s-正规子群与有限群的可解性.pdf
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1、第 39 卷 第 6 期2023年6月商 丘 师 范 学 院 学 报JOURNAL OF SHANGQIU NORMAL UNIVERSITYVol.39 No.6June,2023收稿日期:2022-03-27基金项目:国家自然科学基金资助项目(1217010177)作者简介:曹玉兵(1996),男,江苏徐州人,沈阳工业大学在读研究生,主要从事群论研究;通信作者:何立国(1967),男,黑龙江齐齐哈尔人,沈阳工业大学理学院教授,主要从事群论研究.s-正规子群与有限群的可解性曹玉兵,何立国(沈阳工业大学 理学院,辽宁 沈阳 110870)摘 要:利用 -Hall 子群和 -Hall 子群的极大
2、子群的 s-正规性来研究有限群的可解性,得到了有限群可解的一些充分条件.关键词:次正规子群;s-正规子群;-Hall 子群;可解群 中图分类号:O152.1 文献标识码:A 文章编号:1672-3600(2023)06-0009-02s-normal subgroup and solvability of finite groupsCAO Yubin,HE Liuo(School of Science,Shenyn University of Technology,Shenyn 110870,China)Abstract:This artirce uses s-normality of -Ha
3、ll subgroups and maximal subgroups of -Hall subgroups to givethe solvability of finite groups,and obtained some sufficient conditions for solvable groups.Key Words:subnormal subgroup;s-normal subgroup;-Hallsubgroup;solvable group有限群的子群的性质和群的结构之间有着非常密切的联系,因此人们常常通过子群的性质来研究群的结构.1996 年,引入了子群 c-正规的概念,并研究
4、了此类有限群的结构与性质1.接着在减弱 c-正规的条件后给出了 s-正规的概念,并得到了一些重要结论2.群 G 的一个子群 H 在 G 中是 s-正规,如果存在 G 的一个次正规子群 K,使得 G=HK 且 HKHSG,其中 HSG是包含在 H 中的 G 的极大次正规子群.利用 Sylow 子群和极大子群的 s-正规性来研究有限群的结构已取得了许多结果.2007 年利用 Sylow 子群及 Sylow 的极大子群的 s-正规性得到了有限群可解和 p-幂零的一些充分条件3;2010 年利用极大子群的 s-正规性研究有限群的结构4;2013 年利用 Sylow 子群的 s-正规性来研究有限群的可解
5、性5.2021 年利用 n-极大子群的 s-正规性讨论有限群的性质和结构6.本文主要利用 -Hall 子群和 -Hall 子群的极大子群的 s-正规性来研究有限群的可解性,得到了有限群可解的一些充分条件.本文所有的群均为有限群.令 表示素数的某个集合,表示 在全体素数集合中的余集,H G 表示 H 是 G 的一个子群,HcharG 表示 H 是 G 的一个特征子群,HG 表示 H 是 G 的一个正规子群.HG 表示 H 是 G 的一个次正规子群.其它没有提及的概念和符号参考文献7.1 相关引理引理 12设 H 为群 G 的子群,则(1)G 为 s-单群当且仅当 G 为单群.(2)若 NG 且
6、N H,则 H 在 G 中 s-正规当且仅当 H/N 在 G/N 中 s-正规.(3)若 H 是 G 的 -子群,且 N 为 G 的正规 -子群,若 H 在 G 中 s-正规,那么 HN/N 在 G/N 中 s-正规.引理 27奇数阶群必可解.引理 37设G=2n,n 是奇数,则 G 必可解.引理 44设 H 为 G 的 Hall 子群且 HG,那么 HG.引理 55设G=k 且(k,15)=1,则 G 可解.引理 65设群 G 的 p-子群 PG,则 P Op(G).2 主要结果及其证明定理 1设 H 为 G 的可解 -Hall 子群且 2 ,若 H 在 G 中 s-正规,则 G 是可解群.
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