一维可压缩两相流模型在磁场作用下大初值整体适定性.pdf
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1、第44卷第2期2023年6月淮北师范大学学报(自然科学版)Journal of Huaibei Normal University(Natural Sciences)Vol.44 No.2Jun.2023一维可压缩两相流模型在磁场作用下大初值整体适定性沈勇瑞,李扬(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)摘要:文章讨论在磁场作用下一维可压缩两相流模型的整体适定性。假设初始值含真空且满足相容性条件,利用能量方法、柯西不等式等分析工具对密度、速度、磁场建立先验估计,并进一步证明所研究方程组初边值问题强解的存在性、唯一性,以及解对初始值的连续依赖性。关键词:可压缩流体;能量方法;大初值;适
2、定性中图分类号:O 175.29文献标识码:A文章编号:2095-0691(2023)02-0042-080引言磁流体动力学研究的是电磁场中导电流体的运动,在天体物理、受控热核反应和工业等方面具有非常广泛的应用。许多数学家,物理学家都对其进行深刻研究。关于三维可压缩磁流体力学方程组,Li等1在初始值含真空但允许大振荡的条件下证明整体适定性。关于磁场作用下的可压缩两相流模型,Zhu等2研究初值值小但允许大振荡时的整体适定性和长时间行为。关于一维可压缩磁流体力学方程组,Zhang等3对于具有任意大的初始值证明整体适定性。Zhu4进一步研究磁场作用下的一维两相模型的电阻率消失极限。关于磁流体力学方程
3、组更多的研究结果,可以参考文献 5-17。特别地,注意到当初始值含真空时,一维可压缩两相流模型在磁场作用下的整体适定性还是未知的。受文献 11-12 的启发,本文将研究下列方程组的整体适定性:t+()ux=0,(1)nt+()nux=0,(2)(+n)ut+()+n u2+p+12b2x=uxx,(3)bt+()bux=bxx,(4)这里,n为流体密度,uR为速度,bR为磁场,p=+n为压强,1,1为绝热指数,分别为粘性系数和磁扩散系数。并且上述方程组(1)(4)的初边值问题的研究是在有界空间域=()0,1上进行的。其初边值为:(),n,()+n u,b()x,0=()0,n0,m0,b0()
4、x,x,(5)()u,b|x=0,1=0,(6)这里00,n00,m0,b0满足某些相容性条件和一些额外的假设,且当0=0,n0=0时,m0=0。由于初始真空条件下初始密度0,n0可能会在空间域=(0,1)上消失,这使得方程组(1)(6)的存在性和其它的一些问题处理起来比0,n0有正下界时更有难度。由于磁场的存在,本文中的问题也将变的更加复杂。收稿日期:2022-12-16基金项目:国家自然科学基金项目(12001003);安徽省高等学校质量工程教学研究项目(2021kcszsfkc020);安徽大学校级质量工程教学研究项目(2022xjzlgc144)作者简介:沈勇瑞(1996),男,浙江绍
5、兴人,硕士生,研究方向为偏微分方程。通信作者:李扬(1991),男,安徽淮南人,博士,副教授,研究方向为偏微分方程。第2期沈勇瑞等:一维可压缩两相流模型在磁场作用下大初值整体适定性1主要结果与先验估计定理1假设0,n0,m0=()0+n0u0和b0满足以下条件:0H1,00,n0H1,n00,u0H10H2,b0H10。(7)假设下列相容性条件对初值成立:u0 xx-0+n0+12|b02x=()0+n012f,fL2(),(8)则式(1)(6)存在唯一的强解(,n,u,b)满足,对所有T(0,),有:L()0,T;H1,nL()0,T;H1,uL()0,T;H10H2,bL()0,T;H10
6、,utL2()0,T;H1,()bt,bxxL2()0,T;L2,()t,nt,+nutL()0,T;L2。(9)这里Wm,p()表示一般的 Sobolev 空间,Wm,2()=Hm(),W0,p()=Lp(),并有缩写:Lq()0,T;Wm,pLq()0,T;Wm,p(),LpLp()。下文中C表示正常数。这一部分主要是对(,n,u,b)先验估计的推导,定理1的证明将在后面2部分中给出。引理1对任意t(0,T),有:()+n()x,t dx=()0+n0()x dx C,G(),n+12()+n u2+12b2()x,t dx+0t()u2x+b2xdxdsC。(10)这里G(,n)是非负函
7、数,其表达式如下:G(),n=-1+n-1,1,1。(11)证明首先对式(1)、式(2)进行简单计算可得:()+nt+()+n ux=0,(12)由于总质量守恒,因此在式(3)和式(4)两边分别乘以u,b,并将2个方程相加,并利用式(12)可得:12()+n u2+12b2t+12()+n u3+ub2x+upx=()uux+bbxx-()u2x+b2x,(13)在(0,t)上对式(12)和式(13)积分,得到引理1。下一个引理将给出(x,t)和n(x,t)的上界,这是证明定理1的关键所在。引理2对任意()x,t QT()0,T,有+nC。证明注意到式(3)可改写成如下形式:()+n ut=u
8、x-()+n u2-p-12b2x。(14)设()x,t=0tux-()+n u2-p-12b2()x,s ds+0 xm0()d,(15)由式(14)和式(15),可知满足:x=()+n u,t=ux-()+n u2-p-12b2,|t=0=0 xm0()d,(16)由引理1和式(16),并利用柯西-施瓦茨不等式得:xL()0,T;L1C,|()x,t dx C,(17)由此推得:L()()0,T xL()0,T;L1+|()x,t dx C。(18)令Dt=t+ux,取F=exp(/),易知:Dt()+n F t()+n F+ux()+n F=-1p+12b2()+n F0,(19)联立式
9、(18),得到引理2。43淮北师范大学学报(自然科学版)2023年引理3磁场b满足以下估计:sup0tT()b()tL+bx()tL2+btL2()0,T;L2C,bxxL2()0,T;L2C。(20)证明式(4)两边同时乘以bt,在(0,t)上积分,利用柯西-施瓦茨不等式,引理1,以及以下不等式:maxxu2(),s ux()s2L2,maxxb2(),s bx()s2L2。(21)可得:120t|bt2()x,s dxds+2|bx2()x,t dx 2|b0 x2(x)dx+0t(u2b2x+u2xb2)(x,s)dxdsC+20t()u2x()x,s dx()|bx2(x,s)dx d
10、s。(22)又由引理1可知,uxL2(0,T;L2)C。对式(22)应用Gronwall不等式以及Sobolev不等式可得引理3的第一个不等式。在式(4)两边同乘以bxx,在(0,T)上积分,得:0T|bxx2(x,t)dxdt C0T()b2t+u2xb2+u2b2x()x,t dxdtC+C supt()0,Tb()t2L0Tux()t2L2dt+C0Tux()t2L2bx()t2L2dtC+C supt()0,T()b()t2L+bx()t2L20Tux()t2L2dtC,(23)这里利用柯西-施瓦茨不等式,式(21),引理1,以及引理3的第一部分。至此,引理3全部得证。引理4对速度u的
11、估计如下:sup0tT()u()tL+ux()tL2+nutL2()0,T;L2C。(24)证明在式(3)两边同时乘以ut,并在上积分,利用Young不等式可得:2ddtu2xdx+12()+n u2tdx12()+n u2u2xdx+putxdx+12b2uxtdx,(25)由式(1)、式(2)、式(3)可知:putxdx=ddtpuxdx-12ddtp()+n u2dx-12()-2+1+()-2 n+1+()-2 n+()-2 n u2uxdx+12p2uxdx-1pu()+n uux+bbxdx+()-1+()-1 nu2xdx,(26)12b2uxtdx=12ddtb2uxdx-bb
12、tuxdx。(27)将式(26)和式(27)代入到式(25),并在(0,t)上积分,可得:u2x()x,t dx+0t()+n u2tdxdsC+C()p|ux+p()+n u2+b2|ux()x,t dx+C0t(+n)u2u2x+(+1+n+1+n+n)u2|ux+p2|ux+|pubbx+(+n)u2x+|bbtux)dxds,(28)利用引理13对式(28)右边项进行估计:()p|ux+p()+n u2+b2|ux()t dxC()+u2x()t dx,0,(29)0t()()+n u2u2x+()+1+n+1+n+n u2|ux+p2|ux+()+nu2xdxdsC+C0tmaxxu
13、2(),sux()s2L2dsC+C0tux()s4L2ds,(30)0t()|pubbx+|bbtuxdxdsC0t()()+n u2+b2x+b2t+u2xdxdtC,(31)取适当小,由式(28)(31)可得:u2x()t dx+0t()+n u2tdxdsC+C0tux()s4L2ds,(32)由引理1可知uxL2(0,T;L2)C,对上式应用Gronwall不等式和Sobolev不等式即可得引理4。44第2期沈勇瑞等:一维可压缩两相流模型在磁场作用下大初值整体适定性引理50T()ux()t2L+Gx()t2L2dtC,(33)这里G=ux-p-12b2,C为正常数。证明式(3)可以改
14、写为:()+n ut+()+n uux=Gx,(34)应用引理14可得:()G,bL()0,T;L2+()Gx,0L2()0,T;L2C,(35)由此可以推得:0Tux()t2LdtC0T()G2L+p2L+b4L()t dtC0T()G2L2+Gx2L2+p2L+b4L()t dtC,(36)引理5得证。为证明强解的唯一性,还需要以下估计。引理6压强p(,n)=+n满足sup0tTpx(,t)L2C,若相容性条件式(8)成立,则有:sup0tT()+n u2t()x,t dx+0Tu2txdxdt C。(37)证明设p=p1+p2,其中p1()=,p2(n)=n。由式(1)可知,p1满足:p
15、1t+p1xu+p1ux=0,(38)由p=p1+p2,G=ux-p-12b2可得:px2L22()p1x2L2+p2x2L2,(39)uxx2L2C()Gx2L2+px2L2+bx2L2。(40)式(38)两边对x求导,再在两边同时乘以p1x,并且在上积分,得:ddtp1x2L2C()|p1x2|ux+p1|p1x+|uxxdxC()uxLp1x2L2+Gx2L2+px2L2+bx2L2+p1x2L2C()uxLp1x2L2+Gx2L2+bx2L2+p1x2L2+p2x2L2。(41)同理ddtp2x2L2C()uxLp2x2L2+Gx2L2+bx2L2+p1x2L2+p2x2L2。(42)
16、从而ddt(p1x2L2+p2x2L2)C(uxL(p1x2L2+p2x2L2)+Gx2L2+bx2L2+p1x2L2+p2x2L2)。(43)由引理15和对式(43)应用Gronwall不等式可得:p1x2L2+p2x2L2C,(44)由式(39)可知px2L2C,于是引理6的第1部分得证,即sup0tTpx()tL2C。(45)接下来证明第2部分。首先,将式(3)改写为:()+n ut+()+n uux-uxx+p+b22x=0,(46)两边对t求导可得:()+n utt+()+n uuxt-uxxt+p+b22xt=-()+nt()ut+uux-()+n utux,(47)式(47)两边
17、乘以ut,且在上积分得:12ddt()+n u2tdx+u2xtdx-p+b22tuxtdx=-()()+n u()u2t+uuxutx+()+n u2tuxdx,(48)45淮北师范大学学报(自然科学版)2023年由式(1)和式(2)可知:-ptutxdx=pxuutxdx+12ddt()p1+p2u2xdx+2()-p1u()u2xx+()1 p1u3xdx+2()-p2u()u2xx+()-1 p2u3xdx。(49)在式(1)和式(2)两边分别乘以-1,n-1,并相加得:pt+pxu+()p1+p2ux=0,(50)这里p=p1+p2,其中p1()=,p2(n)=n。由式(50)可知:
18、-ptutxdx=()pxu+()p1+p2uxutxdx=pxuutxdx+12ddt()p1+p2u2xdx-12()p1+p2tu2xdx,(51)由式(1),p1()=可知:-12()p1tu2xdx=2-1()xu+uxu2xdx=2(p1xuu2x+p1u3x)dx=-2(up1()u2xx+p1u3x)dx+2p1u3xdx=2()-p1()u2xxu+()-1 p1u3xdx。(52)同理-12()p2tu2xdx=2()-p2()u2xxu+()-1 p2u3xdx。(53)将式(52)和式(53)代入式(51),可知式(49)成立。由式(48)、式(49)、Young不等式
19、以及之前的引理可得:ddt12()+n u2t+12()p1+p2u2xdx+u2xtdx(2(+n)|u|ut|utx+(+n)|u|ut|ux2+(+n)|u2|ut|uxx+(+n)|u2|ux|utx+()+n|ux|ut2+|px|u|utx+p1|u|ux|uxx+(+1)2p1|ux3+p2|u|ux|uxx+()-12p2|ux3+|b|bt|utx)dx4utx2L2+C(ux2L+uxx2L2+(2+1)+nut2L2+uxL+nut2L2+-1 bt2L2+1+21),(54)取足够小,并利用式(40)可得:ddt()+n u2t+()p1+p2u2xdx+u2xtdxC
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