带有p-Laplacian算子的分数阶非线性积分边值问题的唯一正解与和算子方法.pdf
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1、Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1731-1743http:/带有p-Laplacian算子的分数阶非线性积分边值问题的唯一正解与和算子方法王文霞(太原师范学院数学系山西晋中0 30 6 19)摘要:该文研究了一类带有p-Laplacian算子并且非线性项f中含有分数阶导数项以及边界条件中含有非线性积分项的分数阶边值问题唯一正解的存在性:通过构造适当的辅助边值问题和锥上的等价类,利用锥理论与和算子方法获得了该边值问题唯一正解存在的充分条件,建立了一致收敛于唯一正解的单调迭代格式,最后给出了一个具体的例子作为所获结论的应用.关键词:分数阶微分方程;边值问题;p-Lapl
2、acian算子;正解;锥.MR(2020)主题分类:34A08;34B15中图分类号:0 17 5.8文章编号:10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-17 31-131引言由于分数阶微积分在物理学、生物学、工程技术等诸多领域的广泛应用,近年来分数阶微分方程理论及其应用的研究获得了快速发展,见文献1-5及其参考文献。作为非牛顿力学,弹性理论,种群生物学等诸多领域中的重要数学模型,带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解理论的研究获得了越来越多的关注,研究成果不断涌现见文献6-16 其参考文献.在这些文献中,大多数文献研究的都是正解的存在性,比如文献6-13,而研究正解
3、的存在唯一性的文献相对较少14-16。文献14使用5-凹增算子的不动点定理研究了如下带有 p-Laplacian算子的Caputo型分数阶边值问题正解的存在唯一性(cDa(p(cDBa(t)+a(t)f(r(t)=0,t e(0,1),p(cDa(0)=(p(cDB(1)=(p(cD(0)=0,(0)=(E)+入,其中0 1,23,0 0.在文献16 中,作者使用-(h,e)-凹增算子的不动点定理研究了如下带有 p(t)-Laplacian算子的Riemann-Liouville 型分数阶q-微分方程的Stieltjes积分边值问题正解的存在唯一性Dg(p(t)(Dgr(t)-g(t)+f(,
4、(t)=0,t e(0,1),r(0)=(Dga)(0)=0,(Dqa)(1)-/r(t)dA(t)=,Dga(t)lt=0=0,收稿日期:2 0 2 2-0 1-17;修订日期:2 0 2 3-0 3-2 5E-mail:基金项目:国家自然科学基金(1136 10 47)Supported by the NSFC(11361047)Hcientia8文献标识码:A1732其中0 1,0 1,2 0.但是,当p-Laplacian分数阶边值问题的非线性项中含有分数阶导数项,而且边界条件中还含有非线性积分项时,其正解的存在唯一性研究尚不多见.特别地,若确定边界条件中的非线性积分项的函数还是变号的
5、、关于空间变量不单调的,其正解的存在唯一性研究作者尚未见到.受此激励,本文研究如下非线性项中含有分数阶导数项以及边界条件中含有两个非线性积分项的p-Laplacian边值问题(简记为PBVP)-Da(pp(-DBa(t)=f(t,a(t),-Da(t),t E(0,1),DBc(0)=0,(p(-Da(0)=0,D(dp(-Da(1)=Ih(p(-Da(n),(a(0)=0,DB-1(1)=Ig(s,(s)+k,其中D,DB,D分别是阶,阶和阶Riemann-Liouville型分数阶导数,IV,I分别是阶和w阶Riemann-Liouville型分数阶积分;0 1 20,0 E,n 0;f
6、E C(0,1 R+R+,R+),h C(R+,R+),g E C(0,1 R+,R),R-(-0,+0),R+=10,+0)0(0)=/0/p-2s.1.显然,1=0 0+-1本文在 PBVP(1.1)中的g(t,)可以是变号的、无界的、关于不单调的情况下,通过一个推广的和算子不动点定理,讨论了PBVP(1.1)存在唯一正解的一些充分条件,获得了一些新的结论.众所周知,微分方程边值问题正解的存在唯一性问题无论在理论上还是在应用中都是非常重要的,研究这类问题的主要工具是定义在锥上的带有凹(凸)性的单调算子理论,参见文献14-22及其参考文献本文所讨论的p-Laplacian分数阶边值问题(1.
7、1无论是和文献17,18 中所研究的不涉及p-Laplacian算子的整数阶边值问题相比,还是和文献14-16 中所研究的p-Laplacian分数阶边值问题相比都是不同的,不同之处在于不仅PBVP(1.1)的非线性项f中涉及到未知函数的分数阶导数项,而且其边界条件中还涉及到分别由非线性函数h 和g所确定的两个积分项;此外,虽然文献19-2 2 所研究的边值问题的边界条件也涉及到由函数g所确定的非线性项,但与这些文献本质上要求g满足非负有上界(或非正有下界)且单调的条件不同,本文PBVP(1.1)的边界条件中的非线性函数g可以是变号的、无界的、不单调的正因为这些不同,本文所使用的条件与这些文献
8、是不同的,进而本文使用的研究方法比如说获得等价积分方程的方法以及使用的单调算子的不动点定理也与这些文献是不同的.2预备知识与不动点定理定义 2.12)函数 a:(0,+oo)R 的0 阶 Riemann-Liouvlle 分数积分是指I(t):T()J0(t-s)a-1a(s)ds,只要上式右端在(0,+oo)有定义.连续函数:(0,+o o)R的0阶Riemann-Liouville分数导数是指只要上式右端在(0,+oo)有定义.其中n-1n,n为正整数,I()为Gamma函数.数学物理学报11CD(t)T(n-)dtVol.43 A(1.1)(t-s)n-1a(s)ds,No.6引理 2.
9、113,引理2.6 设 C0,1,入 R,0 1 2 0,0 eP+-1 时,0 H(t,s)(+2-,王文霞:带有p-Laplacian算子的分数阶非线性积分边值问题的唯一正解与和算子方法Ar(+w)t-1G(s,T)0(T)dT+ds+T()(1-s)-1 (t-s)-1,to-T(t-1(1-s)a-1,(r(+w)-(s-s)+w-1)tB-1-(T(+w)-s+w-1)(t-s)8-1,(+w)-(s-s)+w-1)t-1,I(+w)ta-1-(t-s)-1+w-1(t-s)-1,$st,(r(+w)t-1,s t,s s,F(-)lt-1)t E 0,1.T()1733-Da(dp
10、(-Dy(t)=0(t),t E(0,1),DBy(0)=0,(dp(-DBy(0)=0,0st1,0ts1,st,ss,tss,t,s E 0,1;0 H(t,s)设E是实Banach空间,是E中的零元素,P是E中的锥.锥P在E中定义的半序关系如下:设,yE,y 当且仅当P.若y且y,则记作y.锥称为正规锥,若存在常数 0,使得对任意,E且y,有 Ilalllyll.关于锥的详细理论参见文献2 3设,E,若存在实数l0,l20使得ll2,则称与具有关系,记为y.显然关系是一个等价关系.设,即eP,e,记e的等价类为Pe,即(2.2)t-1,t,s E 0,1()Pe=eElae.1734引理
11、2.319,定理2.2】设P是E中的正规锥,A:PP及B:PP皆为增算子.若(G1-1)存在 e使得 Ae E Pe,Be E Pe;(G2)存在实数 0,1)使得 A(T)A 及 B(Tc)TBa,V P,V (0,1);(G3)存在常数 o0 使得 A0oBc,VE P.则算子方程A+B=在P。中有唯一解a*进而对任意的o EPe,做迭代序列Cn=Aan-1+Ban-1(n=1,2,),则有,limcn-*l=0.就本文的算子B而言,对任意的e皆有Be&Pe,即引理2.3中的条件(G1-1)不能满足.为了获得本文的结论,我们需推广引理2.3.为此令Pe=E E|()0 使得 0 l(a)e
12、),显然PeCPeCP.根据文献19,定理2.1证明,引理2.3中的条件(G1-1)可以减弱为(G1-2)存在 e 使得 Ae E Pe,Be Pe.于是可获得结论定理2.1设P是E中的正规锥,A:PP及B:PP皆为增算子.若条件(G1-2),(G2)和(G3)成立,则算子方程A+B=在P。中有唯一解*。进而对任意的oEPe,构造迭代序列 an=Acn-1+Ban-1(n=1,2,),则有,limlan-a*Il=0.数学物理学报n-+n+XVol.43 A(2.3)3主要结论令X=(|E C0,1,D E C0,1,对任意的EX,定义其范数为lall=maxle(t)+max|Da(t)l,
13、则X为Banach空间.再te0,1令P=(E X I a(t)0,DPa(t)0,t E 0,1),容易证明P是X中的锥.显然,a,yEP,二y当且仅当0 a(t)y(t),0-DPa(t)-DPy(t),t e 0,1.进而有alIlyll,故P是X中正规常数为1的正规锥.定义3.1 若函数EX是 PBVP(1.1)的解,且(t)0,t E(0,1),称为 PBVP(1.1)的正解.本文将使用条件(H1)f(t,a1,y1)f(t,2,y2),h(a1)h(c2),0 1 2,0 y1 y2,t E 0,1.(H2-1)g(t,0)0,t E 0,1.存在 0 满足使得此外,存在非负函数E
14、L0,1 使得 J(s-s)-1(s)ds0,且g(t,a)+c p(t),0,t e 0,1.tE0,1W+w-1(1-)-(+w)max/cB+ug(t,c2)-g(t,a1)-(2-i),0 1a2,t 0,1;-11-(1-)-1No.6(H2-2)g(t,0)0,t 0,1.存在0 满足I(+w)+w-1,使得g(t,a2)-g(t,1)(a2-a1),0 1 2,t 0,1;此外,存在非负函数E L0,1 使得 J(-s)-1p(s)ds0,且g(t,c)-c sp(t),0,t E 0,1.(H3)h(1)0,且存在 E(0,1),i=1,2 使得对任意的 r E(0,1)有f(
15、t,ra,ry)pp(ro1)f(t,a,),h(ra)ro2 h(a),a,y 0,t e 0,1.(H4)g(t,ra)rg(t,a),r E(0,1),a 0,t E 0,1.注3.1由(H2-1)可知:g(t,a)+ag(t,0)0,t0,1,0.但在此情况下,g(t,z)可以是变号的、无界的,也可以关于没有单调性。由(H2-2)可知:g(t,)0,tE0,1,0.但在此情况下,g(t,c)可以是无界的.定理3.1如果条件(H1),(H 2-1),(H 3)及(H4)成立,则PBVP(1.1)有唯一正解a*EP,且存在实数1*0,L*0使得(2t-1-t-+P)a(t)L*(2t8-1
16、-t%-+P),t E 0,r(g-1+1)(1+1)进而,对任意的 o E P,做迭代序列cn(t)=H-u(t,sT(-)sa-1 1 h(op(-DPan-1(n)ds十T()T(+w)2-1(-,n-1()a-1(-)+,t,n=1,2,则有limmax lcn(t)-a*(t)I=0,lim max IDPan(t)-Da*(t)|=0.n=+oo te0,1 证对任意给定的EP,构造如下边值问题-Da(gp(-DPy(t)=f(t,r(t),-DBa(t),t E(0,1),DPy(0)=0,(p(-DBy(0)=0,D(p(-DBy(1)=Ih(p(-DBr(n),(y(0)=0
17、,DB-1g(1)=I(g(s,(E)-(S)-a(3)+k.根据引理2.1,边值问题(3.5)有唯一解H-(t,s)0王文霞:带有p-Laplacian算子的分数阶非线性积分边值问题的唯一正解与和算子方法2t%-1,t e0,1.1(g-1+1)G(s,T)f(T,an-1(T),-DPam-1(T)dTn-+oo te0,1G(s,T)f(T,(T),-Da(T)dT1735(3.1)2tH-DPa*(t)L*T(-I+1)t(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)1736数学物理学报F(-)s-1Ih(op(-DPa(n)ds十T(a)十Vol.43 A(3.6)定义算子A和B如下:对任
18、意的EP,(A)(t)=I(+w)t-1,(Ba)(t)=,则根据注2.1可得-DP(Ar)(t)=-DB(A+B)r(t)=(-DP(B)(t)=0,t E 0,1.于是由引理2.2 及注3.1可知A:PP,B:PP.再根据PBVP(1.1),PBVP(3.5)及(3.6)式容易看到,a*EP是算子A+B的不动点当且仅当a*为PBVP(1.1)在P中的解.以下分四步来证明定理2.1中所有的条件皆成立.(i)首先证明算子A和B皆为锥 P上的增算子.对任意a1,2EP,c12有0 a1(t)a2(t),0-DBai(t)-DPz2(t),t E 0,1.进而,根据条件(H1)及(H2-1)可得1
19、(Ac1)(t)=H-uJo+I(-)s-1T()H0F(-)s-1T(a)=(A2)(t),t E 0,1;-D(Ac1)(t)=qG(t,T)f(T,a1(T),-DP1(T)dTF(-)t-1,Ih(p(-DPa1(n)十I()G(t,T)f(T,2(T),-DB2(T)dTI(-)t-1I h(o(-DPac2(n)T()H-I(-)s-1T()I(g(s,a()+r(E),t e 0,1,T(-)t-1,Ih(gp(DPa(mn),t e0,1,一T(a)G(s,T)f(T,(T),-DB(T)dTG(s,T)f(T,a1(T),-DPa1(T)dTG(s,T)f(T,2(T),-D
20、Pa2(T)dT,t E 0,1,G(t,T)f(T,a(T),-DB(T)dTNo.6故AciAc2,BaiBa2.(ii)证明存在e 使得 AeE Pe,Be Pe.为此令则其中于是故eEP且e0,即e0.定义P。和P。分别如(2.2)式及(2.3)式.根据引理2.2,条件(H1),(H 3)和(3.7)式,对任意的tE0,1皆有(Ae)(t)T(B)f(T,e(T),-DBe(T)dT十T()f(r,2,m)dt+I(-)h(dp(m)T(a)(Ae)(t)r(+w)ktB-1 T(+w)ke(t);2公1-DP(Ae)(t)toT()(Lo f(r,2,m)dr+F(a-)h(op(m
21、)I()Jo f(,2,m)dt+I(-)h(gp(m)mT()-DP(Ae)(t)de(-)t-1T()-I/h(op(-DPe(n)(-)(r()r(u)(-)h(p(m)I()(u)0王文霞:带有p-Laplacian算子的分数阶非线性积分边值问题的唯一正解与和算子方法=-DP(A2)(t),t e 0,1;I(+w)t-1,(Bi1)(t)=I(+w)te-1-DP(Bac1)(t)=0=-DB(Ba2)(t),t E 0,1,e(t)=2t8-1 t-+,t 0,1,-DPe(t)=mt%-1,t 0,1,m=p-10 t-1 e(t)2tB-1 2,0-DPe(t)=mt%-m,t
22、 E 0,1,T(+w)k(t8-1+(t-1 t8-1+)2t-1r(-)f(,2,m)dT+r()r(u+1)I()(u+1)r()r(u+1)(n-T)u-1 h(op(m)-1)dt)t8-1(n-T)u-1-1dt)t8-11737I(g(s,a1(E)+ai(s)-I(g(s,2(s)+c2(s)=(Ba2)(t),t e 0,1;+1)r()r(u+1)(3.7)(m)-DPe(t),1738此即其中Lo=max既然 h(1)0,故Lolo0.从而有AeEPe.再由(H2-1)可得(Be)(t)=(+w)tB-1,数学物理学报T(a-)n+a-1h(op(m)DPe(t),mT(
23、+v)loe Ae Loe,lo(-De)-DP(Ae)Lo(-DPe),T(+w)kmin2oI()Vol.43 A(F(a-)n+-1h(op(m)1mT(+v)Jo f(r,2,m)dt+I(a-)h(gp(m)T(a)T()r(u+1)此即r(+w)Ip(s)0Be从而有BeEPe.由此可知定理2.1中的条件(G1-2)成立.(ii)证明存在实数(0,1)使得对任意的 P,(0,1)有 A(ra)roA及B(ra)rBc.取=max01,0 2),于是对任意的r(0,1)和EP,根据条件(H3)有A(ra)(t)/H-(t,s)dT(-)sT()H_0T(-)s-1T(a)r Aa,t
24、 E 0,1,-D(A(ra)(t)r0a(I(-)ta-1,rh(0p(-DPa(m)+T(a)=r(-D(A)(t),t E 0,1,此即 A(ra)ro Ac,r E(0,1),E P.另一方面,对任意的rE(0,1),EP,由条件(H4)可得B(rc)(t)-D(B(rac)(t)=0=r(-DB(Ba)(t),t E 0,1,e.(n01)0/G(s,T)f(T,a(T),-DPa(T)dTdp(r)G(s,T),f(T,a(T),-DB(T)dT1G(t,T)f(T,a(T),-D(T)dT0r(+w)t-1-I(g(s,(s)+a(E)=rBa(t),t e 0,1,No.6此即
25、 B(r)rBc,r E(0,1),EP.于是,定理2.1中的条件(G2)成立.(iv)证明存在常数o0使得 AoB,VEP,此即定理2.1中的条件(G3)。事实上,根据(H2-1),取=J6(-000)de(B)(t):Ar(w)F(+w)t-1Ar(w)or(+w)kts-1-DP(Ba)(t)=0 o(-D(Aar)(t),t E 0,1.故AcBa=ooBa,aEP.综上所述,定理2.1中所有条件皆满足.故根据定理2.1可知算子A+B在P。中有唯一解a*,注意到(A+B)(P)CPe,故*就是PBVP(1.1)唯一正解,且(3.1)式和(3.2)式成立.进而,对任意的oEP,做迭代序列
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