威胁小天体动能撞击防御误差演化分析.pdf
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1、Vol.23 No.22023空间碎片研究SpaceDebrisResearch第 23 卷 第 2 期2023 年威胁小天体动能撞击防御误差演化分析张高辇,李翔宇*(北京理工大学宇航学院,北京100081)摘 要:部分近地小天体存在撞击地球的潜在风险,利用航天器动能撞击小天体实现轨道偏转是目前较为成熟的小天体防御方案,但在动能撞击过程中,撞击器的制导控制误差可能造成实际撞击小行星的位置与预定撞击位置的差异,进而造成小行星撞击后的速度改变量偏差,影响小行星防御任务的效果。为了定量地分析这种误差带来的影响,本文开展了小天体动能撞击误差演化分析研究。首先基于斜撞击模型,分析了撞击位置偏差对撞击后小
2、行星速度增量变化的影响,然后利用状态转移张量(STT)分析了小行星从动能撞击后到其到达地球影响球时的状态误差演化情况,最后得出小行星到达地球附近时的终端位置速度散布情况。本文以动能撞击小行星Apophis为例进行仿真,结果表明在撞击制导位置误差3边界为15 m时,动能撞击5年后小行星到达地球近心点时的位置误差散布在10 km量级。关键词:状态转移张量(STT);动能撞击;斜撞击;误差演化DOI:10.19963/ki.2096-4099.2023.02.001 中图分类号:V11 文献标识码:AUncertainty Propagation of Kinetic Impact on Dange
3、rous Small Celestial BodiesZHANG Gao-nian,Li Xiang-yu(School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)Abstract:Some near-Earth small celestial bodies have the potential risk of colliding with Earth,and using spacecraft kinetic energy to impact small celestial bod
4、ies to achieve orbital deflection is currently a relatively mature defense plan for small celestial bodies.However,during the kinetic impact process,the guidance and control error of the impactor may cause a difference between the actual impact position of the asteroid and the predetermined impact p
5、osition,resulting in a deviation in the velocity change after the asteroid impact,which affects the effectiveness of the asteroid defense mission.In order to quantitatively analyze the impact of this error,this paper conducted a study on the evolution of kinetic impact errors in small celestial bodi
6、es.Firstly,an oblique impact model was constructed based on impact geometry to describe the impact position of the impactor on an asteroid.The impact position deviation was analyzed to determine the impact velocity increment after impact.Then,the state transfer tensor(STT)method was used to analyze
7、the evolution of the state error of the asteroid from kinetic impact to its arrival at the Earth sphere of influence.Finally,the dispersion of the terminal position velocity of the asteroid when it reaches the terminal near Earth is determined.The simulation results of this article indicate that thi
8、s method can effectively predict the*基金项目:国家自然科学基金(No.12002028);中国科协青年托举人才项目(NO.YESS20210296);北京理工大学青年教师学术启动计划(XSQD-202101012)2空间碎片研究第 23 卷1 引言近地小天体的轨道与地球轨道接近,部分轨道甚至与地球相交,存在潜在的撞击风险,是人类面临的潜在重大威胁之一。地球上曾经发生的22次不同程度的生物灭绝事件至少有10次以上是由小行星撞击地球引起的1,如2013年俄罗斯车里雅宾斯克地区陨石坠落事件等。因此研究小行星撞击防御问题具有重要意义。近年来,针对小行星防御的研究逐
9、渐成为航天领域研究的热点。目前现有提出的方法主要包括核爆2、动能撞击3、激光烧蚀4、引力拖曳5-7等。其中,动能撞击被认为是针对直径1 km以下小行星防御的高效并且可行的方法2。2022年,美国国家航空航天局(NASA)成功实施针对Didymos双小行星系统第二颗小行星(65803)的撞击实验DART,该实验将是采用动能撞击进行小行星防御的第一次验证,撞击结果将通过欧洲航天局(ESA)未来发射的 LICIA 立方星观测得到8。对于威胁小行星动能撞击防御任务而言,动能撞击效果的主要评价指标是撞击后小行星近地点距离的增加量,而这一指标可近似等效于目标小行星在接近地球的B平面上的偏转距离9,10。以
10、此为基础Izzo11提出了撞击几何(IG,Impact Geometry)的概念用于评估撞击偏转距离,2019年,Davide Farnocchia等12针对考虑误差下的行星接近分析的B平面理论做了进一步研究。但是以往的动能撞击研究大多针对对心碰撞,动量传递效果仅通过一个系数K决定13,或者仅考虑撞击后沿撞击点处溅射物对法向方向动量传递的影响,而忽略了溅射物切向方向动量的传递。清华大学的焦艺菲等14提出一种利用两个动量传递系数和描述动能撞击的斜撞击模型,该模型结合撞击几何可实现最优斜撞击方向的快速求解,并且可应用于任意形状小行星最优撞击方向的确定。此外,中科院的王艺睿等15针对Apophis偏
11、转任务分别研究了考虑运载能力限制下进行撞击器轨道的优化设计,后续并在考虑地球借力和多脉冲机动模式下进行了改进16。由于动能撞击一般在深空进行,而深空环境下撞击器的导航制导控制误差必然会带来动能撞击任务的偏差,并且小行星动能撞击防御的周期一般在10年以上,动能撞击时刻撞击的微小误差可能会在时间的累积下产生巨大的影响,因此有必要针对威胁小天体动能撞击防御进行撞击后的误差演化分析,进而评估撞击任务设计的合理性与有效性。2010年,Armellin R等17利用微分代数方法分析了小行星Apophis在2029年飞掠地球时的近心点距离和近地点时刻偏差;2017年,Feldhacker等18研究了动能撞击
12、位置偏差和动量传递系数偏差对不同形状小行星撞击效果的影响,但是该文献没有分析动能撞击后偏差对小行星轨道分布的影响。状态转移张量(STT)方法是2006年首先由Scheeres等19提出的一种计算航天器误差演化的工具,该方法通过半解析地计算状态转移张量实现了误差预报的快速高效分析。杨震等20,21针对带有脉冲机动过程的误差演化方法进行了研究,推导出可以连续预报的状态转移张量。本文针对威胁小天体动能撞击防御过程的误差演化问题,考虑由撞击器制导控制误差带来的撞击位置误差,根据斜撞击模型下的动量传递关系,计算出由撞击位置误差引起的小行星速度增量偏差,以及偏差的均值和方差的传递关系,然后,基于状态转移张
13、量STT方法,针对动能撞击带来的速度增量偏差演化到小行星抵达近地点时刻,得到小行星考虑误差情况下在地球附近的位置速度散布情况,结合蒙特卡洛方法进行仿真验证,结果表明STT方法可以有效预报动能撞击过程的误差。terminal state of small celestial bodies approaching the Earth.Taking the kinetic impact on the asteroid Apophis as an example,the simulation results show that the impact guidance position error is
14、 3 when the boundary is 15m,the position error of the asteroid when it reaches the Earth s perigee after 5 years of kinetic impact is scattered on the order of 10km.Key words:state transfer tensor(STT);kinetic impact;oblique impact;error evolution第 23 卷威胁小天体动能撞击防御误差演化分析32 基于状态转移张量的小行星误差演化方法2.1 动力学方程
15、下面给出航天器撞击小行星后的动力学模型,本文选择考虑八大行星和月球作为第三体引力摄动影响下的动力学方程,该方程为:ddmoon223183311rtrasipipipipipi?rddpp(1)式中:dpi表示第i个行星的日心矢量,ppi表示第i个行星到小行星的矢量,S和pi分别表示太阳和第i个行星的引力常数,行星和月球的位置调用SPICE星历22。2.2 状态转移张量的推导将航天器的动力学写为张量形式:x tft x tii(),()=(2)式中:x=xi|i=1,n,n=6是动力学方程的维数。对于给定的初始状态 x0=x(t0),因此 x(t)可以看作初始状态 x0的函数,进而定义隐式解为
16、:x tt x t()(;,)?00 (3)注意到,该隐式解满足:dd?tf tt x t?,(;,)00 (4)?(;,)()tx tx t0000?(5)可知,若获得了航天器运动状态的非线性映射关系,则从航天器初始状态x0到任意时刻状态x(t)的传播关系就可以解析计算。给定航天器初始参考状态x0及相对参考状态的状态偏差x0,可将任意时刻航天器运动轨迹相对标称轨迹的偏差量x(t)表示为?x tt xx tt x t()(;,)(;,)?00000 (6)对其求导可得?x tft xx ttft x tt()(;,),(;,),?00000 (7)则标称轨道与当前状态的偏差可以表示为:?x t
17、t xx tt x tpiiipKt ti kkp()(;,)(;,)!(,),?000001101?x xxkkp001?(8)式中:?(,),.()|t ti kkpikkxxppiix txx011000?(9)同理,对状态量的导数进行Taylor展开可得?x tpfxxipMi kkkkpp()!,?1111(10)式中:ffxxi kkpikkpp,11?(11)式中:i表示向量函数的第i个分量,M为泰勒级数展开的阶次,fi kkp,.1为局部动力学张量,沿标称状态 x t()计算,(,),.t ti kkp01是从t0到t时刻的状态转移张量,这里运用了爱因斯坦求和约定。将绝对轨道偏
18、差的一个具体样本x(t)看作航天器实际状态x(t)相对标称状态 x t()的一个相对运动状态,式是一组非线性的相对运动方程,对公式求导可得?x tpxxipKt ti kkkkpp()!(,),?1001011?(12)将公式展开并对比其与公式相同项的系数,可以得到初始相对状态到任意时刻相对状态的状态转移张量(,),.t ti kkp01所需要满足的微分方程。状态转移张量(,),.t ti kkp01可以通过积分微分方程得到,这样x(t)就可以由x0解析表示,这种方法称为半解析方法。一般地,状态转移张量展开的次数越高,预报的精度越高,但是随之带来计算量将指数增加。文献20表明,对于航天器轨道的
19、误差演化问题,采用2阶模型就可以达到较高的精度。本文针对小行星状态的误差演化选取2阶精度。2.3 误差统计矩的分析根据概率论的基本理论,自由向量x 的均值和协方差矩阵定义为:mExPExmxmEx xm miiijiijjijij?()()?(13)其中E 代表期望算符。将式代入方程可以得出相应的均值和协方差演化结果,即为:4空间碎片研究第 23 卷m tExpExxPtiit ti kkkkpMijpp()!()(,),.?1011001?E Ex xm t m tp qEijijt ti kkt ti llpq()()!(,),(,),?10101?x xxxxm t m tkkllqMp
20、Mijpq00001111?()()?(14)式中:i j klnpp,?1 2,Exxkkp001为 p阶原点矩,Exxxxkkllpq000011为()pq+阶原点矩。由公式可知,当各阶状态转移张量(,),t ti kkp01沿标称轨迹计算后,基于状态转移张量的各阶统计矩预报仅为解析的数学运算。当状态转移张量展开到M阶,预报均值需要计算初始偏差的前M阶中心距,预报协方差矩阵需要计算初始偏差的前2M阶中心距。因此,Taylor展开阶次越高、预报的统计矩阶次越高,计算公式越复杂,且计算量越大。本文仅考虑前2阶矩的非线性传播,预报协方差矩阵需要计算前4阶中心距,终端均值m t()0与协方差矩阵P
21、 t()0可简化为:m tExExxPtiftti aatti ababijfff()()(,),(,),?0000012?(,),(,),(,),(,)tti attj babtti abttffffExx00000014?j j cdabcdtti attj bcttExxxxfff,(,),(,),(,?000012000?),(,),j atti bcabcfifjfExxxm m?0000?(15)对于高斯分布,前4阶统计矩可以写为均值m和协方差P的表达式:ExmExxPm mExxxm m maaababababcab?0000000000000?c cabcbaccababcda
22、bcdm Pm Pm PExxxxm m m m?00000000000000?P PP PP Pm m Pm m Pm m Pabcdacbdadbcabcdacbdad000000000000000 0000000000bcbcadbdaccdabm m Pm m Pm m P?(16)为了简便起见,均值和协方差误差演化结果可以简化为:,;,(,),mPSTT tt m Pffftti k kf?00001 2?(17)需要注意的是,在本文研究的问题中,目标威胁小行星在飞掠地球时可能处于地球影响球内部,此时小行星受力主要为地球引力,而影响球外的大部分轨道主要受太阳引力影响。因此在使用变步长
23、积分器计算状态转移张量STT时,需要注意在影响球内降低积分步长。3 基于斜撞击的动能撞击过程分析3.1 动能撞击任务设计原理为了计算动能撞击对小行星防御的偏转效果,通常需要积分计算小行星整个任务过程中的非线性轨道力学方程。文献11表明,通过B平面计算动能撞击造成小行星偏转距离的可达范围是有效的。B平面是指过地心并且与小行星双曲线轨道渐近线相垂直的平面。即该平面是与进入双曲超速方向U相垂直的平面,如图 1所示。相对速度U=|U|的大小定义如下12:Uaaei?31122astastastast()cos(18)为了利用B平面来描述小行星飞越地球时的轨迹,可以建立行星中心坐标系(,)?,如图 1所
24、示。其中轴沿着U矢量方向并且轴指向地球速度矢量vE在B平面投影的反向。轴满足右手定则。小行星轨道渐近线地球UB平面VE图 1 小行星接近地球及其B平面定义Fig.1 Asteroid approaching the Earth and its B-plane definition第 23 卷威胁小天体动能撞击防御误差演化分析5对于与地球存在碰撞可能的小行星,采用动能撞击方法需要最大化偏转小行星到达地球的B平面距离。文献9给出了近似的定量关系。?Ka vmmmtvV3astEaESs cs castssaastsin/(19)式中:K代表动量传递系数,一般被认为是给定值。aast表示小行星的半长
25、轴,vE代表地球的速度大小,aE表示小行星双曲线渐近线与地球速度方向夹角,s表示太阳的引力常数,mast表示小行星的质量,ms/c表示航天器的质量,Vsa表示撞击航天器相对小行星的速度矢量,vast表示小行星的速度矢量。通常将偏转距离作为动能撞击的优化指标,定义为地球和渐近线之间的距离。从上式可以看出为了最大化偏转距离|,需要最大化内积 Vsavast的绝对值,该值常被称为撞击几何。3.2 斜撞击模型下的动量传递关系当撞击器相对小行星的速度与小行星-撞击器连线不重合时,称为斜撞击。撞击速度 vr一般表示为 vsc-vast,即撞击器相对于小行星的速度14,其中vsc表示航天器速度,vast表示
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