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韦氏摆的弹性力学分析:圆柱...旋弹簧模型的特色推导与验证_刘天恒.pdf
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1、第 41 卷第 12 期大学物理Vol41 No122022 年 12 月COLLEGEPHYSICSDec 2022收稿日期:20211130;修回日期:2022426基金项目:天津大学本科教育学改革研究项目(基于“力学”及“基础物理学 A”课程的创造性学习模式的引导)资助作者简介:刘天恒(2002),男,浙江嘉兴人,天津大学理学院应用物理学(强基计划)2020 级本科生通信作者:张福林,Email:flzhang tjueducn大学生园地韦氏摆的弹性力学分析:圆柱螺旋弹簧模型的特色推导与验证刘天恒,曹博星,张福林(天津大学 理学院,天津300350)摘要:韦氏摆又称威尔伯福斯摆,是一种特
2、殊的耦合摆,由竖直悬挂的圆柱螺旋弹簧和固连在弹簧末端的物块组成物块有两个自由度:沿弹簧轴线拉伸的位移,绕弹簧中轴线扭转的角位移,在运动时,物块的平动动能和转动动能会发生周期性转化 本文研究了 IYPT2021 第 12 题的韦氏摆,给出了系统的拉格朗日函数,得到了描述耦合现象的运动方程利用圆柱螺旋线的自然坐标系,建立了圆柱螺旋弹簧模型从弹性力学角度出发,进行了微元分析,将圆柱螺旋线的曲率和挠率变化的几何意义与弹簧材料应变的物理意义联系,得到了弹簧弹性势能的解析解其数学计算是严格的,具有一定的普遍性,可推广应用于各类与均质弹簧力学有关的精密计算文中还进行了静力学实验,弹性系数的理论值落在实验值合
3、成标准不确定度的范围内,验证了圆柱螺旋弹簧模型的正确性关键词:韦氏摆;圆柱螺旋弹簧模型;耦合摆;弹性力学;中性层中图分类号:O 321文献标识码:A文章编号:1000-0712(2022)12-0043-07【DOI】1016854/jcnki1000-0712210589韦氏摆又称威尔伯福斯摆,由竖直悬挂的圆柱螺旋弹簧和固连在弹簧末端的物块组成物块有两个广义坐标:在竖直方向偏离平衡位置的位移 z,绕竖直轴偏离平衡位置的角位移,如图 1 所示 系统振动时,若系统参量处于一定范围,可以明显地观察到物块的平动动能和转动动能发生周期性转化图 1韦氏摆示意图3 韦氏摆是中学、大学物理教学中经典的演示实
4、验,目前,文献 1、2 给出了系统唯象的拉格朗日函数模型,描述了耦合的线性特征,测量了唯象系数和耦合现象的拍频周期,基本验证了唯象理论的正确性但是,前述模型的唯象参数并非是通过系统的物理模型推导得出因此,本文建立了圆柱螺旋弹簧的弹性力学模型,分析了弹簧钢材料参数(杨氏模量,剪切模量)和系统几何参量(弹簧线径,轴半径,物块质量等)对弹性势能的影响,给出了圆柱螺旋弹簧弹性势能的解析解,得到了由基本参量描述的唯象参数本文的弹性力学分析可以简洁且精确地描述圆柱螺旋弹簧的力学性质,同时,其方法也可以推广应用于其他均质弹簧的计算1唯象模型本节分析韦氏摆的唯象模型,在小振动的情况下,系统的拉格朗日函数可表示
5、为1 L=12mz2+12J212Kz212D2z(1)其中 K 是弹簧的劲度系数,D 是弹簧的扭转系数,是系统的能量与两个广义坐标的耦合相关的系数,m、J 是与系统动能相关的唯象系数,它们分别是系统竖直方向运动的等效质量和水平方向转动的等44大学物理第 41 卷效转动惯量根据参考文献 2,系统的简正坐标为p=mz+J,q=mzJ(2)其中=12Km+DJ+KmDJ()2+42mJ,=12KmDJ+KmDJ()2+42mJ系统的两个特征频率 1、2分别为1=12Km+DJ+KmDJ()2+42mJ(),2=12Km+DJKmDJ()2+42mJ()(3)为了更清楚地看到系统的能量转化现象,取
6、为系统的两个特征频率差值的一半,即 1=+,2=,调幅函数为Bz(t)=2A12+2A22+2A1A2cos2t()m 2+2(),C(t)=2A12+2A222A1A2cos2t()J 2+2()(4)系统的运动方程为h=Bz(t)cost+z(t),=C(t)sint+(t)(5)其中,A1、A2是系统简正坐标的振幅,相位为z(t)=arctanA1A2()tan(t)A1+A2,(t)=arctanA1A2A1+A2()tan(t)根据式(5),若,系统在 z、方向的振动可视为是一个频率为 的快振动被函数 Bz(t)、C(t)以较慢的频率 2 调幅的结果,即为耦合现象2弹性力学分析拉格朗
7、日函数中的 K、D、取决于弹簧的材料参量和几何参量下文通过弹性力学分析,给出它们的解析解21弹性力学模型本节将建立弹簧直径为 2,总圈数 N=2,长度为 H 的圆柱螺旋弹簧的弹性力学模型图 2弹簧模型示意图如图 1 所示,取系统处在平衡位置时,弹簧轴线的最低点所在的水平面,与弹簧竖直轴线相交的点为原点 O,构造 Oxyz 直角坐标系,其中 x 轴的正方向指向弹簧轴线的最低点,z 轴的正方向竖直向上(如图 2),并在该坐标系中构造参数方程为x=cos,y=sin,z=H,0,(6)的圆柱螺旋线(图 2 中黑实线),是用以确定圆柱螺旋线上某一点的变量,图中仅标注出了 0,中的 一 个 点 作 为
8、示 意 记 曲 线 上 坐 标 为x(),y(),z()()的点为 P(),以其为原点,建立自然坐标系en()为曲线在 P()点法向单位矢量;e()为曲线在 P()点的切向单位矢量;eb()为曲线在 P()点的副法向单位矢量en=cos,sin,0(),et=sin 22+H2,cos 22+H2,H22+H2(),eb=Hsin 22+H2,Hcos 22+H2,22+H2()将杨氏模量为 Y,剪切模量为 G 的材料均匀填充在空间区域(图 2 阴影区域),有et()=0,en()2+eb()2d24,0,(7)即可得到几何参量如上的圆柱螺旋弹簧假设弹簧的材料是线性的,那么悬挂物块后处于平衡位
9、置的弹簧与相同尺寸的空载弹簧是等价的,下文以该模第 12 期刘天恒,等:韦氏摆的弹性力学分析:圆柱螺旋弹簧模型的特色推导与验证45型分析在平衡位置的弹簧是合理的记 k 为式(6)所描述的曲线的曲率,t 为曲线的挠率,L 为曲线的长度显然,弹簧的长度为 L对照广义坐标的定义,若取 z 轴为竖直方向,则 z=H,=当物块的广义坐标变化时,弹簧中的一段弹簧丝会产生以下三种基本的形变:垂直轴线的弯折,沿轴线的拉伸压缩,绕轴线的扭转它们与材料的主应变和剪应变有关以下将讨论这两种应变对弹性势能的贡献在下文的弹性力学分析中,假设系统在运动过程中始终满足条件:2iYmL,2iGmL,i=1,2(8)其中 m为
10、金属材料密度 系统参数满足式(8),意味着弹簧丝中的一维应力波波长远大于弹簧丝长度,可认为此时应力和应变沿轴线方向均匀分布,弹簧丝轴线始终为圆柱螺旋线22材料剪应变的应变能图 3应变能计算图解本节讨论剪应变的应变能对弹性势能的贡献如图 3 所示,任取一个(0,),考虑图 2 中一段长度为 l(lL)的弹簧丝,其两端截面的中心点为P()和 P(1)记该段弹簧丝左端的某一材料面元dS在自然坐标系中的坐标为(en(),eb(),0),产生应变后,其坐标为(en(),eb(),0)因为圆柱螺旋线各点曲率、挠率相等,系统应变均匀,若假设弹簧丝两端的端面分别通过装置和物块相连,使系统在应变前后两端面材料的
11、坐标 en、eb不变,根据对称性,在应变前后,弹簧丝中任意一段微元端面的材料,在微元两端 en()、eb()所在的坐标系上的坐标值也应该是不变的,即en()=en()(9)eb()=eb()(10)同时,根据应变的对称性,en()、eb()所在的坐标平面内的剪应变方向可认为是沿以 O()为圆心的圆周分布的,所以,对于被各 en()、eb()所在平面截得的面积元 dS的坐标都为 en()eb()的柱形微元 如图 3 所示,en是 en()轴的坐标值,eb是 eb()轴的坐标值,其剪应力大小可认为仅与微元自身的参量和参量变化有关,可作为计算应变能的独立微元微元的长度为l(n,b)=l1ken()2
12、+t2e2n+e2b()(11)其中 k 为曲线曲率,t 为曲线挠率,若 kt,即H1,上式可表示为ln=l 1ken()(12)为推导简便,下文推导仅采用近似式(12),其精度已经足够高挠率的绝对值度量了曲线上邻近两点的副法向量之间的夹角对曲线弧长的变化率,如图 3 所示,考虑式(9)、式(10),弹簧参数的应变等效于该段弹簧丝扭转(tl)的角度认为应力沿轴线均匀分布,弹簧丝轴线始终呈圆柱螺旋线 忽略高阶小量,微元对应的应变能为EdS=G e2n+e2b()2ln tl()2dS(13)单位长度弹簧丝剪应变的应变能为EG=1lG e2n+e2b()tl()22lndS=Gt2d464tt+l
13、l()2(14)其中积分区域=en,eb|e2n+e2bd24=16k2d283k2d283k2d21k2d24()32 1k2d24()12为弹簧线径较弹簧丝轴线曲率半径不可忽略时应变能的修正系数:limkd0=123材料主应变的应变能本节讨论主应变的应变能对弹性势能的贡献如图 3 所示,考虑图 2 中一段长度为 l(lL)的弹簧丝和小的主应变,根据应变的对称性,en()eb()坐标平面内各处的主应力方向平行于 O()点曲线如上节选取微元,其应力大小仅与自身的参量和参量变化有关,可作为计算应变能的独立微元认为应力沿轴线均匀分布,弹簧丝轴线始终呈圆柱螺旋线,微元对应的应变能为EdS=Y ln(
14、)22lndS(15)注意到 en()=en(),单位长度弹簧丝主应变的应变能与参量应变量的关系为46大学物理第 41 卷EY=1lY ln()22lndS=Yk2d4128kk+ll()2+Yd28ll()2Yk2d464ll()kk+ll()(16)积分区域如上节,有=16k2d28k2d211k2d24()1,=8k2d211k2d24()为弹簧线径较弹簧丝轴线曲率半径不可忽略时应变能的修正系数,有limkd0=1,limkd0=124总弹性势能与分析本节给出弹簧弹性势能的解析解,根据参数方程(6),系统参量的几何约束关系为()2+H2=L2(17)t=HL2(18)k=2L2(19)按
15、照上文假设,当系统参数满足式(8)所述的条件时,系统应变均匀,有ll=LL(20)此外还需一个约束关系,即任一 en()eb()平面内主应力的合力为 0,有0=YlnlndS(21)联立式(12)、式(17)、式(18)、式(19)、式(20),以弹簧丝长度的应变量的解作为该约束关系,结果为LL=d216k2t2HH1t2d216(22)式(21)意味着,如果只考虑主应变,那么弹簧丝内部必定存在一个主应力为 0 的范围,称为中性层,其内部 ln=0,这一范围可表示为et()=0,en()=kd216,0,(23)根据上文分析,剪应力和主应力方向正交,假定构成弹簧丝的金属材料是线性的,则弹性势能
16、 E 为剪应变和主应变产生的应变能的总和令=t2d216,联立上文公式,仅保留、H 的应变,弹性势能的解为E=EG+EY()L=GLt2d464 1()21k2d216()+HH2+YLk2d4128 1()21k2d216()H222HH()2(24)为通过此结果分析系统最主要的力学性质,假设弹簧参量满足条件:H110,d110(25)舍去三个数量级以上的小量 注意到广义坐标 z、就是H、,系统势能:E=Gkd464L zH()2+Ykd4128L+H2z()2(26)上式中各参量取悬挂物块后系统处在平衡位置时的值,拉格朗日函数可得考虑式(22),可知弹簧丝长度 L 的应变完全可略若弹簧的质
17、量和转动惯量较物块的质量和转动惯量小,但又不能忽略,拉格朗日函数中的 m、J 有如下的解析解:m=m1+m23(27)J=J0+m223(28)其中 m1是物块质量,m2是弹簧质量,J0是物块的转动惯量唯象系数 K、D、的解析解为:K=2Ez2=d432L2G+Y2G()H2L2(29)D=2E2=d432LY2+GY2()H2L2(30)=2Ez=d432LHL2Y2G()(31)其中 K 为弹簧的劲度系数,D 为弹簧的扭转系数,是弹簧耦合的相关系数,定量描述了应变能关于拉伸形变、扭转形变的耦合强度 考虑小振动的对称性,上述解析解中的参量取悬挂物块后系统处在平衡位置时的值在圆柱螺旋弹簧的弹簧
18、丝轴线上,挠率、曲率处处相等,它们与线径 d 的乘积相对 1 来说都为小量这一几何结构的高度对称性使系统的力学性质也表现出高度的对称性 即系统做小振动时,剪应变的应变能几乎完全受挠率的应变影响,主应变的应变能几乎完全受曲率的应变影响,剪变模量 G、杨氏模第 12 期刘天恒,等:韦氏摆的弹性力学分析:圆柱螺旋弹簧模型的特色推导与验证47量 Y 在唯象系数式(29)、式(30)、式(31)中对称的数学地位也表现出了这一高度的对称性3实验验证文献 1、2 验证了韦氏摆的唯象理论和动力学理论,故本文只需验证弹簧理论的正确性 文献 7 给出了 K 和 D 的解析解,它们与上文的式(29)和式(30)仅相
19、差高阶小量,这一小量在本文的实验条件式(25)下已远小于实验的系统误差 所以,本文只验证 的解析解式(31)的正确性31实验原理若系统在 这一自由度上不受外力矩,即E=0(32)系统处在平衡位置时,参数满足=zD(33)条件式(32)可通过仅在弹簧下端悬挂重物来简单实现 测得特定弹簧发生位移 z 时平衡位置的角位移,再通过式(30)计算 D(各参数根据厂家所给出的参数计算),就可以根据式(33)计算,将这一结果与理论值式(31)比较,即可检验 的正确性(a)实验支架示意图(b)测量仪器示意图图 4实验装置示意图32实验过程和结果图 4 所示为实验装置,上方平台通过水平泡调节水平,弹簧上端与金属
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