黎曼猜想分层级的模块化教学设计_周慧琳.pdf
《黎曼猜想分层级的模块化教学设计_周慧琳.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《黎曼猜想分层级的模块化教学设计_周慧琳.pdf(14页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第 31 卷 第 1 期北京电子科技学院学报2023 年 3 月Vol31 No1Journal of Beijing Electronic Science and Technology InstituteMar2023黎曼猜想分层级的模块化教学设计*周慧琳唐子越张艳硕北京电子科技学院,北京市100070摘要:黎曼猜想(或称黎曼假设),是关于黎曼 函数(s)的零点分布的猜想。黎曼猜想于1959 年提出,但依然在技术高速发展的当今社会发挥着重要作用,广泛应用于素数定理、延拓图像、广义相对论、量子力学等领域,当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。针对现有黎曼猜
2、想教学专业性过强、学生难以把握相关内容的现状,本文旨在提出黎曼猜想与其相关知识的分层级模块化教学设计,提供一份针对不同学习阶段、应用各教学模块的黎曼猜想教学设计。黎曼猜想涉及到多方面的知识,如初等数论、解析领域、代数领域及遍历论等,缺乏相关知识铺垫会使黎曼猜想不容易为学生所理解,故我们从各个角度进行分层级的知识铺垫、分析讲解,并辅以实践环节等模块,让学生更好地把握黎曼猜想的具体内容、了解黎曼猜想的重要性及其应用的广泛性。关键词:黎曼猜想;分层级;模块化;教学设计中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1672464X(2023)1147160*基金项目:新工科背景下数学课程群的教学改革与实践
3、和“信息安全”国家级一流本科专业建设点 作者简介:周慧琳(2002),女,本科在读,信息安全专业。E-mail:1085785102 qqcom唐子越(2001),男,本科在读,信息安全专业。E-mail:1259122932 qqcom张艳硕(1979),男,副教授,博士,硕导,通信作者,从事密码数学理论研究。E-mail:zhang_yanshuo 163com1引言黎曼猜想或称黎曼假设(iemann Hypothe-sis)1 是关于黎曼 函数的零点分布的猜想,由德 国 著 名 数 学 家 Georg Friedrich Bernhardiemann 于 1859 年提出。德国数学家 D
4、avidHilbert 在第二届国际数学家大会上提出了 20 世纪数学家应当努力解决的 23 个数学问题,其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。黎曼猜想实质上是关于黎曼 zeta 函数(s)零点分布的猜想,其中(s)是级数表达式。(s)=n=11n2(e(s)1,n N+)在复平面上的解析延拓,其中 e(s)1 说明表达式只适用于复平面上 s 的实部大于 1 的区域,否则级数不收敛。该猜想提出其所有非平凡零点都全部位于实部等于 1/2 的直线上。黎曼猜想至今未被证明,但依然广泛应用于数学领域,当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)
5、的成立为前提2,证明数学猜想特别是著名数学猜想的过程中,很大程度上也在推动着数学的发展3。同时黎曼猜想在素数领域的广泛应用,在如今网络信息时代,仍发挥着极其重要的作用。北京电子科技学院学报2023 年由此可见,让更多的人群了解黎曼猜想,理解其基本概念、原理和应用场景是必要的,这有助于人们了解这个困扰了无数人 163 年的世纪难题,也可以通过这样的方式让更多的人了解与之相似的问题,培养人们的探索精神。然而现有的黎曼猜想教学设计往往忽视黎曼猜想涉及较多方面的数学知识,如初等数论、解析领域、代数领域及遍历论等学科领域。现有教学通常没有做到将各部分基础知识呈现和联系起来,而是直接将黎曼函数等知识点直接
6、呈现给学生,导致很多学生仅仅止步于知道“黎曼猜想”这个名词,难以把握黎曼猜想的具体内容和背后的知识联系。因此,笔者认为有必要对现有的黎曼猜想教学设计进行改进。分层级的模块化教学模式实质是建立在孔子所提倡的“因材施教”之上,即根据学生所处的学习阶段,尊重学生基础知识的残缺性和不完善性,对学生实施分层级教学的一种教学形式。我们的黎曼猜想分层级的模块化教学设计是该模式下的衍生物,实施分层级的模块化教学能够有效提高教学的合理性、科学性和有效性4,让学生更好地了解黎曼猜想理论上的重要性及其应用的广泛性,并使学生深度掌握黎曼猜想的具体内容以及它的相关知识,从而达到推动黎曼猜想的科普教学工作与优化其教学设计
7、的目的。本文旨在提出黎曼猜想分层级的模块化教学设计,即对黎曼猜想相关的衍生和铺垫知识进行一个细致的模块划分,并拓展了应用方面的教学模块,辅以采用分层级的教学设计,由浅入深、循序渐进地进行教学。2黎曼猜想的研究背景及具体内容数学家欧拉和高斯都研究过小于某个数的素数个数问题。欧拉提出的观点是:(x)xlnx其中素数计数函数(x)表示不超过 x 的素数的个数。高斯提出素数猜想,后来被证实为素数定理:(x)=x2dtlnt+C但是他们的研究结果不足以充分明确素数的分布情况。1895 年,德国数学家黎曼(GeorgFriedrich Bernhard iemann 18261866)当选为柏林的科学院通
8、讯院士,为此,黎曼写了 8 页纸的论文,名为论小于某值的素数个数。黎曼起初由欧拉研究过的级数初步定义黎曼 函数为:(s)=11s+12s+13s+=n=11ns欧拉仅在大于 1 的实数上对这个式子进行研究,这个区域外级数是发散的,所以没有定义。直到研究的推进,数学家发现 s 也可以是复数,只要它的实部大于 1,由此得到了很多新的结果。黎曼在此基础上将这个级数继续进行解析延拓,在实部大于 1 的区域内,黎曼 函数的定义可以唯一地决定整个复平面 函数的值。这是因为 函数在 e(s)1 内解析,所以根据复变函数的知识,它可以唯一地解析延拓5 到除了一个点 s=1 外的整个复平面。解析延拓后的表达式为
9、:(s)=s/2(s/2)1s(s 1)+1xs21+xs212()(x)12()dx其中(x):=en2x这样就将 函数延拓到整个复平面,接下来我们可以在整个复平面内寻找黎曼 函数的零841第 31 卷黎曼猜想分层级的模块化教学设计点,并且我们关心的是 0e(s)1 内的零点,之所以要寻找这些零点,因为它们包含了很多素数的信息。比如以下定理:定理对于所有的 t ,(1+it)0。这个定理是和上文的素数定理是等价的。因此黎曼猜想实质上是关于黎曼 函数零点分布的猜想。猜想(黎曼猜想)(s)的非平凡零点都落在临界线 e(s)=12上。其中(s)是级数表达式(s)=n=11n2(e(s)1,n N+
10、)黎曼研究了 函数性质并计算了若干零点,发现其都在临界线上,从而提出了黎曼猜想。黎曼的八页论文不仅提出了黎曼猜想,也极大地推动了解析数论的发展。黎曼猜想与其他数学命题之间存在着千丝万缕的联系。在目前的数学文献中,有一千多个数学命题是以黎曼猜想及其推广形式的成立为前提的2,这意味着,一旦黎曼猜想及其推广形式被证明,这些数学命题将会全部证明成立,成为定理;与此相反,如果黎曼猜想被推翻,那么这一千多个数学命题中至少有一大部分将会不可避免地成为“伪命题”。同时,黎曼猜想与素数分布问题关系极为密切。一直以来,素数分布问题就是众多科学家极为感兴趣的问题,如今进入网络信息时代,有众多类似 SA 等以大素数困
11、难问题为基础的公钥密码体系,虽然黎曼猜想的证明不能导致 SA 等公钥密码体系的“崩盘”,但是不可排除的是,如果黎曼猜想的证明过程真的用到了新的数学工具且对理解素数有帮助,那么这个新数学工具确实可能对 SA 公钥密码体系造成冲击6。3黎曼猜想的现行教学设计与改进思考3.1现行教学设计的缺陷和不足就信息安全和密码学相关专业而言,黎曼猜想的现行教学设计大致是由密码学和数论相关课程引出,通过对黎曼猜想和素数分布的关系进行讲解。其内容较为复杂,涉及较多方面的数学知识,如初等数论、解析领域、代数领域及遍历论等学科领域。专业性强难以理解,通常教师无法做到将各部分基础知识呈现和联系起来,导致很多学生仅仅止步于
12、知道“黎曼猜想”这个名词,而难以把握黎曼猜想的具体内容。类似于以上的教学设计,专业性较强,抽象晦涩,没有进行知识点的分类,而是“大锅烩”似的将黎曼猜想的内容直接展示给学生,没有关注学生本身的情况以及黎曼猜想本身牵连的数学基础。另外,此种教学方式缺少互动、较为枯燥。对于较低水平学生,无法很好地起到教学科普的作用。对于密码学相关专业学生,由于对于黎曼猜想的相关衍生知识和基础数学知识没有较好地进行前瞻性铺垫和系统性讲解,不能给学生留下深刻印象,无法达到较好的教学目的,即启发学生在实践中尝试对黎曼猜想应用,这也导致在学生群体中黎曼猜想相对于哥德巴赫猜想等其它同样著名的猜想更为陌生和难以理解。随着科学技
13、术的高速发展,国家和社会对人才自主创新能力的提升已经提出了越来越高的要求。但在传统的高校实践教学中,学生在很大程度上是作为被动的“灌输”对象来进行培养的,教师往往过多地强调其接受性而忽视其能动性,很大程度上限制了学生的自主意识和创造空间,所以当前国内外研究学者和各大高校纷纷依托各自的科研优势和学科特点,开展了各具特色的创新性实践教学模式的改革和探索7。本文的研究成果是参考和借鉴这些创新实践教学成果的基础上形成的。941北京电子科技学院学报2023 年3.2改进教学设计的用意与思路黎曼猜想属于数论领域,但黎曼猜想与素数分布乃至密码学有着千丝万缕的关系,黎曼猜想的证明若被破解,将对基于大整数因子分
14、解的SA 公钥体制产生一定的影响,因此把握黎曼猜想的猜想内容,学习黎曼猜想基于的数论学、解析延拓等方面的知识,对于信息安全和密码学相关专业的学生很有必要。黎曼猜想由于与密码学的关系,在信息安全等专业也作为拓展教学内容。对于没有深入学习相关知识的非数学专业学生来讲,会感到不容易接受。因此在教学内容的编排上,必须要考虑学生的理解和接受程度。同时,由于黎曼猜想涉及初等数论、素数分布、解析延拓和密码学,其牵涉面广泛,若要深刻地理解黎曼猜想,要求有一定的数学基础和逻辑思维能力。笔者认为最关键的一点是要对黎曼猜想相关的衍生和铺垫知识进行一个细致的模块划分,有组织地向学生按模块去解读黎曼猜想及其内容,达到一
15、种循序渐进、由浅入深的效果。对于不同阶段的非数学专业大学生群体,必须合理地组织教学内容、教学难度和深度。并有意识地进行相关衍生知识的模块化设计和系统铺垫,并结合当代密码学的具体应用进行知识串联。这样能够突出重点、建立联系,并能够形成一套知识体系,为进一步的扩展和思考提供契机。对于大学理工科新生,他们也需要学习和了解相关知识。将黎曼猜想的知识进行清晰的讲解,充分发挥科普的优势,这也为密码知识的不断发展提供动力和源泉。讲好黎曼猜想及其多方面的应用能够为他们对密码技术、数论领域有更好的理解打下基础。针对上文所提出的现有教学设计的缺陷和不足,以及目前大学生群体的知识需求,本文设计并提出了黎曼猜想分层级
16、的模块化教学设计。4分层级的模块化教学设计本文提出,将知识点进行类似“分级+模块化”的划分8,教学内容由易到难、教学安排循序渐进,解决知识点混杂式教学、无实践纯理论式教学和枯燥灌溉式教学的问题;以梅里恩伯尔1997 年提出的四元教学模型9 为基础,实现四个原则,激发学生学习兴趣,实现持续改进为宗旨的任务驱动10;再结合生动的展示视图与最后的实践内容,解决无视图纯叙述式教学的问题。结合以上所有优势,让学生对黎曼猜想有一个全面的、具体的认知,这些优势是现在大部分相关黎曼猜想教学设计所不能企及的。在我们的归纳和总结工作下,将黎曼猜想及其相关知识分层级、模块化,细分为以下六大模块:科普类模块 入门级教
17、学模块级数与函数定义模块 初级教学模块数论与素数分布模块 中级教学模块黎曼 函数与解析延拓可视化模块 高级教学模块密码体制模块 技术型教学模块实验设计模块 实践型模块在前文提及的“四元教学模型”的基础上,针对不同学龄、不同学习阶段和层次的学生,以分层级的模块化的教学理念进行教学。本文还提供了一些教学案例如可视化教学案例、历史案例、数学论证案例、实践案例等供教师上课使用。4.1科普类模块 入门级教学模块该模块的优势之处是让学生对了解黎曼猜想产生兴趣,减少他们对于新知识的陌生与焦虑感。此模块是面向大学新生进行设计的,此阶段学生知识面和数学基础较为薄弱,但对事物易产生兴趣,对于该阶段学生可以由数学历
18、史史实引出黎曼猜想,让他们了解黎曼猜想所提出的时期以及所牵涉的数学知识,同时也契合大学新生需要学习的高等数学课程。051第 31 卷黎曼猜想分层级的模块化教学设计此模块可以首先从 2018 年数学界的大新闻 阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想切入,阿蒂亚爵士是阿贝尔奖和菲尔兹奖的双料得主,世界顶级的数学家之一,而黎曼猜想又是一百多年未被解决的千禧难题之一,这种刺激性的新闻可以令学生的注意力集中于课堂内容,为后续科普打下良好的基础。在正式介绍黎曼猜想之前,给出阿蒂亚爵士证明失败的消息,让学生意识到黎曼猜想是热门却又棘手的问题,进一步激发他们对于黎曼猜想具体内容的兴趣。然后正式介绍黎曼猜想,黎曼猜想
19、的前身 小于某个数的素数个数最先由数学界先驱欧拉提出,而黎曼在欧拉给出的公式基础上进行了延拓,于 1859 年向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文,这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。最后给出黎曼猜想的验证进展以及宣布证明黎曼猜想的数学家的介绍,也可以用课堂开始介绍的新闻进行收尾。在调动课堂活跃性的同时,让学生知道黎曼猜想并不是一个简单的猜想,它更代表着一段伟大的数学历史,也为后续课程奠定基础。此教学模块旨在引起学生学习兴趣,同时可以结合黎曼猜想相关的纪录片。图 1克雷数学研究所的千禧难题中的黎曼猜想4.2级 数 与 函 数 定 义 模 块 初 级 教 学模
20、块11 该模块的优势之处在于由简明易懂的欧拉级数引出与它形式相似、定义在复平面上的黎曼函数,起到循序渐进的效果。避免直接提出形式较为复杂的黎曼函数让学生产生畏难情绪。此模块是面向有高数基础的大一学生设计的,学生须具有一定的级数和函数解析延拓的相关基础知识。步骤 1:介绍欧拉曾经研究过的一个级数(s)=11s+12s+13s+=n=11ns向学生展示 s=1、s=1、s 1、s 1 的情况,当 s=1 时,该求和式是全体自然数的和,情形简单。s=1 时,该式子是全体自然数的倒数和,此时可以向学生提问:这个级数是趋近于某个数还是发散到无穷大?可以简单地向学生证明它是发散的。而 s 1 时,每一项减
21、小更快,最终会收敛。至于 s 1 的情形,式子显然发散。此时向同学们展示欧拉在 s 1 时得出的奇怪结果,如 s=1 时,欧拉计算出(1)=1+2+3+4+=112,s=2 时,欧拉计算出(2)=12+22+32+42+=0,他还得到了(3)=13+23+33+43+=1120,并向学生提问为什么伟大的数学家欧拉会得出看似不合常理的结果,引导学生思考这个答案背后的合理性。历史上欧拉利用幂级数展开对此结果进行解释,但他忽略了收敛半径的问题,所以他的证法是不严谨的,但是他和黎曼函数得到的结果一样。这其中就有级数与函数解析延拓的一种内在联系:延拓的标准方法就是幂级数方法。但此处不必过多向学生赘述其中
22、原理。此问题看似不合理的结果可以引发学生的思考并可作为一个悬念,教师可在步骤 2 中对解析延拓作阐释时进行解惑。步骤 2:介绍函数的解析延拓在向学生介绍黎曼函数之前,介绍黎曼函数151北京电子科技学院学报2023 年背后的重要数学方法 解析延拓。可以给学生举一个具体的例子,如研究等式:1+x+x2+x3+=11 x(|x|1)为画出左边函数在|x|1 部分的图像,可利用右边函数来绘制。而右边函数只要 x 1都有定义,所以若绘制右边这个函数即相当于把左边这个函数进行延拓。但是可以注意到此等式只在|x|1 成立,如果我们带入 x=1,左边式子变为 1 1+1 1+此时左边式子本身是没有含义的,而右
23、边会变成 1/(1+1)=1/2,此时我们并不能说左边的函数在 x=1 时的值为 1/2。欧拉当时将延拓后的结果作为了原式的结果,这显然是不正确的,但延拓后的函数恰好是黎曼函数的部分,所以他和黎曼函数得到的结果相同。由此就可以解开步骤 1 中给学生留下的悬念:欧拉得出的(1)=112,(2)=0,(3)=1120,这些结果的合理性怎么解释 教师可以告诉学生,欧拉得出的答案本质上是黎曼 函数延拓后,s 分别为 1、2、3 的结果,尽管它在级数的情形时是不成立的。该教学过程可以调动起学生的兴趣,课堂富有张力,抽象的知识有案例作为依托,方便学生快速掌握解析延拓的内涵。图 2绘制出11 x在x 1 时
24、的图像4.3数论与素数分布模块 中级教学模块此模块优势之处在于能使学生沿着完整的逻辑思路进行思考和知识吸收,也能在这个过程中将素数分布规律与黎曼猜想建立联系。此模块面向有一定数论知识,尤其是对素数分布规律有一定了解的学生设计,这一部分的教学设计将具体数论知识与历史上对素数分布的研究过程有机结合,重点在于让学生理解素数分布和黎曼猜想的关系,对数学基础有较高的要求。首先应向学生提出问题,质数有什么特点,质数究竟是有限个还是无限个?它是如何分布的?它与黎曼猜想又有什么关系?以问题导向角度切入进行接下来的讲解。教师可以首先介绍对于素数个数的研究过程,古希腊数学家欧几里得证明得到素数有无穷多个,此证法简
25、洁易懂,可以向学生进行展示。接着介绍素数的分布问题。素数有非常不规则的分布,既存在两者间只差 2 的孪生素数,又存在两者间可以有任意大的间隔的素数12。欧拉通过研究级数(s)=11s+12s+13s+=n=11ns得到了著名的欧拉乘积公式:(s)=p(1 ps)1,p 为全体质数左边是级数,把等式右边乘积式写出,得到11 12s11 13s11 15s,在之前的模块中已经向学生介绍过左边级数如果解析延拓就能得到黎曼函数,由此可见黎曼函数就与质数分布有着某种隐含的关系。它把我们了解的自然数和不甚理解的素数联系了起来,因此素数的性质可以通过(s)这个级数来研究,欧拉是把 s 当作实数研究的,但是黎
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 黎曼 猜想 层级 模块化 教学 设计 周慧琳
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。