中国海洋大学数学分析历年考研试题.pdf
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1、中国海洋大学2009-2020年真题汇总12.中国海洋大学2009年研究生入学考试试题数学分析一.(30分)求极限(要求有计算过程)(2)r 沟 li m-.n-8 Tl(3)r 赤史 J o 1+(1+)li m(cosa?)ln1+!c2).li m si n a?da:.n8 J。(15分)叙述与举例(要求有讨论过程)(1)用肯定语气写出f(x)在a,6上不一致连续的充要条件.(2)举出函数/(%)满足条件:在=0时可导,但在0的任何邻域内不可导.(3)举出函数f(x,y)满足条件:在(0,0)处连续,两个偏导数存在(并求出),但在(0,0)不可微.三.(24分)证明不等式(1)当0 V
2、宓2Vq时,有xi si n X2 0,0)的交线,从2轴的正向看去,是逆时针 a h23六.(15分)讨论下列积分在指定区间的一致收敛性:f xa si n-dx,a e(0,2).Jo x七(13分)设f(x)在(-co,+co)上可导,且/蚂/(宓)=a,求证:/(%)至少存在一个零点.A.(15分)考察函数项级数oonx 乙1 1+n4x2 n=l(1)讨论该函数项级数在(-co,+co)是否一致收敛.(2)求出该函数项级数的一致收敛区间.(3)求出该函数项级数的和函数的连续区间.2413.中国海洋大学2010年研究生入学考试试题数学分析一.计算题(要有计算过程)(1).cos(si
3、nN)cosc nm-.6-0(2)严 1I=n-5dx.J i e1+x+e3-x 其中e是自然对数的底.(3)设z=z(x,y)是由方程F(xyz,x2+y2+z2)=0所确定的可微的隐函数,其中F具有连续的偏导数,求g radz(g radz为z的梯度向量).二.判断题(正确的给予证明,错误的举出反例)(1)若函数/在(a,6)上可微,且li m/=oo,则有li m/=8.()rc-a+xa+(2)若函数/在a,b上可积,则/(乃在a,6上一定存在原函数.()(3)对于任意的两个数列。个和bn,有 supan+bn W supan+sup6n.()三.设r1+_In=yl+xndx.(
4、1)证明:li m In=0.(2)证明极限li m nln存在,并求出此极限值.n00四.证明:(1)当0立 0)中,求一条曲线使得沿该曲线从点O到A的积 分J(1+y3)dx+(22+y)dy的值最小.25七.设/(a?)在a,b上有定义,g e a,b.若对任意的e 0,存在6 0,当-0)|6时,有f(x)f(x0)+e,则称/(乃在点g处上半连续.若/(乃在a,b上的每一点都上半连续,则称/(乃为a,6上的一个上半连 续函数.证明:a,b上的上半连续函数一定有界.八.求椭球面y 京与锥面所围立体的体积.九.设f(x,y)在/+/0),且数列un单调减少,则级数 -必收敛.()n=l
5、n=l I1+Un(3)若在a,b上有尸(*)=f,则函数fQ)在a,b上可积.()三.(12分)设/(x)在a,b上非负连续,证明:/n(a?)da?=m ax/(a?)|x e a,6.四.讨论如下含参量广义积分的一致收敛区间:(1)对任意的6 0,证明它在(8,2-5上一致收敛.(2)对任意的77 V 2,证明它在77,2)上非一致收敛.五.(16分)设/(0为定义在有限区间I上的函数,对I内的任何柯西列fM也是柯西列.(柯西列 a?n是指:V e 0,3 N e N+,V n,m A T,W xn xm l,证明不等式:1 1 一-2ne e 一 ne七.(18分)设/=才 cos 0
6、 cos(si n。)(1仇27(1)求/(i),r(),n 为正整数).(2)写出/的麦克劳林公式.(3)证明:f(t)=27r.八.(15分)计算I=jj 4xzdydz 2yzdzdx+(1 z2)dxdy.其中S是曲线z=e?(0 g 6 c 0.3/(2)设9=/Q)的三阶导数存在,r(工)0,用/(X)的各阶导数表示其反函数4=夕3)的三阶导数”3).(3)求定积分J l(2)d,.其中 n e Z+,/(%)=(x2-l)n,pn_ i(x)=a0+4%H-F an_ i xn-1,e R,z=1,2,-,n-l.(4)_rrJ J W s其中 S:X2+y2+z-R)2=R2
7、的外侧,T=(x,y,z).设击,a?0:/=0,x=Q.求/(0).(40分)判断题(正确的给予证明,错误的加以说明)8(1)若交错级数y(-l)na,阳 0满足li rn an=0,则级数收敛.()ncon=l+8(2)若含参变量广义积分1包)=f(x,y)dx在(a,6)的任意闭区间上一致收敛,则有I(y)在(a,6)上连 Jo续.()(3)如果fx0+0)存在,则/;(x0)存在,且二者相等.()(4)/()在(1,+8)上二阶可导,且 li m/(%)=li m,=0,则 li m/(乃=0.()m+oo 必一+8+oo三.证明题(15分)设/在0,2上具有二阶导数,且在0,2上有。
8、(叫W 1,|r(叫W 1,求证:在0,2上,/(叫 2.+8(20分)若fx在a,+oo)上一致连续,fdx收敛,证明li m/(*)=0.Ja T+8J、+oof(x)dx收敛,是否有li m f(x)=0?说明理由.a+00(15分)对于n阶行列式A=用求条件极值的Lag rang e乘数法,证明:Hadam ard不等式:nn网2 w n x碣.i=lJ=129(4)(20分)证明:黎曼函数x 为有理数,x=-,(p,q)=1,p 0;r=q q0,X为无理数.在任何有理点不连续,在任何无理点连续;并证明在任何有限闭区间a,b上黎曼函数均可积.且积分值 为0.3016.中国海洋大学20
9、13年研究生入学考试试题数学分析一.计算题(要求有计算过程)(1)cos(si nc)cosc li m-.X-0(2)设f(x)=x+I n x(x 0).求的反函数x=我妨的一阶及二阶导数.(3)J o 1+CO S2 产,.判断题(正确的给予证明,错误的加以说明或举出反例)公、V/C 宓2 宓1 12 宓2 一(1)V 0 22,成乂-In X2 Xi Xi(2)一元函数f(x)在x0的导数?(工)的符号大于0,则/(x)在叼的一个充分小的邻域内单调.(3)二元函数/(%g)在点(g,优)可微,偏导数(gg),在点(g,g o)连续.(4)设Z,B是两个有上界的数集,数集C=%+g|a?
10、e力,g e B,则sup。=sup A+supB.三.叙述魏尔斯特拉斯致密性定理内容.四.若/是a,b上的连续函数,且对数列外e a,b,有fM|/(xn_ i)|.n=2,3一,证明:/(工)在a,b存在零点.五.假设数列时满足下列条件:0 an (九=1,2,).证明:q单调递增且 1h m an=n 0,=1,2,3,)单调递减且X(-l)nan发散,则71=1收敛.七.若P(n)与Q(n.)分别是关于口的p次与q次多项式,且Q(n)0,则级数V如)M丽收敛的充要条件是q-p 2 2.p+ooA.无穷广义积分 f(x)dx收敛且/(x)在a,+8)严格单减,则(1)/31上国力=SCO
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