高等数学(下)知识点总结-(1).pdf
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1、完美 WORD 格式 专业 知识分享 高等数学(下)知高等数学(下)知识识点点主要公式主要公式总结总结第八章 空间解析几何与向量代数1、二次曲面1)椭圆锥面:22222zbyax2)椭球面:旋转椭球面:1222222czbyax1222222czayax3)单叶双曲面:双叶双曲面:1222222czbyax1222222czbyax4)椭圆抛物面:双曲抛物面(马鞍面):zbyax2222zbyax22225)椭圆柱面:双曲柱面:12222byax12222byax6)抛物柱面:ayx 2(二)平面及其方程1、点法式方程:0)()()(000zzCyyBxxA 法向量:,过点),(CBAn r)
2、,(000zyx2、一般式方程:0DCzByAx截距式方程:1czbyax3、两平面的夹角:,),(1111CBAn r),(2222CBAn r222222212121212121cosCBACBACCBBAA ;210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4、点到平面的距离:),(0000zyxP0DCzByAx222000CBADCzByAxd(三)空间直线及其方程完美 WORD 格式 专业 知识分享 1、一般式方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式(点向式)方程:pzznyymxx000 方向向量:,过点),(pnms r),(000zyx3、
3、两直线的夹角:,),(1111pnms r),(2222pnms r222222212121212121cospnmpnmppnnmm ;21LL0212121ppnnmm21/LL212121ppnnmm4、直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,222222sinpnmCBACpBnAm ;/L0CpBnAmLpCnBmA第九章 多元函数微分法及其应用1、连续:),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2、偏导数:;xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003、方向导数:其中为的方
4、向角。coscosyfxflf,l4、梯度:,则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(0000005、全微分:设,则),(yxfz dddzzzxyxy(一)性质1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:完美 WORD 格式 专业 知识分享 偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1)复合函数求导:链式法则 若,则(,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y,zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy(二)应用1)求函数的极值 解方程组 求出所有驻点,对于每一个驻点,令),(yxfz 00
5、yxff),(00yx,),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy若,函数有极小值,若,函数有极大值;02 BAC0A02 BAC0A若,函数没有极值;02 BAC若,不定。02 BAC2、几何应用1)曲线的切线与法平面曲线,则上一点(对应参数为)处的)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t切线方程为:)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为:0)()()(000000zztzyytyxxtx2)曲面的切平面与法线曲面,则上一点处的切平面方程为:0),(:zyxF),(000zyxM完美 WORD 格式 专业 知识分享 0)(,()(
6、,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章 重积分(一)二重积分 :几何意义:曲顶柱体的体积1、定义:nkkkkDfyxf10),(limd),(2、计算:1)直角坐标,bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy,dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2)极坐标,)()(),(21D21()()(,)d d(cos,s
7、in)dDf x yx ydf (二)三重积分1、定义:nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、计算:1)直角坐标 -“先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2)柱面坐标,zzyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3)球面坐标cossinsincossinrzryrx完美 WORD 格式 专业 知识分享 2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr(三)应用曲面的面积:Dyx
8、yxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章 曲线积分与曲面积分(一)对弧长的曲线积分1、定义:01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2、计算:设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在),(yxfLL)(),(),(ttytx)(),(tt上具有一阶连续导数,且,则,0)()(22tt22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt(二)对坐标的曲线积分1、定义:设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数,在 L 上有界,定义xoy),(yxP),(yxQ,.nkkkkLxPxyxP10),(limd),(nkkkkLyQ
9、yyxQ10),(limd),(向量形式:LLyyxQxyxPrFd),(d),(dr2、计算:设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为),(,),(yxQyxPLL,其中在上具有一阶连续导数,且,则):(),(),(ttytx)(),(tt,0)()(22tt(,)d(,)d (),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt3、两类曲线积分之间的关系:设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:,)()(tytxL为 为L),(yx,,)()()(cos22ttt)()()(cos22ttt则.dd(coscos)dLLP xQ yPQs完美 WORD 格式
10、专业 知识分享 (三)格林公式1、格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数在D 上具有连续一阶偏导数,),(,),(yxQyxP则有LDyQxPyxyPxQdddd2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,G),(,),(yxQyxPG则 曲线积分 在内与路径无关yPxQddLP xQ yG(四)对面积的曲面积分1、定义:设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,),(zyxf定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(102、计算:“一单二投三代入”,则),(:yxzz xyDyx),(yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),
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