T-粗糙集与拓扑.pdf
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1、第36卷第3期2023年9月Vol.36 No.3Sep.2023闽南师范大学学报(自然科学版)Journal of Minnan Normal University(Natural Science)T-粗糙集与拓扑林英茹,李长清*(闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000)摘要:引入集值连续映射的概念,利用T-粗糙集的上逆和下逆定义,研究集值连续映射的一些性质,并将这些性质部分推广至T-粗糙模糊集.关键词:T-粗糙集;集值连续映射;拓扑;T-粗糙模糊集中图分类号:O189.1 文献标志码:A 文章编号:2095-7122(2023)03-0014-08T-rough set an
2、d topologyLIN Yingru,LI Changqing*(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:The paper introduces the concept of set-valued continuous mapping,makes a study of some properties of set-valued continuous mapping by means of the definitions of u
3、pper and lower inverses of T-rough sets,and extends some of these properties to T-rough fuzzy sets.Key words:T-rough set;set-valued continuous mapping;topology;T-rough fuzzy set粗糙集理论最早由Pawlak1提出的,Yao等2将拓扑空间的概念引入粗糙集中,在多方面取得研究成果.文献3研究了粗糙集与拓扑空间的关系,文献4研究一般关系下粗糙集模型上映射的性质,文献5-6研究拓扑空间中子集关于子基的内部和闭包与粗糙集之间的关系
4、,文献7将有限域扩展到无限域,文献8-10进一步地得出模糊粗糙近似算子的拓扑性质,文献11在格上讨论粗糙集拓扑性质.进一步,Davvaz12引入了集合集值映射下的下逆和上逆的概念,即T-粗糙集,这是对粗糙集理论中的上近似及下近似的推广.Muhammad等13研究由广义可定义集确定的拓扑,给出了广义粗糙集在集合X和集合Y上确定两种拓扑结构的方法.基于此,Ngoc等14研究基于可定义集的模糊拓扑空间.众所周知,粗糙集理论与拓扑理论密切相关,而连续映射是拓扑空间之间的一类重要映射.基于文献12,定义了下逆集值连续映射,上逆集值连续映射,集值连续映射的概念,考虑与连续映射的差别,还研究集值连续映射的一
5、些基本性质,并将这些性质部分推广到T-粗糙模糊集情形.特别地,研究了双论域上的T-粗糙模糊集的交与并的性质.1 预备知识在文中,(Y),*(Y)分别表示非空集合Y的幂集和非空幂集.收稿日期:2023-03-17基金项目:国家自然科学基金(11871259,12271191);福建省自然科学基金(2020J01801,2020J02043,2022J01912,2022J01306,2022J05169)作者简介:林英茹(1999),女,福建泉州人,硕士生.*通信作者.E-mail:helen_林英茹,等:T-粗糙集与拓扑第3期定义定义 112 设X和Y是两个非空集合,T:X*(Y)是集值映射.
6、BY,记T-(B)=xX|T()x B,T+(B)=xX|T()x B.此时,T-(B)与T+(B)分别为B在T下的下逆和上逆,序对(T+(B)T-(B)称为T-粗糙集.命题命题 113 设X和Y是两个非空集合,对于集值映射T:X(Y),任意xX,有T(x).那么对任意A B(Y),有1)T-(Ac)=(T+(A)c;2)T+(Ac)=(T-(A)c;3)T-(AB)T-(A)T-(B);4)T+(AB)=T+(A)T+(B);5)T-(AB)=T-(A)T-(B);6)T+(A)T+(B)T+(AB);7)ABT-(A)T-(B);8)ABT+(A)T+(B);9)T-()=T+();10)
7、T+(Y)=X=T-(Y).命题命题 213 设X和Y是两个非空集合.对于集值映射T:X(Y),任意xX,有T(x),则对于任意的A(Y),有T+(A)T-(A).定义定义 215 设U是非空论域,若U的子集族满足:1)U;2)对任意G1 G2,有G1G2;3)对任意Gi|iJ(其中:J是任意指标集),有iJGi.此时,称为U上的一个拓扑,序对(U)是一个拓扑空间.定义定义 315 设Y是拓扑空间(X)的子集,集族|Y=YU:U称为Y上(关于)的子空间拓扑.定义定义 416 设U是非空论域,(0 1,对任意yU,有x(y)=y=x 0 yx 则x称为U上的模糊点.命题命题 313 设X和Y是两
8、个非空集合.对于集值映射T:X(Y),任意xX,有T(x),则X=A(X)|$B()Y T-()B=T+()B=A和Y=B(Y)|T-()B=T+()B分别是X和Y上的拓扑.定义定义 5 17 设集值映射Ti:X*(Y),其中i=1 2.则T1,T2的交与并分别定义为:对于任意xX,有(T1T2)(x)=T1(x)T2(x),(T1T2)(x)=T1(x)T2(x).定义定义 618 设U是非空论域,若U的模糊子集族满足:1)对任意0 1,其中:表示隶属度恒取的常数模糊集;2)对任意的G1 G2,有G1G2;3)对任意的Gi|iJ(其中:J是任意指标集),有iJGi.此时,称为U上的一个模糊拓
9、扑,序对(U)是一个模糊拓扑空间.2 集值连续映射首先定义上逆集值连续映射和下逆集值连续映射,还有集值连续映射的概念,并用一些例子来说明它们152023年闽南师范大学学报(自然科学版)的区别,进而说明集值连续映射不同于连续映射.同时,通过限制下逆的定义域对集值连续映射进行研究.借助定义 1 及连续映射的定义,可给出以下定义.定义定义 7 设(X X),(Y Y)是两个拓扑空间,T:X(Y)是集值映射,且任意xX,有T(x).若对任意GY,有T-(G)X,则称T为从空间X到空间Y的下逆集值连续映射;若对任意GY,有T+(G)X,则称T为从空间X到空间Y的上逆集值连续映射;若T既是下逆集值连续映射
10、,又是上逆集值连续映射,则称T为从空间X到空间Y的集值连续映射.下面将用几个例子说明三者的区别.例例1 设X=x y z t,X=X x z t,Y=abc,Y=Ybbc.将集值映射T:X(Y)定义为T(x)=b,T(y)=ac,T(z)=b,T(t)=Y.此时,T-()=X,T-(Y)=XX,T-(b)=xztX,T-(bc)=xyzt=XX.因此,T为从空间X到空间Y的下逆集值连续映射.但T+(b)=xzX,所以T不是从空间X到空间Y的上逆集值连续映射.例例 2 设X=xyzt,X=Xxz,Y=abc,Y=Yb.将集值映射T:X(Y)定义为T(x)=b,T(y)=ac,T(z)=b,T(t
11、)=Y.此时,T+()=X,T+(Y)=xyzt=XX,T+(b)=xzX.因此,T为从空间X到空间Y的上逆集值连续映射.但T-(b)=xztX,所以T不是从空间X到空间Y的下逆集值连续映射.例例 3 设X=xyzt,X=Xxz,Y=abc,Y=Yab.将集值映射T:X(Y)定义为T(x)=b,T(y)=ac,T(z)=b,T(t)=Y.此 时,T-()=T+()=X,T-(Y)=T+(Y)=xyzt=XX,T-(ab)=XX,T+(ab)=xzX.此时,T为从空间X到空间Y的集值连续映射.设X和Y是两个拓扑空间,f:XY是映射.如果Y中每个开集U的原像f-1(U)是X中的开集,则称f连续.那
12、么,一个很自然的问题是:问题问题 1 集值连续映射和连续映射是否有什么联系?事实上,可以通过下面的两个例子说明这个问题的答案.例例 4 设X=xyzt,X=Xxz,Y=abc,(Y)=abcabacbcY中,Y=Yab,()Y=(Y)Y.将集值映射T:X(Y)定义为T(x)=b,T(y)=ac,T(z)=b,T(t)=Y.由例 3 可知,T为集值连续映射.但Y()Y,T-1(Y)=tX,因此T不是连续映射.例例 5 设X=x yzt,X=Xxz,Y=abc,(Y)=abcabacbcY中,Y=Yb,()Y=(Y)b.将集值映射T:X(Y)定义为T(x)=b,T(y)=ac,T(z)=b,T(t
13、)=Y.此 时,()Y,T-1()=X;(Y)()Y,T-1(Y)=XX;b()Y,T-1(b)=xzX,因此T为连续映射.但bY,T-(b)=xztX,所以T不是集值连续映射.16林英茹,等:T-粗糙集与拓扑第3期很自然地,有以下命题.命题命题 4 设X和Y是两个非空集合,T:X(Y)是集值映射,记X=A(X)|$B()Y T-()B=T+()B=A,Y=B(Y)|T-()B=T+()B.若对任意xX,T(x),则X,Y分别是X和Y上的拓扑,且T是集值连续映射.证明证明 由命题 3 可以得出,X和Y分别是X和Y上的拓扑.则对任意的BY,T-(B)=T+(B).设A=T-(B)=T+(B),则
14、AX,即T-(B)X,T+(B)X.所以T既为下逆集值连续映射,T也是上逆集值连续映射,即T是集值连续映射.证毕.接着,从下逆的定义域对集值连续映射进行研究.设(XX),(YY)是两个拓扑空间,T:X(Y)是集值连续映射,且对任意xX,有T(x).对任意BY,集族X|T-()B=T-(B)U:UX为T-(B)上关于X的子空间拓扑.对于拓扑空间(T-(B)X|T-()B)和(YY),定义映射TT-()B:T-(B)(Y)为,对于任意xT-(B),有TT-()B(x)=T(x),则有以下命题.命题命题 5 TT-()B为集值连续映射.证明证明 因为T是集值连续映射,所以对任意BY,都有T-(B)X
15、且T+(B)X.对于任意GY,有(TT-()B)-(G)=xT-(B)|TT-()B()x G=xX|T()x GT-(B)=T-(G)T-(B),则有(TT-()B)-(G)X|T-()B.同理,(TT-()B)+(G)X|T-()B.证毕.紧接着,考虑集值连续映射的等价条件,可得以下命题.命题命题 6 设(XX),(YY)是两个拓扑空间.T:X(Y)是集值映射,且对任意xX,有T(x).下列条件等价:1)T是集值连续映射;2)若B为Y的闭集,则T-(B)及T+(B)是X的闭集;3)若A为Y的开集,则T-(A)及T+(A)是X的开集.证明证明 1)2).当T是集值连续映射时,对于任意Y中闭集
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