回归平面几何%2C实现完美突破——一道解三角形题的解决.pdf
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1、数学之友2023年第1 5期回归平面几何,实现完美突破解题探索一一道解三角形题的解决张晓丹(江苏省沙溪高级中学,江苏苏州,2 1 54 2 1)摘要:平面几何一旦放在高中的解三角形问题中,很大一部分同学对初中平面几何的基础知识与基本能力等方面就几乎丧失殆尽.本文通过一道解三角形的模拟解答题,从解三角形、平面几何等思维切入,突出平面几何思维的重要性,回归初中基础知识,应用初中知识引领并指导解三角形问题的解决,关键词:解三角形;平面几何;正弦定理;余弦定理;面积高考解答题中,解三角形作为涉及三角函数与解三角形部分比较常考的一类题型,一直是历年高考中的热点.此类问题往往以平面几何为问题背景,涉及平面
2、几何图形中的相关线段的长度、角度、三角形面积等问题,借助解三角形思维、平面几何思维或坐标思维分析与处理,实现问题的转化与解决,重点考查直观想象、逻辑推理以及数学运算等核心素养.1问题呈现问题:如图,在ABC中,D为边BC上一点,AD=3,且sin LADB=/3sin B.ABD(1)求 AB的长;(2)若ADIAC,BC=3BD,求ABC的面积.此题以三角形为问题背景,结合相关线段的长度与对应角的三角关系式的创新设置,进而求解对应线段的长度;并进一步通过直线的垂直关系与线段的比例关系,进而求解三角形的面积解决此类解三角形问题,常见的技巧思维是通过解三角形思维,利用正弦定理、余弦定理或三角形面
3、积等相关的公式来变形与转化,综合数学运算等来实现问题的解决;而借助平面几何思维,回归初中平面几何知识,综合逻辑推理与直观图形,也是解决解三角形问题中的一个不错的思维方法,直观形象.2问题破解2.1高中数学思维视角:解三角形思维解三角形问题,借助正弦定理、余弦定理等方法来转化与处理,是破解问题的最常规的方法.关键在于合理构建对应的三角形,通过相关的定理构建关系式来转化与计算,用来处理相关的角、边长等问题.(1)方法1:(正弦定理法)AD在ABD中,由正弦定理可得sin ZADBsin B又AD=3,sin ZADB=3 sin B,可得 AB=/3AD=3/3,即AB的长为3 V3;(2)方法1
4、:(余弦定理法1)设BD=m,则有 BC=3BD=3m,DC=2m,在 Rt A D C 中,AD=3,则有 cos ZADC=AD2_3DC2m在ABD中,由余弦定理,可得 cos ZADB=AD?+BD?-AB29+m-27而cosZADB=二2ADBD9+m-273-cos ZADC,则有整理有 m=9,解6m2m得 m=3,则有 BC=3m=9,cos ZADCV3sin LADC=2/3可得sin B=sinZADB3311所以SAABC=_xABxBCXsin B=-2227/327/3,即ABC的面积为4方法2:(余弦定理法2)以上部分同方法1,可得m=3,AB6m3_1则知2m
5、231sinADC=21-X3X9X-242023.15_65数学之友则有DC=2m=6,可得 cos ZADC:TLADC=3SABC所以231sin LADC:x3x6x2227/3为4解后反思:根据解三角形中,对应两互余角的余弦值互为相反数,通过三角函数的概念与余弦定理来分别构建对应角的余弦值的关系式,进而联立方程,得以确定对应的参数值,为进一步的分析与求解提供条件.2.2初中数学思维视角:平面几何思维解三角形问题,利用平面几何的图形本质,合理利用平面几何中相关辅助线的构建,构建边长或角度的等量关系,线段或直线的垂直关系、平行关系等,结合平面几何的相关知识来推理与计算.(1)方法2:(平
6、面几何法)如图所示,过点A作AH1BC,交BC于B点H,利用三角函数的概念,可得 sin LADB=AHAHsin ZADH=,又 AD=3,sin ZADB=AD,sin B=AB,V3sinB,可得AB=/3AD=3/3,即AB的长为3/3;(2)方法3:(平面几何法1)如图所示,在 AC边上取点E,使得AC=3AE,结合BC=3BD,可B知ED/AB,从而有2DE=AB=2/3,3在Rt A D C中,AD=3,可得 AE=VDE?-AD=/3,所以S3SA BCADC227/391AE=-X3XVX22方法4:(平面几何法2)如图所示,在CA的延长线上取一点F,使得66_数学之友202
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