三个凸集上交替投影的稳定性分析_冯珏翔.pdf
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1、第 卷第 期学报.年 月 .,:三个凸集上交替投影的稳定性分析冯珏翔,何 坤(西华师范大学 数学与信息学院,四川 南充)摘 要:二凸集可行性问题是在 空间中的两个闭凸集的非空交上找到一个点,在 的研究中表明交替投影法是解决这类问题最简单的方法。但是在使用交替投影法解决一些问题时会受到数据的不确定性的影响,增加计算难度,而稳定性在一定程度上可以减小甚至消除这部分影响。和 研究了在两个凸集上的交替投影的稳定性,得到了一些结论。文章将稳定性的部分结论从两个凸集推广到三个凸集上,这可以看作对 和 的稳定性研究成果的拓展。关键词:交替投影法;有限集;稳定性;凸可行问题;凸集中图分类号:文献标志码:文章编
2、号:()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目“群上的凸分析及其在最优与平衡中的应用”()作者简介:冯珏翔(),男,四川乐山人,西华师范大学数学与信息学院硕士研究生,研究方向:优化理论及应用;何坤(),男,四川平昌人,西华师范大学数学与信息学院硕士研究生,研究方向:优化理论及应用。引言交替投影法是解决二凸集可行性问题最常用的方法,文献研究了交替投影的性质和部分不收敛情况。,和 在文献中提出了二凸集的稳定性这一概念,并且在文献中利用扰动的交替投影法对稳定性的条件进行刻画。交替投影的定义如下:定义 给定一个初始点,从 开始的交替投影序列和定义为(),()()。()如果和范数收敛到,那么交替投影是
3、收敛的。文章在文献的基础上,将其交替投影建立在了多集合上,文章将从最简单的多集合,即三个集合的情况来分析其稳定性。我们对原本的交替投影算法进行改变,以适应对多集合稳定性的刻画。下面给出在三个凸集的情况下的新的投影方法。定义 给定一个初始点,三个集合的交替投影序列,定义如下:()()()()()()。当 时,则()退化为()。在文章后续内容中,用,来表示我们使用的投影序列。我们的目标是得到一些条件,使得对于任意的初始点,投影序列,是范数收敛的。文献和给出了部分不收敛的结果。在此基础之上,我们在第一节中给出部分准备知识后,研究以下这种情况下的多集合交替投影的稳定性:,和 被一个强暴露泛函分离,即存
4、在一个 和一个连续线性泛函 使得()()()()且()在 处,强暴露。基本概念和预备知识在本节中,我们介绍相关的概念和引理。令 是实赋范空间,表示其对偶。和 分别表示赋范空间 中的闭单位球和单位球面,对 的一个子集,和一个泛函 在 上有界,令(,);()()。对 和(,),令(,);(),(,);()。显然(,)和(,)是非空闭锥并且(,)是凸的。同时,给出(,)和(,)的另一形式,();(,)()(,),(,)和()是等价的,其中()。同样地,有();(,)()(,),(,)和()是等价的,其中()。定义 令 是 中的一个非空闭凸子集,且,。如果 是在 处 的支撑函数(即()()且有 的序列
5、使得()(),那么 在 处强暴露。有以上成立,那么 是 的强暴露点。引理 令 是 的非空闭凸子集,且,令 使得()()且有 使得()。考虑:(,),的定义为();(,)(,)。当且仅当()在 处强暴露 时,使得()是 的高阶无穷小量。引理 如果(,)使得()是有限的,那么由 函数定义可得,极小值就是最小值。则(,)()。引理 令,()是 中的非空闭凸子集,有()和。假设,(),;()。那么对任意(,)和,都存在 使得(,)。引理 令,()是 中的非空闭凸子集,有()和。假设,(),(,)。那么对任意(,)和,都存在 使得(,)。引理 存在,(,)。令是一个非负的实数序列,满足对任意的 有下列条
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