一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解_张伟诗.pdf
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1、第 44 卷第 1 期 温 州 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2023 年 2 月 Vol.44 No.1 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Feb.2023 一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 张伟诗,张子振,李 婷(安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠 233030)摘 要:研究一类考虑因吸烟患病群体的时滞戒烟模型,该模型包括六个子群体:潜在吸烟者、偶尔吸烟者、吸烟者、临时戒烟者、永久戒烟者和因吸烟患病者以吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞为分岔参数,推导出模型局部渐近稳定和产生 Hopf 分岔的充分条件研究
2、了 Hopf 分岔的方向和分岔周期解的稳定性,利用仿真示例验证了所得结果的正确性 关键词:时滞;戒烟模型;Hopf 分岔;分岔周期解 中图分类号:O175.12 文献标志码:A 文章编号:1674-3563(2023)01-0001-11 DOI:10.3875/j.issn.1674-3563.2023.01.001 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 香烟中含有超过 7 000 种化学物质1,其中有些有毒这些有毒物质几乎影响身体的每一个器官,降低人体健康水平,如增加肺部感染和消化系统溃疡、使本身疾病持续加重、运动期间血液携带的氧气减少等近年来,在中国和世界其他地方,人们逐渐认
3、识到吸烟成瘾已经是一个公共卫生问题,它是癌症和心脏病等非传染性疾病的主要危险因素以中国为例,根据世界卫生组织于 2019 年 7 月 26 日发布的全球烟草流行报告可知,中国每年有约 100 万人死于与吸烟有关的疾病,约 10 万非吸烟者死于二手烟从全球角度来看,吸烟每年导致全世界约 600 万人死亡2受社交活动的影响,吸烟就像传染病一样在人与人之间持续传播为此,国内外一些学者基于传染病原理,通过构建微分方程模型,研究吸烟行为的动力学性质Garsow 等提出了基本的 PSQ(Potential Smokers-Smokers-Quit Smokers)戒烟模型3,在该戒烟模型中,Garsow
4、等把群体分为潜在吸烟者、吸烟者和戒烟者等三个子群体随后,考虑到成功戒烟者由于生活工作压力等原因再次复吸,Sharomi 等在 PSQ 戒烟模型中,引入临时戒烟者子群体,提出了 PSQtQp(Potential Smokers-Smokers-Temporary Quit Smokers-Permanent Quit Smokers)戒烟模型4 后来,在 PSQ 和 PSQtQp戒烟模型的基础上,一些学者又提出并研究了不同类型的戒烟模型,如随机戒烟模型5、分数阶戒烟模型6-7、具有阶段结构的戒烟模型8-9等但以上戒烟模型均未考虑吸烟对身体健康的影响 最近,Hussain 等10提出了如下考虑因吸
5、烟患病的戒烟模型:收稿日期:2022-01-11 基金项目:国家自然科学基金项目(12001001);安徽省自然科学基金项目(2008085QA09);安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2021A0486)作者简介:张伟诗(1999),男,安徽阜阳人,硕士研究生,研究方向:动力系统稳定性、分岔等研究 参见:2019 年全球烟草流行报告EB/OL.https:/apps.who.int/iris/bitstream/handle/10665/326043/97892 41516204-eng.pdf.温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 1 期 2 1122d()()()()d
6、d()()()()()dd()()()()()()()dd()()()()(1)()dd()()()dd()()()()dttttppP tP t S tP ttO tP t S tO ttS tO tS t Q tS tS ttQ tS t Q tQ tS ttQ tS tQ ttX tS tX tt=-|=-+|=+-+-|=-+-|=-|=-+|,(1)其中,()P t,()O t,()S t,()tQ t,()pQ t和()X t分别表示潜在吸烟者、偶尔吸烟者、吸烟者、暂时戒烟者、永久戒烟者和因吸烟患病者在时刻t的数量为潜在吸烟者的常数输入率,为潜在吸烟者和吸烟者之间的接触率,为每个子
7、群体的自然死亡率,1为偶尔吸烟者向吸烟者的转化率,2为临时戒烟者与吸烟者接触复吸的概率,为吸烟者的戒烟率,为永久戒烟者在所有戒烟者中所占的比率,(1)-为临时戒烟者在所有戒烟者中所占的比率,为吸烟者因吸烟患病的比率,为吸烟患病者因病死亡率Hussain 等假设吸烟者患病是瞬时发生的,研究了模型的全局渐近稳定性,并提出了控烟策略在现实生活中,吸烟者由慢性病阶段转化为急性病阶段会存在一定的时间间隔,即吸烟者在t时刻开始吸烟,经过时间周期后在t时刻转化患病从而威胁生命健康本文在文献10提出的模型基础上,引入吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞,研究如下时滞戒烟模型:1122d()()()()dd()(
8、)()()()dd()()()()()()()dd()()()()(1)()dd()()()dd()()()()dttttppP tP t S tP ttO tP t S tO ttS tO tS t Q tS tS ttQ tS t Q tQ tS ttQ tS tQ ttX tS tX tt=-|=-+|=+-+-|=-+-|=-|=-+|,(2)其中,为吸烟者因吸烟患病经历的时间周期时滞本文主要研究对模型(2)稳定性的影响 1 Hopf 分岔的存在性 根据文献10的分析可知,如果基本再生数1011()()=+R,则模型(2)存在唯一吸烟平衡点*(,)t*p*E P O S QQX,其中,
9、张伟诗等:一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 3*PS=+,*1*()()=+SOS,*2*(1)tSQS-=+,*pSQ=,*SX=+*S是方程22*1*00+=l Sl Sl的正根,其中,011()()=+-l,1122112()()()(1)()=+-+-l,221()()l =+.模型(2)在吸烟平衡点*(,)t*p*E P O S QQX处的雅可比矩阵为:012eJMM=+,其中,11132122233233341434453556600000000000000000000000aaaaaaaaMaaaaa|=|,332630 000 0 00 000 0 00 00 0 00 000
10、 0 00 000 0 00 00 0 0bMb|=|,这里,11*()aS=-+,13*aP=-,21*aS=,221()a=-+,23*aP=,321a=,332*()taQ=-+,342*aS=,33b=-,432*(1)taQ=-,442*()aS=-+,53a=,55a=-,66()a=-+,63b=相应的特征方程为:654321514131211105432252423222120()e0-+=,(3)其中,105566112233441321324411223443()a aa a a aa a a aa a a a=+-,1134432255661122552266556644
11、5544665566112233132132445566112211332233()()()()a aa a aaa aa aa aa aa aa aa a aa a aa a aa aa aa a=+-+-+,121122331321324455664455661122331122113322334455446655663443225522665566()()()()()()a a aa a aa+aaa a aa+a+aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a=+-+,133443112255661122334455661321321122334455446655664
12、45566112211332233()()()()()a aaa+aaa a aa a aa a aaa+aa aa aa aa+aaa aa aa a=+-+-+,141122113322334455446655663443112233445566()()a aa aa aa aa aa aa aa+aaa+aa=+-+,15112233445566()a+aaa+aa=-+,201122445566 33a a a a a b=,213311224455446655664455661122()()ba aa aa aa aa a aa+a=-+,温州大学学报(自然科学版)(2023)第 4
13、4 卷第 1 期 4 221122445544665566445566331122 33445566()()()a+aa aa aa aa a aba a ba+aa=+,233311224455446655661122445566()()ba aa aa aa aa+aa+aa=-+,24331122445566()ba+aa+aa=+,2533b=-当0=时,方程(3)变为:654323534333231300=+,(4)其中,301020=+,311121=+,321222=+,331323=+,341424=+,351525=+由文献11知,当123456,0L L L L L L 分
14、别成立时,则方程(4)所有根均具有负实部即当0=时,模型(1)局部渐近稳定,其中,135L=,35233341L=,35333343531323310L=,3533343543132333430313210010L=,35333435531323334353031323330311000100000L=,630L=当0时,令i=(0)为方程(3)的根,代入方程(3)并分离实部和虚部进行计算,得到关于的代数方程:121086424544434241400+=,(5)其中,22401020=-,224111202221101222=+-,2242122211131014202421232222=-
15、+-+,2243132310121411152125222422222=-+-+,224414241213152325222=-+-+,22451525142=-令2=,则方程(5)变为:654324544434241400+=(6)如果模型(2)所有参数给定,利用 Matlab 软件可以计算出方程(6)的所有根为了给出本文主要结果,假设方程(6)至少存在一个正实根0,那么方程(5)就存在正实根00=对于0,计算得到:100020()1arccos()UU|=|,其中,张伟诗等:一类考虑疾病的时滞戒烟模型周期解 5 108102415250132515231424220()()()U=-+-+
16、612241125132315211422200()-+4112313211024122214200210221220112101020()()+-+-,2102826202502423250232125222402422222212320240212022020()(2)(22)(22)(2).U=+-+-+-+-+对方程(3)左右两边同时求关于的导数,得到:1543215141312116543215141312111065432dd()-+=-+|+432252423222154322524232221205432()+-+,可以得到:01020()dRed()fU-=|,其中65432
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