Boussinesq方程稳态解的存在性与正则性.pdf
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1、书 书 书 年月第卷第期四川师范大学学报(自然科学版)(),收稿日期:接受日期:基金项目:四川省科技厅应用基础项目()通信作者简介:罗宏(),男,教授,主要从事微分方程与动力系统研究,:引用格式:张敏心,陈敏,罗宏 方程稳态解的存在性与正则性四川师范大学学报(自然科学版),():方程稳态解的存在性与正则性张敏心,陈敏,罗宏(四川师范大学数学科学学院,四川成都)摘要:研究二维方程稳态解的存在性与正则性首先,利用弱连续算子锐角原理得到方程弱解存在性的条件其次,利用理论、线性椭圆理论和迭代方法证明方程强解的存在性最后,利用定理得到解的有限性,并通过理论和线性椭圆方程理论研究方程古典解的存在性关键词:
2、稳态解;存在性;正则性;有限性中图分类号:文献标志码:文章编号:():方程由流体速度场与温度场耦合而成,是地球物理动力学中的重要模型,该方程被广泛应用于大气科学和海洋湍流研究,并且在对流研究中也发挥了重要作用本文主要研究如下的二维不可压缩方程(),(,)(,),(),(,)(,),(,)(,),(,)(,),()其中,是有界开集且有光滑边界,(,)为速度场,(,)为温度,为压强,已知函数和分别表示外力和热源,正常数和分别表示黏性系数和热扩散系数,(,)方程的稳态解对于理解其动力学行为具有重要意义,关于二维系统的稳态解问题已经有了一些研究 年,利用方法证明了在有界域中近似方程稳态解的存在唯一性
3、年,等利用谱方法结合不动点变元得到了广义方程解的存在性、正则性和唯一性条件 年,文献证明了在外区域中的广义模型稳态弱解的存在性 年,等研究了二维稳态方程的最优控制问题,不仅证明了该方程光滑解和最优解的存在性,而且利用拉格朗日乘数法推导出一个最优系统 年,等考虑了在非齐次速度边界条件和混合温度边界条件下的黏性稳态方程最优控制的稳定性 年,利用经典的不动点定理得到了在有界光滑区域上具有任意大边界条件的稳态系统极弱解的存在性,也证明了具有小边界条件的稳态系统极弱解的唯一性年,黄娟丽等采用分离变量法得到在水平与垂直条带区域上方程一些显式稳态解的结果 年,等用时间权重能量估计,得到了在平面带区域上具有部
4、分耗散的二维方程稳态解的整体存在性和稳定性,同时也建立了二维方程解的显式衰减率本文借助文献的方法,研究二维方程稳态解的存在性与正则性首先,利用弱连续算子锐角原理证明二维稳态方程弱解的存在性;其次,利用理论以及线性椭圆方程理论证明方程强解的存在性,得到强解的范数估计式,并通过定理得到解的有限性;最后,再次利用理论以及线性椭圆方程理论得到方程古典解的存在性,实现了解的正则性的提升第期张敏心,等:方程稳态解的存在性与正则性 预备知识本节介绍一些预备知识,包括弱连续算子锐角原理、理论、线性椭圆方程理论和定理等知识引理 对于如下的椭圆方程:(,)(,),(,),()存在特征值,而且 ,引理(嵌入定理)令
5、是一个有界开集,对任意区域有:,()(),当 ,(),当 ,(),当 特别地,这个嵌入是连续的,并且有以下不等式成立(),(),当 ,(),(),当 ,(),(),当 ,其中,(,)是依赖于,的常数设是一个线性空间,、是空间,是可分的,是自反的设,于是存在一个线性映射:是一一稠密的定义(弱连续算子的定义)映射:是弱连续的,如果对所有的,有(),(),引理(弱连续算子锐角原理)设:是弱连续的,是有界开集,若(),则方程()在中存在一个解引理(理论)考虑如下方程 (),在上,()则有如下结论:)令(,),(,),()是问题()的解若,(,),则(,),(,),(),且满足如下估计,(,(,),其中
6、,仅依赖于、)令(,),(,),()()是问题()的解若,(,),则(,),(,),(),且有,(,(,),这里 只依赖于、引理(线性椭圆方程理论)考虑如下椭圆方程 (),()其中,(),(),是一致椭圆的,即存在常数 使得 四川师范大学学报(自然科学版)第卷 ,则有如下结论成立:)令是,的,()如果,(,)是问题()的解,那么,(,),其中,仅依赖于、和、的,范数)令是的,(),(),()如果,(,)是问题()的解,那么,(),其中,仅依赖于、和、的范数或范数引理(定理)令:是的零指标的算子,则的正则值在中稠密进一步,若 是的临界点,则()是一个离散集主要结论引入空间(,)(,)满足 ,(,
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