我国沪深300ETF期权定价有效性实证分析.pdf
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1、 1 2023 年 8 月第 4 期总第 180 期金融理论与教学Finance Theory and Teaching我国沪深 3 0 0 E T F期权定价有效性实证分析耿庆峰1,2,叶彬莹1(1.闽江学院 新华都商学院,福建 福州 350108;2.区域金融与创新研究中心,福建 福州 350108)摘要:选取 1 0 0 0 2 4 9 5.S H、1 0 0 0 2 5 0 1.S H和 1 0 0 0 2 5 7 5.S H三份为标的资产的沪深 3 0 0 E T F的期权合约,以 2 0 2 0 年 6 月 1 9 日至 2 0 2 0 年 1 2 月 2 3 日的收盘价数据为样本
2、,运用二叉树期权定价模型计算期权理论价格。计算了直接由标的资产收盘价获得的历史波动率和通过反解 B-S 方程得到的隐含波动率,并讨论了这两者作为二叉树期权定价模型输入参数对最终期权理论价格的影响,通过线性回归分析和定量指标分析探讨理论价格和实际价格的关系。研究发现,二叉树定价模型能够较好地对期权合约进行定价,通过 B-S 方程得到隐含波动率定价效果优于直接使用历史波动率,并且期权的执行价格越高,模型的定价误差也会越小。关键词:期权定价;沪深 3 0 0 E T F期权;B-S 模型;二叉树模型中图分类号:F274.5 文献标识码:A 文章编号:1004-9487(2023)04-0001-09
3、收稿日期:2022-11-27基金项目:2020 年教育部第一批产学合作协同育人项目“新华都商学院金融学专业实践教学平台建设研究”(202002258019);福建省本科高校教育教学改革研究一般项目(FBJG20200230);闽江学院“新文科建设背景下地方应用型高校金融学专业课程体系改革与实践”项目。作者简介:耿庆峰(1977-),男,山东济宁人,闽江学院新华都商学院,博士,教授,硕士生导师,研究方向为金融市场理论、供应链金融等;叶彬莹(1998-),女,福建泉州人,硕士研究生,研究方向为金融衍生产品。一、引言1992 年,我国第一次发行了外汇期权,表示我国的金融衍生品市场正式形成且对外开放
4、,但期权的丰富程度与国外期权市场相比却存在一定差距。目前,我国的期权市场只有三种:指数期权、白糖和豆粕的商品期权。2013 年,我国发行了 OTC 期权,其标的种类主要有股指期权、A股个股期权、黄金现货期权。以沪深 300、中证500 和上证 50 指数为标的的股指期权占比达到一半,其次是个股期权,占比 30%。随着资本市场的改革和完善,我国多层次衍生品市场逐步建立,但与发达国家相比,还存在着期权产品种类不丰富、市场内外发展不均衡和进入门槛高等问题。2013 年,我国第一个在交易所上市流通的上证 50ETF 期权问世。2019 年,沪深 300 ETF 期权在上交所交易发行,进一步丰富了金融衍
5、生产品的品种。华泰百瑞沪深 300 ETF 基金是在实时追踪沪深 300 指数行情的基础上成立的开放式基金,具有良好的市场代表性,而沪深 300 ETF 期权合约就是在前者为标的基础上推出的期权衍生品,进一步丰富了期权衍生品市场,吸引了大量投资者,进一步推动了期权定价问题的探究。关于期权的定价方法一直是国内外学者研究的重点,从理论层面来说,B-S 模型与二叉树模型结合的方法可以有效地计算出期权的理论价格,并能考察参数变化对理论价格的影响。从现实层面来看,正确的期权定价能够充分发挥其套期保值、促进资金流通的功能,进而维护市场秩【金融论坛】2 序,对金融市场投资者、风险管理者以及金融监管机构具有重
6、要现实指导意义。二、文献综述1.国外研究现状关于期权定价理论的研究由来已久,不同的期权定价模型各有优劣。在对期权的当期价格和未来价格进行分析和确定中,通常采用 B-S、二叉树和蒙特卡罗模拟等。早在 1900 年,经济学家就开始探究期权定价相关理论。法国经济学家路易斯巴塞利尔(Louis Bachelier)在研究股票价格的波动过程中,基于“随机游走”的理论假设,提出了随机游走模型,即股票价格的变化过程服从布朗运动1。Bachelier 的思想为后人期权定价研究提供了新思路。1961 年,C.M.Sprenkle基于上述的“随机模型”,对股票价格的波动规律进行考察,认为其价格变化路径服从对数正态
7、分布,呈现倒“U”型的走势,排除了随机游走过程中资产价格为负的可能2。1964 年,Boness在Elements of a theory of stock option value中,考虑了风险因素,给出了自己的期权定价模型,认为股票的收益服从对数正态分布3。如何对期权合理定价成为了困扰金融工程学界的核心问题。1973 年,Black 和 Scholes 提出了著名的 B-S 期权定价模型,该模型的使用性大大高于 Bachelier 提岀的模型,期权定价理论问题取得重大突破。由于 B-S 模型中的假定条件在实际市场中很难满足,此后经济学家们对它进行了多次改良。罗伯特默顿以利率为随机变量,提出
8、了支付股息的资产定价模型,具有较强的普适性。Feige 和 Jacquillat 研 究 了 外 汇 期 权 的 交 易4,Garman 与 Kohlhagen 提出了为欧式外汇期权定价的 GK 模型5。此后,Hsieh 和 Rabinovitch 等也对货币期权做了拓展研究)6-7。纵使 B-S 模型有诸多优点,但它复杂的推导过程还是难以被人们接受,另外,B-S 模型在解释欧式期权方面也存在一定障碍,Boyle 提出了三叉树期权定价模型8。此后,Boyle、Broadie和 Glasserman 等人提出蒙特卡罗模拟多种金融衍生品的定价,但在实际运用中结果并不理想9。Jaillet-Lamb
9、erton 和 lapeyre 研 究 了 基 于 变 分 不等 式 的 Brennan-Schwartz 算 法10。Ehrhardt 和Mickens 使用非标准有限差分法求解欧式期权,并给出了有效的数值解11。Kadalbajo 等研究了基于局部径向基函数的有限差分方法,得到了美式期权的数值解12。以上学者的深入研究,使得期权定价理论拥有了完整的理论框架,这也为后来我国学者基于国内市场开展研究打下了基础。2.国内研究现状因为我国期权市场发展的时间比较短,国内学者更多的研究集中在国外理论的应用方面。祝小兵认为期权定价模型同样使用于可转债和认股权证的定价13,郑长德将 B-S 模型应用到公司
10、价值的评估当中14。黄本尧将 B-S 模型比作“黑夜里的烛光”,虽然其精确度仍有待提高,但对于期权定价领域有着深远的意义15。刘海龙和吴冲锋概述了包括 B-S 公式、二项式、蒙特卡罗模拟、有限差分方法在内的多种期权定价方法,并对其使用条件进行了研究16。姜礼尚等基于偏微分方程对期权定价理论进行了深入的研究17,付德才对二叉树期权定价方法的模拟结果进行研究,并通过对比 B-S 模型以及期权产品的实际价格证明了其适用性18,陈莉在二叉树模型的基础上拓展出三种奇异期权的定价19。目前国内市场上证券衍生产品种类很少,股票权证在 19931995 年的交易停止后,直到2005 年才再次推出,对权证的定价
11、研究才逐渐多了起来。王丹阳发现,我国权证市场受政策影响较大,其价格变化不仅与资本市场有关,还与我国的政策密切相关20。傅永昌发现权证产品的实际价格与理论价格存在偏差21。范为和陈宇认为投资者对于认购权证的价值存在着非理性的认识22。杨勇和达庆利依据有效市场假说,通过研究得出欧式认购权证市场未达到弱式有效23。陈明亮分别使用 B-S 模型和蒙特卡罗模拟方法对宝钢权证定价并进行实证分析,验证定价结果的有效性24。王新军和张双在考虑股价稀释效应后,采用蒙特卡罗方法模拟权证价格,对比未修正的价格模拟精度明显提高25。代军比较 B-S 模型与CSR 模型发现,在中国权证内地市场 CSR 定价模型的假设条
12、件不能成立,B-S 模型有着更为显著的效果26。潘涛和邢铁英使用经典 B-S 模型和基于 GRACH 波动率修正后的 B-S 模型对长电权证、宝钢权证定价,并比较其模拟结果的价格区间27。吴恒煜等比较了 GBM 模型和 GARCH 模型,发现 GARCH 模型具有明显的定价优势,但模拟的价格与真实市场价格仍然存在着明显的差距28。王鹏等王建琼对经典 BS 模型中的波动率进行修正,比较了不同波动率参数下 B-S 模型的定价效果29。赵旭研究发现,针对我国的权证市场,分数布朗运动下 B-S 权证定价模型效果优于的正态 3 分布下的期权定价模型30。耿照源和金佩文在B-S模型和修正 EMA 模型的基
13、础上构建了一个修正的 B-S 模型来度量资产波动性。虽然它们在估计价格波动性方面取得了较好的效果,但理论价格与实际市场价格之间仍然存在偏差31。张建锋等分别比较了将隐含波动率模型、历史波动率模型和已实现波动率模型作为波动率参数估计模型的权证定价模型与权证市场价格误差,发现对 21 支权证均出现了不同程度的低估,其中基于隐含波动率模型的定价精度最高32。三、数据选取与参数设置(一)数据选取目前国内的期权包括实物期权和金融期权两个大类,金融期权主要包括上交所 50 只 ETF 期权和嘉实沪深 300 只 ETF 期权。截至 2019 年 12月 18 日,嘉实沪深 300 ETF 已成为深交所规模
14、最大的 ETF,也是我国第一批沪深 300 ETF。因此,本研究选取嘉实沪深 300ETF 期权作为核心样本数据。本研究选取三份到期日期一致,但行权价不同的认购(即行使看涨的权利)期权合约,考虑到发行日期存在细微区别,实际持有期也会有一定差异,因而将样本期确定为 2020 年 6 月 19 日至 2020 年 12 月 23 日,共计 126 个交易日。选取的期权合约部分信息展示见表 1。表 1 选取期权合约样本展示合约编码合约简称类型发行日期到期日期行权价10002495.SH300ETF 购 2020 年 12 月 3400认购2020 年 4 月 23 日2020 年 12 月 23 日
15、3.410002501.SH300ETF 购 2020 年 12 月 4000认购2020 年 4 月 23 日2020 年 12 月 23 日410002575.SH300ETF 购 2020 年 12 月 4500认购2020 年 6 月 19 日2020 年 12 月 23 日4.5从表 1 可以看到,选取的三份期权合约行权价差异较大,可以较好地反映由历史波动率或隐含波动率计算出的理论价格与期权实际价格之间的差异。每份期权合约和标的资产在持有期内的收盘价描述性统计见表 2。表 2 各资产收盘价描述性统计资产名称均值标准差最大值最小值偏度峰度300ETF4.8030.2166775.142
16、4.105-1.3228642.57209610002495.SH1.3650.2293891.7460.673-0.9409771.55558710002501.SH0.8020.1979331.1520.238-0.7665631.09577810002575.SH0.4000.1258810.6450.070-0.519460.492754 从表 2 可以看到,无论是各个期权合约之间还是和标的资产比较,收盘价的变化趋势几乎是一致的,这也符合期权定价的预期,可以初步认为各期权合约定价是合理的。另外,期权合约的价格波动明显,同时不同合约之间的价格差距较大,但差距基本和行权价差一致。(二)参数
17、设置1.波动率设置(1)隐含波动率通过向 B-S 公式中输入 6 个参数从而得到期权的价格,同时也可以通过输入期权的价格和另外 5 个参数反解出剩余的一个参数,即将实际市场上期权的价格输入B-S中即可求得隐含波动率。但是 B-S 方程本身较为复杂,无法直接求反函数得到波动率,因此我们借助二分法的思想完成隐含波动率的反解。二分法的核心思想是通过不断代入波动率的取值得到 B-S 方程计算出的期权价格,将这个价格与实际期权价格作比较,当两者相等(一般默认为差值极小时),此时的波动率即为隐含波动率。首先我们设置一个初始波动率区间,令下限floor=0,上限 top=5,则波动率=(floor+top)
18、/2。若计算出的期权价格 c c,那么令 top=,重复以上步骤;若计算出的期权价格 c c,那么令 floor=,重复以上步骤。在经历若干次迭代以后,即可得到无限接近于隐含波动率的近似值。4 值得一提的是,在求解隐含波动率的过程中,可能会出现计算出的隐含波动率为 0 的情况。对认购期权而言,这种情况会发生在实际期权市场价格低于最低理论价值时,由于隐含波动率不能为负,因此我们会计算得到一个无限接近于 0 的值。这个涉及到实际市场上买卖供求关系的问题,在理想市场上买卖双方力量几乎是一致的,但是实际市场更为复杂,当认购期权的买方力量远弱于卖方时,或者买方急于套现离场时,都会使期权价格压低,从而可能
19、得到比理论价值更低的市场价格。(2)历史波动率由于本文的样本期共 126 个交易日,因此我们用于计算日均波动率的区间选取相同的长度,计算日均波动率的公式如下式(1)。(1)其中,i=sisi-1,i=1,2,.,n,n=126 一年中交易日共 252 个,则求得年波动率为=0 252。2.其他参数设置说明(1)期权距离到期日时间 T。本文选取的期权持有期共 126 天,而根据年交易天数我们对该参数作年化处理后可得 T=126-t252,其中 t 是期权从持有期第一天开始的持有时间,其范围为 1 到125 的整数。(2)无风险利率 r。无风险利率是指将资金投资于某一项没有任何风险的投资对象而能得
20、到的利息率。央行于 2007 年 1 月 4 日推出上海银行间同业拆借利率(Shibor),其形成机制与伦敦同业拆借利率(Libor)相似。因此文中采用上海银行间同业拆借利率(Shibor)2020 年 6 月至 2020年 12 月共 6 个月期间的 6 月期利率的平均值作为本文分析的无风险利率取值,作年化处理后可得r=0.028244。四、实证分析及有效性判定1973年,Fischer black和Myron Scholes认为,在符合假设条件的前提下,已知做空期权的动态套期保值成本,并据此对期权进行定价。基于这个思路,他们得到了一个与标的资产价格相关的偏微分方程,只需要给定相应的条件,即
21、可求解出任意期权的价格,求解式如(2)和(3)。c=S0N(d1)-Xe-rTN(d2)(2)p=Xe-rTN(-d2)-S0N(-d1)(3)其中,d1=ln(S0X)+(r+22)*T/(T)d2=ln(S0X)+(r-22)*T/(T)=d1-T其中,c 指看涨期权价格,p 指看跌期权价格,S 为标的资产的价格,X 为行权价格,r 为无风险连续复利的利率,T 为以年为单位的期权到期时间,为标的金融资产的波动率,N 指累计标准正态分布函数。B-S 定价模型运用了偏微分方程,这些微分方程通常能够得到解析解,可以得到简化的定价公式,但是当解析解不存在时则会出现问题。此时,我们可以通过数值方法模
22、拟标的资产价格运动的路径,或对偏微分方程做离散化处理,从而达到为期权定价的目的,本研究主要选用二叉树期权定价模型作为期权定价的核心数值方法进行计算。(一)实证分析1.二叉树定价与步长关系的讨论首先我们将构建一个能够直接代表期权标的资产价格以及期权价格变化的二叉树,从当日 t0到期日划分为 N 个区间,每个区间 t 标的资产和期权的价格都会随机上涨或下跌,根据二叉树的构建理论首先可以得到每个时间节点下的标的资产价格,于是可以得到每个时间节点期权合约的内在价值。在得到期权合约的内在价值后我们根据计算出的上涨或下跌的概率,对合约价值向前进行折现,折现到 t0时刻即可得到期权的理论价格。对于一个二叉树
23、而言,时间步长即 N 的取值将直接影响二叉树的定价效果,同时本文主要探讨的是波动率和价格的关系。因此,我们确定一系列初始参数值,讨论不同波动率下,不同时间步长取值对理论价格的影响。初始值见表 3。表 3 初始值设定参数名称数值标的资产价格5.013行权价3.4无风险利率0.028188距离到期日时间0.5在以上初始值条件下,我们对波动率作不同取值(=0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35),得到期权理论价格和步长的关系见图 1、图 2 和图 3。5 图 1 不同波动率下期权价格与步长关系 图 2 不同波动率下期权价格与步长关系 图 3 不同波动率下期权价格与步长关系 由图 1-图
24、 3 可知,我们从 0 至 1000 对时间步长取值得到不同的期权价格。首先对比各图来看,波动率越大的二叉树理论价格越大,同时数值上趋于稳定的时间所需要的步长数值越大。而从各图来看,当步长逐渐增大时,期权价格逐渐趋于稳定,虽然在极小范围仍然存在波动,但我们可以认为最终期权价格在 500 步以后都已经收敛,因而我们在后续的研究中可以固定 N=500。2.理论价格计算基于二叉树模型的计算公式和模型建立思想,我们用 Python 语言编写程序,求得各个时间节点下的期权合约理论价格,并最终得到现期的理论价格。对不同合约的理论价格计算结果如图4。图 4 中,实线代表实际价格,虚线代表理论价格,最下面点线
25、代表实际价格与理论价格的差值。通过代入历史波动率计算的 2495 合约理论价格与实际价格拟合度较好,且在大约 2020 年 7 月 1日前后和 2020 年 11 月 20 日以后两者的差值近乎为 0,我们也可以看出随着到期时间的接近,拟合效果也越来越好。1.751.501.251.000.750.500.250.00期权价格2020-06-19 2020-07-09 2020-07-27 2020-08-12 2020-08-28 2020-09-15 2020-10-09 2020-10-27 2020-11-12 2020-11-30 2020-12-16日期 实际价格-理论价格.-.-
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