直观想象开路,推理运算冲锋——立体几何动态问题探索.pdf
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1、数学之友2023年第10 期直观想象开路,推理运算冲锋解题探索一一立体几何动态问题探索楼凌吉(浙江省杭州市萧山区第二高级中学,浙江杭州,3 112 51)摘要:离开坐标法处理几何问题,学生常常束手无策,遇到动态问题便“知难而退”针对这一现象,需要运用几何直观和空间想象来感知变化着的位置关系,后用逻辑推理和数学运算进行论证求解,不同层次的学生得到不同的发展.在成功体验的引领下,学生以更大的热情投入到立体几何动态问题的研究中,核心素养得到进一步提升。关键词:直观想象;逻辑推理;数学运算;立体几何动态问题师引导学生运用几何直观和空间想象,使点S从几1问题呈现个不同的维度运动起来,进而观察三个角的变化
2、.学试题1在三棱锥S-ABC中,ABC为正三角形,设二面角S-AB-C,S-BC-A,S-CA-B的平面角的大小分别为,(,,则下面结论正确的2是().1A.tan tan tan B.+TTC1D.tan tan tan 2问题解决本题编排在笔者学校高三第一学期期末复习综合卷第9 题,据数据统计,全校和笔者任教的两个班级答题情况如表1所示.AB全校41.91%310班45.8%317班48.8%由此可见,任教班级选择C选项的比例要高于全校平均水平.经调查发现,这部分学生的读题率远低于班级平均水平,其次是作图率不高,做到了“知难而退”.在课堂上,学生继续审题,作出图形后,发现点S的位置影响着三
3、个二面角,,的大小.教1的值恒为正数表1C19.1%10.79%10.4%25%11.6%23.2%CGFAE图1D(正确率)再看表1,全校选择B选项的比例要高于笔者28.2%任教的班级,这在一定程度上反映出其他班级有更多的学生能作出图2.虽然这不是正确选项,却意味18.7%着他们已经迈出第一步,敢于审题,并作出相应的16.3%图形.在课堂上,有学生提出,研究完点S的纵向运动,接下来应该研究点S的横向运动,即点S在底面射影S.的变化.当点S,在ABC内部运动时,三个二面角的变化并不明显.紧接着,学生马上将点S,移到ABC的外部,如图3,发现为钝角,点S离BCBAE图2B2023.10_65口E
4、数学之友越远,越大,最后趋向于,而此时的,仍为锐角,还是无法判定三者的和与一的大小关系.此时,有学生提出,如图4,为钝角,点S,离射线BE,BF越远,越大,最后均趋向于,因此排除B选项.笔者继续提问该学生:“这样的三棱锥并不常见,你是如何想到点S,落在这个位置.”因为两两相交的三条直线(不共点)把平面分成了7 部分,ABC是正三角形,所以区域可以归为三类,只要把点S,在三个区域的情况研究完整即可.ABE图3GABF图4直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:利用空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描
5、述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路 .立体几何的动态问题未必给出对应的图形,作图是学生遇到的第一个关卡.作图是一项集结了观察和思考的技能,应让学生有更多的时间和机会亲自动手,体会几何图形中隐含的数量关系和位置关系,增强对图形的观察能力 2 .通过全方位地考虑点S的位置,借助几何直观和空间想象,排除了B,C两个选项,进一步提升了学生的直观想象能力,为后续研究指明了方向,奠定了基础.回到题目本身,tan tan tan 负数无法从几何图形中直观感知,这就需要用逻辑推理和数学运算来判定.66_数学之友2023年第10 期1由图2 可知,+3tan ES,F
6、St11SS,SS,+tan tanGS,ES,+FS,+GS,SS,SS,然成立.由图3 可知,111ES,tan tan tan FS1GS,_ ES,-FS,+GStSSS,SS,出建立平面直角坐标系,运用点到直线的距离公式。如图5,不妨令正三角形的边长为2,S(x o,%)为线段BC,射线CG,BE围成区域内的一个动点,则ES,-1/3x0+y0-/31,1/3x0-yo+/31FS,+GS,=yo-2/3xo+y0-/3/3x0-y0+/3=/3,运用线性规划解除22了绝对值这一障碍.甚至有学生发现点S,是ABCS中心时,ES,+FS,+GS,=/3,猜想点S,位于ABC内部时,ES
7、,+FS,+GS,也恒为/3.这为第三种情况的证明指明了方向.S此外,由三角形内一点到三边的距离,在图2 中不难联想到用等面积法SAABC=SAABS,+SABCS,+SACSI,求得 ES,+FS,+GS,=V3一AB,可以引导学生沿着这个2思路去探索第二种情况。SAABC=SABS,+SAACs-SABCSI(图 3),故 ES,+GS,-FS,=+2tan tan 10.tan第三种情况的两种方法作为课后提高训练,并选取优秀的作业进行展示,这个环节既提高了课堂效率,又保证了学生充分的消化时间和进一步探索的空间,不同层次的学生得到了不同的发展.变式1在三棱锥 S-ABC中,ABC为正三角形
8、,设SA,SB,SC与底面ABC所成的线面角分别为,TT(,+2若正三角形ABC 的边长为2,点S在距离底面恒为/3 的是否可以取到1平面上运动,则tan tantan(C(0,V3)?S,十0显A(-1,0)SS,.为表示出三个距离,学生提SS,=yo-2V31AB,故,则+的取值范围是1一的取值范围是B(1,0)图51;A数学之友在后续的学习中安排变式1的学习,旨在让学生学会审题作图,进一步掌握用直观想象来解决问题的方法.3问题拓展试题2(2 0 2 0 学年第一学期杭州市高三教学质量检测第17 题)如图5,在棱长为/2 的正方体ABCD-A,B,C,D,中,棱BBi,B,C,的中点分别为
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