关于比式判别法和Raabe判别法的推广.pdf

关于比式判别法和 判别法的推广张 喆 刘文军基金项目:江西省高等学校教学改革研究课题(编号)和九江学院教学改革研究重点课题(编号)的成果之一收稿日期:通讯作者:刘文军()江西九江人 副教授:(九江学院理学院 江西九江)摘要:数项级数是数学分析里非常重要的内容 其中正项级数敛散性的判别方法很多 比如比较原则、比式判别法、根式判别法等 但在使用这些方法时 各自有其局限性.文章主要对正项级数的比式判别法和拉贝()判别法及其极限形式做了较有意义的推广 并通过一些应用举例对其进行方法分析 说明推广之后的新方法比原来两种方法更加方便灵活 应用范围更加广泛.关键词:正项级数 比式判别法 判别法 中图分类号:文献标识码:文章编号:()():/引言级数的敛散性是研究级数理论时的一项重点研究内容 比较常见的一项应用就是用于数值计算.数值计算在数学、物理学、经济学等领域中的应用都十分广泛 而级数在其中的主要作用之一就是对一些无理数的数值近似计算 比如对于无理数 而言 可以根据 的级数展开将其展开为 !.级数的数值近似计算在统计物理中也有着很重要的作用 比如 ()函数 ()其中 其中比较常用的两个级数有 .能够得到这些结果的主要依据就是要保证级数收敛 只有保证级数收敛 才能够通过一系列的计算得到相应的数值.反之 如果一个级数发散 那么该级数在数值计算时就无法应用.因此 必须要通过一些判别法去判别级数的敛散性这也是研究级数敛散性判别法的主要原因.正项级数是级数的一个重要分支 比式判别法和拉贝()判别法是判别正项级数的敛散性的两种判别方法 主要思想都是利用级数中相邻两项比值的特征来判别级数的敛散性.在数学分析和高等数学教材当中 无论是比式判别法还是 判别法 在其判别公式中都是利用了对第 项与第 项的比式的分析 但是对于一些类似于 ()()这种形式的正项级数 利用原来的比式判别法和 判别法无法判别其敛散性 所以必须要寻找其他合适的判别法去对其判别.因此在原有方法的基础上将对第 项与第 项的比式推广到对第 项与第 项的比式的分析 以此得出比式判别法和 判别法的推广.除此之外 还利用相似的思路对这两种方法的极限形式也加以推广 进而利用 推 广 之 后 的 新 方 法 去 对 类 似 于 ()()的一些正项级数敛散性进行判别.通过对这两种方法做出推广 可以使其在(总第 期)(.)年第 期 九江学院学报(自然科学版)()判别正项级数的敛散性时 比原有两种方法应用起来更加方便灵活 应用范围更加广泛.比式判别法(达朗贝尔判别法)的推广定理:设 为正项级数 且存在某正数 以及常数 (成立不等式 则级数 收敛()若对一切 成立不等式 则级数 发散定理 (极限形式):若 为正项级数 且 ()当 或 时 级数 发散 下面对以上定理进行推广 主要思路就是将对第 项与第 项的比式推广到对第 项与第 项的比式的分析 即可以理解为 在这里不一定为 也可以推广到其他的正整数 然后结合级数的柯西收敛准则 比较原则以及极限的相关知识进而得出推广的结论.推广:设 为正项级数 且存在某正数 以及常数 (且对于某一取定的 成立不等式:()则级数 收敛()若对于一切 且对于某一取定的 成立不等式()则级数 发散证明:()设()式对于所有的 成立 于是有 把第 个式子到第 个式子相乘 可以得到即 根据比较原则 可以推知 收敛.()若当 时 不等式()成立 既有于是 当 时 的极限值不可能为 所以根据级数的柯西收敛准则的推论可以得出级数 是发散的.推广 (极限形式):若 为正项级数对于某一取定的 且()存在 则:()当 或 时 级数 发散 证明:由()式 对于取定的正数 存在正数 当 时 对于某一取定的 有 当 时 ()由 时 ()由 时 对于某一取定的 有:从而 所以可以得出级数 是发散的.以上就是对比式判别法的推广 以及推广(极限形式)的完整证明过程 定理 以及定理 第 期 刘文军 等:关于比式判别法和 判别法的推广的证明思路与之相似 在这里就不再详细证明.例.判断级数 ()!的敛散性 其中 .解:法 由定理 即可得出:()!()!()所以 根 据 定 理 可 以 得 出 级 数 ()!发散.法 令 由比式判别法的推广 即可得出:()!()!()!()!()()()所以 根据推广 的结论 也可以得出级数 ()!发散.例.判断级数 ()的敛散性其中.解:因为 所以该级数为正项级数.如果用一般形式 发现:()()()所以 该方法无法判断该级数的敛散性.接下来 利用比式判别法的推广 去进行求解 在这里令 于是有:()()()()()()成立不等式:则级数 收敛()若对一切 成立不等式:时 级数 收敛 九江学院学报(自然科学版)年第 期()当 成立不等式 ()则级数 收敛()若对一切 成立不等式 可以得出 假设选择一个 使得 因为()令 ()法则()所以:(于是就有 ()()所以 根据 级数以及比较原则易得出级数 是收敛的.接下来对()进行证明 因为 又因为 然后根据 级数以及比较原则易得出级数 是发散的.推广 (极限形式):若 为正项级数 对于某一取定的 且:()()存在 则:()当 时 级数 收敛()当 时 都有:时 ()由 第 期 刘文军 等:关于比式判别法和 判别法的推广 并结合推广 中的()可以推出级数 是收敛的.当 时 ()由 并结合推广 中的()可以推出级数 是发散的.以上便是对 判别法的推广 及推广(极限形式)的完整证明过程 定理 和定理 与其证明方法类似 在这就不再详细的进行证明具体证明过程可以在课本上查阅.例.判断级数 ()的敛散性其中.解:如果利用比式判别法的极限形式 可以得出:()()()()所以说 比式判别法无法对该题求解.接下来 利用 判别法的极限形式和 判别法推广 (极限形式)两种方法进行求解.方法 利用 的极限形式进行求解 因为:()()因为 所以 从而可以得出级数 ()发散.方法 假设取 (也可以取其他的正整数)为了计算方便 取 于是有:()()()()()()因为 所以 .解:因为 所以该级数为正项级数.对于该题利用 判别法推广 (极限形式)进行求解 令 (在这里取定其他的偶数也可以解出)为了计算简便 取 于是有:()!()!()()()!()!()()()()()()()()()所以 根据推广 (极限形式)的结论 得出级数 ()!()!()()收敛.九江学院学报(自然科学版)年第 期方法分析:不难发现 判别法在式子的形态上与比式判别法有很大的相似性 里面都具有比式的形式 因此可以说 它们在解决一些级数敛散性的问题上也有着很大的相似性 即都比较适用于解决一些带有连乘、阶乘、双阶乘或者带有(幂函数)的式子.不同的是 判别法能解决的问题相对于比式判别法而言更多一些比如当在利用比式判别法的极限形式时 其极限值为 的时候 说明该题目用该方法无法求解这时就可以尝试着利用 判别法去求解该题目.对于 判别法的两个推广 通过例 发现 两种解题方法的不同之处在于将第 项与第 项的比式改为了第 项与第 项的比式最终结果一致.也就是说对于一些判别正项级数敛散性的题目 当在用到 判别法时 要学会像利用比式判别法的推广时一样 在式子当中不只局限于第 项与第 项的比式 尝试着联想一些其他合适的正整数 将其转化为第 项与第 项的比式 从而利用 判别法的推广进 行 解 题.从 例 中 不 难 看 出 里 面 有()当再利用定理 去解题时 里面就会出现负号 而且无法在计算时消除 导致计算过程很复杂 很难判断出该级数的敛散性 而当利用推论去解题时 题目中的()可以在计算时直接消除.总的来说 该推广的优势与上述比式判别法的推广比较相似 都可以使应用范围更加广泛 更加实用 解起题来也更加方便.参考文献:华东师范大学数学系.数学分析(下册).北京:高等教育出版社.(重印).张玉林 侯婧 王岩.判别法的一种推广形式及应用.高等数学研究 ():.王淑萍.比值判别法的推广.邯郸师专学报 ():.(苏)吉米多维奇著 廖良文 许宁译.数学分析习题集.合肥:安徽人民出版社.吴良森 毛羽辉 宋国栋 等.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.麦宏元 陆春桃.正项级数敛散性判别法研究.山西财经大学学报 ():.潘红 储亚伟.正项级数收敛性判别的几种新方法.科技信息(学术研究)():.汪皎月.正项级数敛散性判别法的推广及应用.贵州师范学院学报 ():.杨铮.统计物理中常用的级数和积分.大学物理 ():.王小伟.论级数在分析学中的地位及应用.产业与科技论坛 ():.(责任编辑 罗江龙)第 期 刘文军 等:关于比式判别法和 判别法的推广