SS-拟正规性对有限群p-超可解性的影响.pdf
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1、第39卷第5期2023年10月山西大同大学学报(自然科学版)Journal of Shanxi Datong University(Natural Science Edition)Vol.39 No.5Oct.2023SS-拟正规性对有限群p-超可解性的影响高建玲(山西大同大学 数学与统计学院,山西 大同 037009)摘要:设G为有限群,子群H称作在G中SS-拟正规,若存在B G使G=HB,且对任意p (B),P Sylp(B),皆有HP=PH。借助p-子群的SS-拟正规性,刻画有限群的结构。应用内p-幂零群与p-可解外p-超可解群的结构和极小阶反例法,得出若干p-幂零群、p-超可解群的判别
2、准则。关键词:SS-拟正规子群;p-幂零群;p-超可解群;超可解群中图分类号:O152.1文献标识码:Adoi:10.3969/j.issn.1674-0874.2023.05.010只考虑有限群G,表示素数集合,(G)表示|G|的 素 因 子 集 合,p,q表 示 素 数,Op(G)=g G|p|/o(g),其它术语和符号见文献1-2。作为S-拟正规性的推广,2008年,Li等3定义了SS-拟正规性,并用某些p-子群的SS-拟正规性刻画了p-幂零群与p-超可解群。之后,很多群论学者应用子群的SS-拟正规性来刻画有限群结构,已有许多丰富结果,如文献4-8。在文献4的基础上,应用某些特定p-子群
3、的SS-拟正规性,得到了若干p-幂零群、p-超可解群及超可解群的判别条件。1 预备知识定义13设H G,则H称作在G中SS-拟正规。若 存 在B G使G=HB,且 对 任 意p (B),P Sylp(B),皆有HP=PH。引 理 13设K G,N-G且H在G中SS-拟正规。(1)若H K,则H在K中亦SS-拟正规;(2)HN/N在G N中SS-拟正规。引理23若p-群P G且P在G中SS-拟正规,则PQ=QP对所有Q Sylq(G)成立,这里q p。引理39设G是群,p (G)且(|G|,p-1)=1。(1)如果N-G且|N|=p,那么N Z(G);(2)如果G的循环Sylowp-子群存在,那
4、么G有正规p-补;(3)如果M G且|G:M|=p,那么M-G。引理49设p-群H在p-群P上作用。若P与Q8无关且H在1(P)上平凡作用,则H在P上平凡作用。引理52设p (G)且p最小,P Sylp(G)且P循环,那么G有正规p-补。引理610假定G是p-可解外p-超可解群,则:(1)G=AN,|N|=p,1,A N=1,这里N G且唯一,N是初等交换p-群,A G且A是p-超可解群;(2)(G)=1且Op(A)=1。2 主要结果定理 1 若p(G),且(|G|,p-1)=1,PSylp(G),O=P,Op(G)。则以下命题彼此等价:(1)G是p-幂零群;(2)P O同Q8无关,同时P O
5、的p阶子群在G中SS-拟正规。证明(1)(2):因G是p-幂零群,所以Op(G)为G的 正 规p-补。由 于Op(G)charG,于 是O=P,Op(G)Op(G)。因此P O P Op(G)=1,进而论断成立。(2)(1):若论断不成立,G设为极小反例。对任一H G,Hp Sylp(H),鉴于 Sylowp-子群的共轭性,可设HpP。故 Hp,Op(H)O,因而Hp Hp,Op(H)P O。由引理1(1)得,H符合假设,故H是p-幂零群。由H的取法知,G的真子群均p-幂零,故G是内p-幂零群。再运用11第VIII章定理3.4有G=P Q。此时Op(G)=G,P O=P。设P0 P且|P0|=
6、p,运用题设及引理 2 有P0Q=收稿日期:2023-05-18基金项目:山西大同大学校级科研基金资助项目2020K8作者简介:高建玲(1981-),女,山西朔州人,硕士,讲师,研究方向:群论。E-mail:文章编号:1674-0874(2023)05-0041-03山西大同大学学报(自然科学版)2023年QP0。假设P0Q=G,则P=P0循环。运用引理3(2)得,G是p-幂零群,与G的取法矛盾。现设P0Q G,则P0Q=P0Q是p-幂 零 群。故Q CG(1(P)。若CG(1(P)G,则CG(1(P)是p-幂 零 群 且CG(1(P)-G。所 以QG,矛 盾。于 是CG(1(P)=G,因此1
7、(P)Z(G)。若exp(P)=p,则P=1(P),G=P Q,矛盾。因此p=2,exp(P)=4。由引理4,Q在P上平凡作用,于是G是2-幂零群,矛盾。综上讨论,G是p-幂零群。定理2 若p(G),且(|G|,p-1)=1,PSylp(G),O=P,Op(G)。则以下命题彼此等价:(1)G是p-幂零群;(2)P O的p阶子群在G中SS-拟正规;特别地,p=2时,P O的4阶循环子群在G中亦SS-拟正规。证明(1)(2):由于G为p-幂零群,故Op(G)是G的 正 规p-补。又 因Op(G)charG,因 此O=P,Op(G)Op(G)。进一步P O P Op(G)=1,进而结论成立。(2)(
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