常微分方程课程教学的几点思考.pdf
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1、 139 常微分方程作为本科数学应用相关专业的几大核心专业课程之一,其教学效果的好坏会影响其所在专业的本科培养目标的实现,因此该课程的教学一直倍受所开设课程学院的重视。课程的教学效果虽然会受到很多因素的影响,但是教师本人的知识结构以及其对课程知识结构的认知将在很大程度上决定着该教师在课堂的教学方法的选取、知识点的解剖详尽程度、课堂师生互动的设计乃至对课前预习、课堂教学深浅难易的把握和课后的知识延伸安排等,对教学的核心环节具有决定性的影响1。因此,除了更新适应时代教改需要的教学理念,采用符合实际需求的教学媒介以外,如何处理好以下三个方面问题对课程教学具有重要意义。首先,如何理解常微分方程课程的知
2、识结构的构建以及其内在逻辑对该课程的教学整体把握和对整个课程的重难点以及各个章节重难点的确定与如何突破它们都具有重要的意义。其次,基于学科的教学目标,如何处理好课程内容的安排,构建知识板块,形成分块教学,对学生形成系统性学习具有一定的指导意义。最后,如何挖掘课程内容所蕴含的数学思想和技巧方法,并通过合理的手段传达给学生,甚至展示学科前沿,这些都是课程教学对授课教师提出的合理的要求。一、课程知识的内在逻辑从哲学的角度来讲,人类社会是各种关系的总和。在所有关系当中,确定的关系是最容易能被人们所认识的,尤其在某种特定的情况下,我们需要知道某种量化的确定关系,它在数学上就是所说的函收稿日期:2022-
3、09-21基金项目:遵义师范学院 2021 年教改培育项目(JGPY2021024)作者简介:汤小燕,女,贵州遵义人,遵义师范学院数学学院讲师,硕士,主要从事微分方程及其最优控制研究。常微分方程课程教学的几点思考汤小燕,王常春,罗东升*(遵义师范学院 数学学院,贵州 遵义 563006)摘要:作者根据常微分方程课程的内容结构分析了其内在的逻辑,并基于该逻辑说明了如何合理安排课程教学,最后结合该课程的课程目标,从挖掘数学思想和数学方法技巧的角度对这门课程的教学提出了相应的建议。关键词:常微分方程;课程逻辑;内容安排中图分类号:O175.4;G642文献标识码:A文章编号:1009-3583(20
4、23)-0139-04Several Thoughts on the Teaching of Ordinary DifferentialEquationTANG Xiao-yan,WANG Chang-chun,LUO Dong-sheng*(School of mathematics,Zuny Normal University,Zunyi 563006,China)According to the content structure of ordinary differential equation course,the author analyzes its internal logic
5、,and explainshow to arrange the course teaching reasonably based on this logic.Finally,combining the course objectives of this course,the authorputs forward corresponding suggestions for the teaching of this course from the perspective of mining mathematical ideas and mathe-matical methods and skill
6、s.differential equation;curriculum logic;content arrangement第 25 卷第 3 期2023 年 6 月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityVol.25,No.3Jun.2023 140 第 25 卷第 3 期遵义师范学院学报2023 年 6 月数,这种关系是所有关系中最为简单和基本的。世界是不断变化的,这就要求人们采用一个合理的方法来刻画世界变化过程中的关系。刻画变化关系的手段很多,但对于量化关系的变化,最有效的手段就是变化率,因为它除了能刻画变化外,还具有针对自变量的时效性,即能比较好
7、地刻画动态过程中因变量随自变量的变化而变化的动态过程。对于考虑只受一个影响因素确定的量化关系的变化状况时,在数学上就是研究单变量函数的变化,通常情况下,我们利用导数来研究它。对于一元函数而言,其可导性与可微性是一致的,因此一元微分方程广泛地被用来刻画各种单因素影响的动态过程,这就决定了常微分方程在实际生产和生活中的诸多应用,比如在物理的电路、生物的种群、化学反应的动力学和医学上的传染病等,都可以借助于常微分方程(组)模型来刻画。这些便引发了广大研究人员对常微分方程理论的广泛关注和深入研究,伴随着微积分的发展,后续在柯西、斯图姆、刘维尔、黎曼、庞加莱和李雅普诺夫等诸多大数学家的共同努力下,到二十
8、世纪三十年代末四十年代初,常微分方程已经基本形成了一个比较完整的理论体系2。人们在生产和生活中不断探求常微分方程理论发展的内在需求逻辑。常微分方程的数学模型被广泛地应用于实践,因此,生产生活的需要是常微分方程作为数学应用相关专业的课程开设的需求逻辑。其次,在课程内容的安排上遵循着从简单到复杂的逻辑。所谓从简单到复杂,在方程的个数方面,就是先单一方程后方程组;从微分方程阶数的角度,就是从一阶方程到高阶方程;从方程(组)结构的线性来讲,就是先线性后半线性、拟线性直至最后完全非线性,即使是线性方程(组),也是先齐次后非齐次。对于线性方程(组)的求解问题也主要针对常系数方程(组),对于变系数的情形,只
9、针对方程(组)的通解的结构及其性质做相关的介绍,并没有给出具体方程(组)解的求法。这种内容从简单到复杂的安排既有利于学生学习的渐进性,也有利于教师在教学中安排探索解决问题方法时确保从易到难不断深入。有效利用教材课程内容的复杂性,合理安排教学内容的详略以及教学内容的深浅,甚至基于教学内容的难易与复杂程度可以设计一定的开放性的研究性学习问题,让学生在自主学习的过程中,有意识地接触到一些学科前沿,激发学生的学习和研究兴趣以提高学生的学习能力,有助于培养学生学习的品质。最后,课程知识的编排还遵循从实践中来到实践中去的逻辑3。众所周知,任何自然科学理论的形成都是基于人类在自然的改造实践中对其认识,然后上
10、升到理论层面,进而利用所形成的理论反过来指导生产实践。因此,本课程中很多类型常微分方程的引入都会先介绍其产生的实际背景以及其对应的数学模型。这就要求在教学的过程中,我们要关注常微分方程数学模型的应用,尤其鼓励学生针对社会需求,尝试利用常微分方程建立所需解决问题的数学模型,并基于数学模型给出相应问题的科学解读或者相应问题的科学有效解决方案,真正达到学以致用,培养学生利用所学知识动手解决实际问题的能力。二、课程教学的合理安排理解课程知识的内在逻辑,是全面系统地把握学科特色和精准确定教学内容重难点的前提;而如何合理安排教学则是教学工作得以有效开展的基础。教学安排主要包括以下几个方面的内容:确定教学目
11、标、课程安排、教学方法的选择、教学效果的评估与反馈、课程资源的选择和教学活动的设计4。一门课程的教学目标的确定只有与其具体的人才培养目标和专业培养目标相结合,课程的教学才有落脚点,才能做到有的放矢。一旦教学目标确定后,课程安排就显得尤为重要,它是课程目标得以实现的前提。课程安排主要是指确定课程教学的内容、授课的顺序以及课程授课所需时间5。教学内容的安排上,一方面要注重课程的系统性,因为没有课程的系统性,就无法体现学科的特色和其知识体系的完整性;另一方面,要防止为了刻意体现学科的系统性而陷入不必要的知识体系的庞杂与晦涩难懂,尽力做到安排的内容系统而简明,难易适中。就常微分方程这门课程而言,在内容
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