高中数学函数问题中有效回避分类讨论的若干策略.pdf
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1、高中数学函数问题中有效回避分类讨论的若干策略林俊杰(上饶市第一中学,江西 上饶334000)摘要:分类讨论是常见且重要的一种解题策略,它较好地体现了对“能力”的考查,备受命题者的关注,但分类讨论需做到不重不漏,这就对思维的严谨性提出了较高的要求,学生常常会因为考虑不全面而导致解题失误。从优化解题过程、提高解题效率的角度来思考,有些问题可简化或避免分类讨论。文章结合例题,探析在高中数学函数问题中避免分类讨论的若干策略。关键词:高中数学;分类讨论;函数问题分类讨论是高中数学中必须掌握的数学思想之一,掌握分类讨论的思想方法有利于培养学生全面严谨的数学思维能力,并能够有逻辑地分析、解决问题。然而,这种
2、数学思想方法对学生来说,难度非常大,掌握情况并不理想。具体表现在:没有分类讨论的意识,不知道分类讨论的标准及讨论的内容。大多数分类讨论的问题都与参数有关,其实质是“化整为零,各个击破”,而事实上,并非所有含参数的问题都一定要分类讨论,如果能够优化解题思路,选择更好的解题策略,消除引起讨论的因素,就能够有效避免分类讨论,从而达到简化解题过程的目的,摆脱大量而烦琐的讨论,减少出错机会。下面结合具体实例谈谈有效避免分类讨论的几个策略。一、挖掘隐含条件有效避免讨论有些数学题目中会有一些隐含条件,如果稍加留意,充分挖掘,就能避免复杂的分类讨论,从而简化解答过程。例1已知函数,定义域为 m,n,且,值域为
3、蓘1n,1m蓡,求m,n的值。如果没有注意到隐含条件,很容易想到分三种情况讨论区间 m,n 与直线x=1的位置关系:即n臆1,m1n和m逸1,再在每个情况下讨论函数的单调性,进而由值域的范围列方程求解。而事实上,f(x)=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1臆1,因此值域蓘1n,1m蓡必包含在(-肄,1 中,所以1m臆1,即m逸1。因此本题只有一种情况,即函数f(x)在定义域 m,n 上单调递减,可知当x=m时函数有最大值,当x=n时函数有最小值,再根据值域的范围列方程得f(m)=-2(m-1)2+1=1m且f(n)=-2(n-1)2+1=1n,故m,n是方程-2(x-1)2+1=1x的两
4、个解,整理方程得(x-1)(2x2-2x-1)=0,解方程得x1=1,x2=1+3 姨2,x3=1-3 姨2。又因为1臆mn,所以m=1,n=1+3 姨2。有些问题直接分类求解,费时费力,如果能充分挖掘条件中的隐含信息,从特殊入手,压缩参数范围,往往能减少分类讨论,甚至回避分类讨论。本题原来应从n臆1,m1n和m逸1三个不同区间的情况进行分类讨论,但是在观察题目后先求出函数值域的所在范围,发现其与对称轴x=1的位置只有唯一一种情况,进而就能确定m的唯一取值范围,把情况锁定在只有一种区间内,这样就避免了分类讨论,大大节省了解题的时间,并降低了计算的复杂度。二、进行等价转化有效避免讨论在解答有些问
5、题时,有时可以将题目中的条件进行合理变形或等价转化,结合一定的运算技巧就可避免分类讨论。例2设函数f(x)=lgx,若0af(b),求ab的取值范围。43课堂内外高中教研如果是常规做法,将f(x)取绝对值写成分段函数f(x)=lgx,x逸1,-lgx,0 xf(b)逸0可得f(a)2f(b)2,即(lga)2(lgb)2,这样就把绝对值直接消掉,还避免了分类讨论,再根据移项和因式分解得(lga+lgb)(lga-lgb)0,所以lg(ab)lgab0,因为0ab,则0ab1,所以lgab0,则lg(ab)0,即0ab1。对一些含绝对值号的问题,要常常利用公式、性质进行合理计算,将其等价转化为不
6、需要分类讨论的问题加以解决。本题先通过观察题意得出函数的值域,再借用等价转化及不等式的性质脱去绝对值号,避免了分类讨论,最后运用对数的运算公式,把复杂的分类计算简化成对数值中真数的取值范围求解,过程简洁明了,计算亦化繁为简。三、利用函数性质有效避免讨论函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质,在解决含参数的函数问题时,若能够适当加以运用,则能有效避免分类讨论。例3设定义在R上的偶函数f(x)在区间 0,+肄)上单调递减,若f(1-t)f(t),求实数t的取值范围。常规做法是根据函数的定义域1-t、t沂R内的单调性列不等式求解,但是1-t和t在(-肄,0、0,+肄)的哪个区间内并不能确定,所以就
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