关于比式判别法和Raabe判别法的推广.pdf
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1、关于比式判别法和 判别法的推广张 喆 刘文军基金项目:江西省高等学校教学改革研究课题(编号)和九江学院教学改革研究重点课题(编号)的成果之一收稿日期:通讯作者:刘文军()江西九江人 副教授:(九江学院理学院 江西九江)摘要:数项级数是数学分析里非常重要的内容 其中正项级数敛散性的判别方法很多 比如比较原则、比式判别法、根式判别法等 但在使用这些方法时 各自有其局限性.文章主要对正项级数的比式判别法和拉贝()判别法及其极限形式做了较有意义的推广 并通过一些应用举例对其进行方法分析 说明推广之后的新方法比原来两种方法更加方便灵活 应用范围更加广泛.关键词:正项级数 比式判别法 判别法 中图分类号:
2、文献标识码:文章编号:()():/引言级数的敛散性是研究级数理论时的一项重点研究内容 比较常见的一项应用就是用于数值计算.数值计算在数学、物理学、经济学等领域中的应用都十分广泛 而级数在其中的主要作用之一就是对一些无理数的数值近似计算 比如对于无理数 而言 可以根据 的级数展开将其展开为 !.级数的数值近似计算在统计物理中也有着很重要的作用 比如 ()函数 ()其中 其中比较常用的两个级数有 .能够得到这些结果的主要依据就是要保证级数收敛 只有保证级数收敛 才能够通过一系列的计算得到相应的数值.反之 如果一个级数发散 那么该级数在数值计算时就无法应用.因此 必须要通过一些判别法去判别级数的敛散
3、性这也是研究级数敛散性判别法的主要原因.正项级数是级数的一个重要分支 比式判别法和拉贝()判别法是判别正项级数的敛散性的两种判别方法 主要思想都是利用级数中相邻两项比值的特征来判别级数的敛散性.在数学分析和高等数学教材当中 无论是比式判别法还是 判别法 在其判别公式中都是利用了对第 项与第 项的比式的分析 但是对于一些类似于 ()()这种形式的正项级数 利用原来的比式判别法和 判别法无法判别其敛散性 所以必须要寻找其他合适的判别法去对其判别.因此在原有方法的基础上将对第 项与第 项的比式推广到对第 项与第 项的比式的分析 以此得出比式判别法和 判别法的推广.除此之外 还利用相似的思路对这两种方
4、法的极限形式也加以推广 进而利用 推 广 之 后 的 新 方 法 去 对 类 似 于 ()()的一些正项级数敛散性进行判别.通过对这两种方法做出推广 可以使其在(总第 期)(.)年第 期 九江学院学报(自然科学版)()判别正项级数的敛散性时 比原有两种方法应用起来更加方便灵活 应用范围更加广泛.比式判别法(达朗贝尔判别法)的推广定理:设 为正项级数 且存在某正数 以及常数 (成立不等式 则级数 收敛()若对一切 成立不等式 则级数 发散定理 (极限形式):若 为正项级数 且 ()当 或 时 级数 发散 下面对以上定理进行推广 主要思路就是将对第 项与第 项的比式推广到对第 项与第 项的比式的分
5、析 即可以理解为 在这里不一定为 也可以推广到其他的正整数 然后结合级数的柯西收敛准则 比较原则以及极限的相关知识进而得出推广的结论.推广:设 为正项级数 且存在某正数 以及常数 (且对于某一取定的 成立不等式:()则级数 收敛()若对于一切 且对于某一取定的 成立不等式()则级数 发散证明:()设()式对于所有的 成立 于是有 把第 个式子到第 个式子相乘 可以得到即 根据比较原则 可以推知 收敛.()若当 时 不等式()成立 既有于是 当 时 的极限值不可能为 所以根据级数的柯西收敛准则的推论可以得出级数 是发散的.推广 (极限形式):若 为正项级数对于某一取定的 且()存在 则:()当
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