高次有限元格式数值求解Stokes方程.pdf
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1、第3 7 卷第3 期2023年9月doi:10.3969/j.issn.1008-5327.2023.03.013南通职业大学学报JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL UNIVERSITY高次有限元格式数值求解Stokes方程Vol.37 No.3Sept.2023丁晓,陈璐,江山(南通大学理学院,江苏南通2 2 6 0 19)摘要:为提高二维矢量型Stokes方程的求解精度和收敛阶,应用有限元法进行数值模拟。基于变分虚功原理,构造Lagrange 型二次元基函数以形成有限元空间,针对流速的矢量分量形成相应的代数方程组并求解。图像模拟和数值结果均验证,高次有限元解真实有效
2、地逼近了Stokes方程的精确解,且在不同范数度量下,高次有限元格式数值求解方法的精度和收敛阶均达预期。关键词:Stokes方程;有限元法;二次元;数值逼近中图分类号:0 2 4 1.8 2文章编号:10 0 8-53 2 7(2 0 2 3)0 3-0 0 58-0 5for Numerical Solution of Stokes Equations(School of Science,Nantong University,Nantong 226019,China)Abstract:To improve the accuracy and convergence order of two-d
3、imensional vector-type Stokes equations,the finite element method is applied to numerical simulation.Based on the principle of variation virtual work,the Lagrange quadratic basis functions are built to create the finite element space,For vector components offlow velocity,the corresponding algebraic
4、equations are formulated and solved.Both image simulations andnumerical results show that the high-order finite element solution truly and effectively approximates the exactsolution of the Stokes equation,and the accuracy and convergence order of high-order finite element methodfor the numerical sol
5、ution come up to the expectation in different norm metrics.Keywords:Stokes equation;finite element method;quadratic element;numerical approximation文献标志码:AHigh-order Finite Element SchemeDING Xiao,CHEN Lu,JIANG Shan开放科学(资源服务)标识码(OSID):20世纪50 年代末,受大型水坝计算问题的启发,冯康院士创建了系统化、理论化的有限元法。随着计算机技术的飞速发展,有限元法已广泛应用
6、于求解热传导、电磁场、流体力学等连续介质问题。Stokes 方程可以描述雷诺数很小时液滴在黏性流体中的运动问题,近年来被广泛关注。利用有限元法求解Stokes方程一直是计算数学和流收稿日期:2 0 2 3-0 4-19基金项目:国家自然科学基金面上项目(117 7 12 2 4);2 0 2 1年度南通市第一批市级科技计划项目(JC2021123)作者简介:丁晓(1999一),女,江苏盐城人,硕士生,主要研究方向为微分方程数值解法;江山(198 0 一),男,湖南湘潭人,教授,博士,通信作者,主要研究方向为微分方程数值解法及其应用。体力学领域的热点,其研究取得了诸多成果1-7。比如:文献1考虑
7、非定常Stokes方程,将流函数方程和涡度方程分开讨论,再用混合有限元法进行误差估计;王小军和祝家麟2 针对含开边界的二维Stokes问题研究Galerkin边界元解法,数值模拟了不可压黏性流体的绕流;吴妍等3 使用自适应变分多尺度方法对Stokes方程进行优化,将58第3 期细尺度问题分解为若干互不影响的子问题再进行求解;段献葆等4 基于Stokes问题,提出了一种与优化方法相耦合的自适应网格方法;文献7 借助差商法研究了非线性稳态Stokes系统的弱解对高阶分数的可微性;等等。此外,作者课题组应用有限元法与多尺度计算,针对二维奇异摄动边界层问题8 非稳态扩散方程9、弹性力学方程10 等进行
8、了一系列富有成效的理论分析和数值验证。但上述成果均未涉及Stokes方程求解,且所得精度或效率仍有提升空间。本文主要针对Dirichlet边界下的二维矢量型Stokes方程,基于有限维逼近无限维的数值计算思想和变分虚功原理,将原方程区域离散化分割成有限个单元,再对每个局部单元选定二次基函数,形成并组装信息矩阵和载荷向量,进而针对矢量型方程求解代数方程组,并进行图像绘制和误差分析,即采用高次有限元格式处理Stokes方程,以期得到更好的数值精度、更高的稳定收敛阶数。1Stokes 方程与泛函空间考虑二维矢量型Stokes方程-VT(i,p)=在QV=0在Qli=其中:,j,g均为二维列向量,(x
9、,y)=(u,u 2)T丁晓,等:高次有限元格式数值求解Stokes方程上为零。此时,(1)2uD(u):D(i)dxdy-Jop(Vi)dxdy=fvdOV二维区域=0,1-0.25,0,aQ是其边界。利用虚功原理将原方程转化为所需的变分形式。首先,在方程-VT(,p)=广两侧取向量函数(x,y)=(u,2)T 在二维区域的内积;其次,将无散度方程=0两端乘以函数q(x,y)后在上进行积分。此处(,y)和p(x,y)称为试探函数,而i(x,y)和(x,y)称为检验函数。于是可得-Ja(VT(i,p)-vdxdy=J,jidxdy(4)。(Vi)qdxdy=0(5)再进行分部积分,有2uD()
10、:D(i)dxdy-Jop(V-i)dxdy-a(T(i,p)n)ids=Jajidady,l。(i)qdxdy=02因为区域边界a上均由条件=g所限定,所以可选择适当的检验函数i(,y),使其在边界表示流体流速,右端x,y)=(f i,),边界条件g(x,y)=(gi,g2)T;应力张量 T(i,p)=2uD(i)-pl,是黏度系数,p是压力,I 是单位矩阵;形变张量D(i)=(Vi+(Vu)可写为2QuldxD(u)=1Qui+2ay类似地,应力张量也可写为u20一PxT(i,p)au+ay-I,(Vi)qdxdy=0令a(i,i)=l。2 D(u):D()d x d y,b(i,q)=f
11、(V-i)q d d y,(j,i)=J。iddy,则方程(1)1Qul+2ayau2xayVay220ayP(3)的变分形式即为求ieH()H(),且pELP(Q2),使得a(u,i)+b(i,p)=(f,b)(2)b(u,q)=0对于任意讠H。()H。()和L2()均成立。其中:L()为在上平方可积有界的函数空x间,H()是在上函数本身和其一阶偏导数都平方可积的函数空间,H(Q)为H()的子集且边界上为零的函数空间。59(6)(7)南通职业大学学报2有限元格式与二次基函数构造d(x,y)=ajx+biy?+cjxy+diy+ejx+fi,j=1,6有限元法的基本思想是用有限维空间去逼近使得
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