关于高等数学的美学思考.pdf
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1、第 36 卷第 4 期2023 年 10 月镇江高专学报Journal of Zhenjiang CollegeVol.36 No.4Oct.,2023关于高等数学的美学思考侯丽萍,钱小吾(镇江高等专科学校 基础部,江苏 镇江 212028)摘 要:挖掘高等数学的形式美与内在美,可以提高学生的数学审美能力,培养学生的数学审美情趣,激发学生的学习兴趣,使高等数学真正成为有趣且有用的课程。关键词:高等数学;形式美;内在美中图分类号:O1文献标志码:A文章编号:1008-8148(2023)04-0088-06收稿日期:2022-12-29基金项目:2022 年镇江高等专科学校教学改革项目(2022
2、ZX02)作者简介:侯丽萍(1995),女,山东烟台人,助教,硕士,主要从事高等数学教育研究;钱小吾(1963),男,江苏镇江人,副教授,主要从事高等数学、概率论与数理统计研究。为通讯作者。法国著名艺术家罗丹说:“世界上并不缺少美,而是缺少发现美的眼睛。”数学从不缺少美,只是与文学艺术的美不同,诗词、音乐、美术给予人直观的美感,而数学的美需要深入挖掘、用心体会。古今中外的数学家深刻论述过数学美,认为数学中充满美的因素,闪现美的光辉。早在 2 000 多年前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美、圆和球体的对称美,称宇宙是数的和谐体系。近现代英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,
3、如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”我国数学家华罗庚认为:“就数学本身而言,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美。”笔者以高等数学为例,发掘其中蕴含的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、创新美,引导学生认识数学美、感受和欣赏数学美,提升数学思维品质。1 形式美 在高等数学中,从概念确立到理论形成、从公式推导到符号运用、从运算方法到知识应用都呈现简洁鲜明、形式优美、整齐对称的特征,这种整齐、对称、简洁等体现为高等数学的形式美1。1.1 数学语言的简洁美数学有特有的语言 数学语言。将复杂
4、抽象的问题归纳为简单的符号、公式或函数关系式,就是数学语言的简洁美2。高等数学中随处可见的数学符号、数学公式无不展现数学语言的简洁美。在学习极限中,用limxx0f(x)=A 表示当 x 趋近于x0时,函数 f(x)无限趋近于某一个确定的常数 A;用limxf(x)=A 表示当 x 的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋近于某一个确定的常数 A。可见,用类似limxx0f(x)=A 或limxf(x)=A 的简洁的数学语言表示极限,既能清楚表达含义,又简化了书写。介绍导数的概念前,常会引入曲线的切线斜率和变速直线运动瞬时速度的例子337-38。不难得到,曲线的切线斜率为limx0yx=limx
5、0f(x0+x)-f(x0)x,变速直线运动瞬时速度为limt0st=limt0s(t0+t)-s(t0)t。在自然科学和工程技术中,还有许多问题可归结于无穷小之比的极限问题。在高等数学中,撇开问题的具体意义,找出数学上的共性,简化问题及语言,产生了导数的概念,将limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x定义为导数,用 f(x0)表示。由此,简洁的符号88f(x0)便可描述自然科学和工程技术领域诸多复杂问题。与导数的概念类似,在引入定积分时,大部分教材会首先介绍两个引例:曲边梯形的面积和变速直线运动路程3109-110,即A=lim0ni=1f(i)xi,s=lim0ni=1v(i
6、)ti,一个是几何学中的问题,一个是物理学中的问题,意义不同,但解决方法和步骤完全一样,并且都可归结为相同的数学模型 和式的极限。由此抽象出定积分的定义,即形如 lim0ni=1f(i)xi的和式极限,记作baf(x)dx。一个简单的定积分符号baf(x)dx描述了包括数学在内的很多学科中的问题,如牛顿经典力学中经常用到的定积分。同时,求解定积分时以直代曲、分割逼近的简化问题的思想也将数学的简洁美展现得淋漓尽致。在定积分的计算中,最重要且贯穿微积分学的是牛顿-莱布尼兹公式,即若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,F(x)是 f(x)在a,b上的一个原函数,则有baf(x)dx=F(b)-F(a
7、)3117。牛顿-莱布尼兹公式为定积分的计算提供了方便简洁的方法,而不再采用分割、近似、求和、取极限的原始方法,体现了数学的简洁美。此外,牛顿-莱布尼兹公式的美妙之处还在于揭示了定积分与不定积分(或原函数)的联系,搭建了定积分与不定积分的桥梁。上述高等数学中常用的数学符号和数学公式已形成固有印象。看到 limxx0f(x)便知是极限,看到baf(x)dx 便知是定积分,形成这种数学上的符号共识、公式共识便是数学语言简洁美的体现。1.2 数学形式的对称美在数学中,对称是各个部分、整体与部分的和谐一致。对称美在数学中极为常见,很多数学公式、几何定理、数学图形在结构和形式上具有对称性1。1.2.1
8、几何中的对称美几何图形的对称美是对称美最直观的表现形式。运用几何图形中的点对称、线对称、面对称构造美丽的图案,从而有了巧夺天工的建筑、五彩斑斓的世界。几何中许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中,代数方程与几何图形建立了一种对称关系,使代数与几何化为一体,完美统一。曲线方程标准形式的推导更是充分利用了图形的对称性4。高等数学中,为了便于表示特殊的曲线引入极坐标的概念,即平面上任一点到原点的距离由它与坐标轴的角度确定。如笛卡尔心形线的极坐标方程r=a 1-sin(),伯努利双纽线的极坐标方程r2=a2cos 2,三角函数 sin
9、 与 cos 2 具有对称性和周期性,易得美丽的心形线(图 1)和双纽线(图 2)。图 1 心形线图 2 双纽线物理学与解析几何学中常用参数方程表示动点的运动轨迹。参数方程能直观显示横、纵坐标随某一参数(如时间 t)变化的关系。如一个圆沿 x 轴滚动,圆上一定点所形成的运动轨迹称为摆线,如图 398所示,可见摆线是对称美与动态美的结合。图 3 摆线摆线的参数方程为x=a t-sin t(),y=a 1-cos t(),(a0 是常数,t 为参数),从中也可看出图形是对称的。高等数学中常以优美的摆线为例研究参数方程的运算。空间解析几何中许多常见的二次曲面均为对称的,如球面、圆柱面、圆锥面、椭球面
10、、双曲面等。如椭球面可以看作平面中的椭圆绕定直线旋转形成的旋转体。如椭圆x216+y24=1绕 x 轴旋转 1 周形成的旋转椭球体为x216+y24+z24=1,绕 y 轴旋转 1 周形成的旋转椭球体为x216+y24+z216=1,它们都是面对称图形,关于 xOz 平面、xOy 平面、yOz平面对称。这两个椭球是不同的,利用定积分求得的体积分别为643和1283,若用 xOz 平面去截,则前者的截痕是长轴为 8、短轴为 4 的椭圆,后者是直径为 8 的圆,直观上分别称为“瘦”椭球和“胖”椭球,如图 4 所示。空间解析几何中的对称产生了丰富多彩、形状各异的立体图形,这是数学美在空间解析几何中的
11、体现。图 4 绕 x 轴和绕 y 轴的旋转椭球体1.2.2 代数中的对称美对称在代数中也随处可见,许多定理、性质、公式、方程等满足对称特征,美观且容易书写和记忆。利用对称思想可以方便求解代数学的很多问题。计算二阶混合偏导数时有以下定理:如果函数的两个二阶混合偏导数 fyx(x,y),fxy(x,y)在区域 D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等,即fyx(x,y)=fxy(x,y)3186。可见,先对 x 求偏导,再对 y 求偏导,或先对 y 求偏导,再对 x 求偏导,结果一致。大部分初等函数在定义域内二阶混合偏导数是连续的,利用该定理在求混合偏导数时的对称统一美可简化计算或验证结
12、果。如求函数 z=xln(xy)的二阶混合偏导数2zxy时,可先对 y 求偏导,再对 x 求偏导,这样计算相对简单,且结果一致。在积分学中,对称性、奇偶性催生了许多美妙的结论。在定积分中,若函数在区间-a,a上连续,当 f(x)为奇函数时,a-af(x)dx=0;当 f(x)为偶函数时,a-af(x)dx=2a0f(x)dx。在二重积分中,f(x,y)在有界闭区域 D 内连续,D=D1+D2,若 D1,D2关于 y 轴对称,则Df(x,y)d=2D1f(x,y)d,f(x,y)对 x 为偶函数,0,f(x,y)对 x 为奇函数;若 D1,D2关于 x 轴对称,则Df(x,y)d=0,f(x,y
13、)对 y 为奇函数,2D1f(x,y)d,f(x,y)对 y 为偶函数。这些干净、漂亮的对称结论在积分学中发挥了重要作用,可以简化诸多复杂的积分问题。除此之外,计算一些具体函数的多重积分时也会产生整齐、对称的漂亮结果。如计算二重积分D4-x2-y2d,D=(x,y)|x2+y2 2x)时,运用直角坐标系或极坐标系求得结果83-43,类似地,计算D4-x2-y2d,D=(x,y)|x2+y2 2y)时,积分区域发生改变,但仍得到结果83-43。结果一致正是数学对称美的完美体现,虽然积分区域是两个不同的圆,但它们关于直线 y=x 对称,如09图 5 所示。图 5 积分区域再观察被积函数f(x,y)
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