t r i b u t i o n l a w;d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n;i n d e p e n d e n c e98第6期 刘可为,等:由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨