一种适用于回字形截面梁的新型翘曲形状函数.pdf
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1、45(3):592-598MaWeili,Cui Huiru,ShangZejin,et al.A new warpage shape function for box beams.Mechanics in Engineering,,2 0 2 3,,2022-12-15收到第1稿,2023-01-13收到修改稿doi:10.60520-0879-22-689文献标识码:A中图分类号:0 341力2023年与第45 卷第3 期6月实践学一种适用于回字形截面梁的新型翘曲形状函数1)马维力*,2)崔辉如十商泽进*王慧*李李道奎*,3)李显方+王诗琦*苗鹤洋*(长安大学理学院,西安7 10 0 6
2、1)(陆军工程大学国防工程学院,南京2 10 0 0 7)*(国防科技大学空天科学学院,长沙410 0 7 3)(中南大学土木工程学院,长沙410 0 7 5)*(火箭军工程大学导弹工程学院,西安7 10 0 0 0)摘要回字形截面梁是本科力学课程教学中常见的一种梁结构,本文提出一种适用于回字形截面的翘曲形状函数,基于此,建立了适用于回字形截面梁的高阶剪切变形梁模型。所提理论同时考虑了横截面剪切变形和转动惯量的影响,且不需引入剪切修正系数,对于回字形截面梁的动静态力学行为计算精度高。同时,计算过程简单,易于工程应用,可以作为材料力学、弹性力学和有限元法课程教学实例,也可基于所提理论发展新的一维
3、高精度有限元梁模型。关键词回字形截面梁,翘曲形状函数,高阶剪切变形梁模型,弯曲,振动A NEW WARPAGE SHAPE FUNCTIONFORBOXBEAMS!)MA Weili*,2)CUI HuirutSHANG Zejin*WANG Hui*LI Daokui*,3)LI XianfangttWANG Shiqi*MIAO Heyang*(School of Science,Changan University,Xian 710061,China)t(College of Defense Engineering,Army Engineering University,Nanjing
4、210007,China)*(College of Aerospace and Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)t(School of Civil Engineering,Central South University,Changsha 410075,China)(College of missile engineering,Rocket Force University of Engineering,Xian 710000,China)Abstract Box beam is a
5、 common beam structure in undergraduate mechanics teaching.A warping shapefunction suitable for box beam section was proposed.Based on the new warping shape function,a high-ordershear deformation beam theory suitable for box beams was developed.The proposed theory considers theinfluence of shear def
6、ormation and moment of inertia simultaneously,and no shear correction factor needs to beintroduced.Therefore,it owns high accuracy for dynamic and static mechanical behavior.Furthermore,theproposed theory possesses a simple calculation procedure and is easy to be applied in engineering,which can beu
7、sed as a teaching example of mechanics of materials,elasticity mechanics and finite element method,and canalso be utilized to develop a novel one-dimensional high-precision finite element beam model.Keywords box beams,warping shape function,higher-order shear deformation beam model,bending,vibration
8、1)中国交通教育研究会教育科学研究重点课题(JTZD20-20),长安大学教育教学改革研究资助项目(2 0 19 0 5,30 0 10 31310 0 6),中央高校基本科研业务费(30 0 10 2 12 2 10 3),陕西省高等教育学会高等教育科学研究项目(XGH21073)和大学生创新训练项目(S2 0 2 2 10 7 10 2 8 0)资助。2)马维力,讲师,研究方向为新型材料力学与结构。E-mail:ma w i l l i n g 16 3.c o m3)通讯作者:李道奎,教授,研究方向为计算固体力学与复合材料结构力学。E-mail:商泽进竿593种适用于回字形截面梁的新型翘
9、曲形状函数马维力等:第3 期回字形截面梁结构具备自然采光和通风性能良好等优点,非常适用于文化中心、艺术展馆等类型的建筑工程,近年来获得快速发展,相关理论研究也日益得到重视。一维弹性梁理论(例如Euler-Bernoulli梁理论,Rayleigh梁理论和Timoshenko梁理论)形式简单,被广泛应用于此类结构的工程计算。Euler-Bernoulli梁理论中引入的平截面假设限制了梁截面发生翘曲变形,虽然极大简化了计算过程,但对于较小长径比的梁结构存在较大计算误差。Rayleigh梁理论将转动惯量的影响项加入到动能的表达式中,考虑了转动惯量的影响,但继续忽略剪切变形。Timoshenko梁理论
10、的位移场表达式中包含了剪切变形引起的横截面与中心轴产生的夹角,同时考虑剪切变形和转动惯量的影响,显著提高了计算精度。Timoshenko梁理论虽然允许梁的横截面发生剪切变形,但不允许发生翘曲,与实际情况不符;另外,该理论还需额外引入剪切修正系数,且该系数不能通过理论自身获得。针对不同截面形状的梁结构,国内外学者提出多种理论方法来求解其动静态力学问题1-3。为了获得精度更高的梁理论,Levinsonl4于2 0 世纪8 0 年代首次提出了适用于矩形截面梁的高阶剪切变形梁模型。通过引入翘曲形状函数的方式,该理论允许截面发生翘曲,且自动满足表面剪应力为零的边界条件,因此可以获得更高精度的解,且同时适
11、用于不同长径比的梁。Levinson梁理论被提出后便被广泛地应用和推广。Huang等5 基于Levinson梁理论,提出适用于圆形截面梁的高阶梁理论。Ma等6-7 进一步将高阶梁理论的适用范围推广到空心圆柱管,尚未有适用于回字形截面梁的高阶梁理论被提出。因此,本文提出一种新的翘曲形状函数,该翘曲形状函数可以描述回字形截面梁的翘曲变形。基于所提翘曲形状函数,建立了适用于回字形截面梁的高阶剪切变形梁模型,同时考虑了横截面剪切变形和转动惯量的影响,不需引入剪切修正系数,且自动满足回字形截面梁内外表面剪应力为零的边界条件。本文所建立的理论属于一维梁理论范畴,进一步拓展了高阶剪切变形梁理论的适用范围,为
12、回字形截面梁动静态力学问题提供了一种新的高精度一维梁理论模型。同时,本文模型计算精度非常接近于三维弹性理论,但应用范围广,对不同长径比的回字形截面梁均具备足够精度,且不存在三维弹性理论计算过程复杂,对复杂边界条件甚至无解的缺点。本文只讨论了弯曲问题和自由振动问题,基于所提理论模型,还可便捷地进一步研究屈曲与热屈曲、波的传播以及受迫振动等问题。1回字形截面梁的翘曲形状函数与控制方程考虑如图1所示的回字形截面梁。本文仅讨论面内弯曲和振动问题,y方向的位移u=O,z轴方向的横向位移w和任一点的转角山均为变量的函数。在高阶剪切变形梁模型中,矩形截面梁轴方向的轴向位移u和z轴方向的横向位移W可以分别表示
13、为wu(c,z)=uo()-+f(2)山()+(1)2w(a,2)=w(c)(2)式中,uo()代表由轴向力引起的拉伸或者压缩位移,可以认为是梁中面的轴向位移。f(2)是关于变量之的函数,用于描述变形后横截面由于剪切变形发生的翘曲,因此称为翘曲形状函数。Sw/oc代表中性面的斜率,以逆时针方向为正。图1中,bo,b i,h o,h i 为回字形截面梁的横截面hiho图1回字形截面梁结构及坐标系的示意图Fig.1 Schematic of a rectangular hollow tube with the corresponding coordinates14)JA22P42dA3h号y6i6
14、0JA2P1dA,12(h+h2)0lyl6;16243h?h?JAm2fdA594力实践2023年第45 卷学宽度和高度尺寸参数,其中角标i和o分别代表内表面和外表面。对于回字形截面梁,引入新的翘曲形状函数1624-3hgh2bi01yl12(hg+h2)212f(2)=(3)423bibo之一3h22,22结合几何方程与本构方程,可得应力表达式为0a=E+f(2)02(4)8f(之wTaz+(5)式中,和分别代表应力和应变,E和G分别代表弹性模量和剪切模量。当不考虑轴向载荷时,利用内力与应力之间的关系,可将弯矩M和剪力Q(如图2 所示)通过挠度w和转角山表示M=ZoaadA=(EI)(EI
15、)(6)022AwwdazdA-(GA)1(7)PAQ+dQM+dMw+dww()之Mdc图2回字形截面梁变形时微段示意图Fig.2 Schematic diagram of micro-segment for deformationof a box beam式中,P为回字形截面梁承受的轴向载荷,本文只关心横向载荷作用下的弯曲问题和自由振动问题,因此可以认为P=0。(EI)1、(EI)2 和(GA)1分别为与弹性模量和剪切模量有关的常数,且(EI)i=E/.2f(2)-2 dA=A1624-3h,h2bi-E-dA,0lyl12(h3+h2)12A(8)424bibo-EdA,3hyA22(E
16、I)2=Ezf(z)dA=A1624-3hgh2biEdA,02y12(h?+hz)12A44biEdA,y3h22(9)f(2)(GA)i=GdA=A422612dA,00(hg+h2)-4(ha+h2)2yA422bibodA,hy22(10)回字形截面梁的内力平衡方程可以写成8Q(11)8t2oM83wP-m2t2ot20a3Wm2f(12)t2式中,q为回字形截面梁承受的横向分布载荷,且m2=p22dA(13)A将式(6))和式(7)代入式(11)和式(12),可得(GA)1(15)P02ot283w(EI)1(EI),(GA)103023w3-2+m2f(16)ot2595种适用于回
17、字形截面梁的新型翘曲形状函数马维力等:第3 期将式(16)中挠度相关项和转角相关项分别置于等号的左右两端,利用数学处理方法,引入中间函数F,令(EI)22Fm2f82FW=F(17)(GA)102(GA)1 at2(EI)13F8F(m2-m2f)3F(18)(GA)ir3(GA)1ot20式中,中间函数F没有物理含义。将式(17)与式(18)代入式(16)时,可以发现方程自动满足。继续将式(17)与式(18)代入式(15),可得84F(EI)284F(EI)1-(EI),m204(GA),t202m2f84F82FP(GA),Ot4+q=0Pot2(19)2弯曲问题弯曲问题为静力学问题,无需
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