区组长为4和6的3-设计.pdf
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1、问题概述t-设计记为 t-(v,K,姿),是一个关联结构(V,B),满足条件:(1)V 是 v 元点集;(2)B 是 V 的子集族(B 中的元素称为设计的区组),且每个区组b沂B 有b沂K;(3)V 中的任意一个 t-元子集恰好出现在 姿 个区组中。当 K=k时,t-(v,k,姿)设计也表示为 t-(v,k,姿)。2-(v,K,姿)设计称为成对平衡设计,简称为 PBD 设计,也记作 B(K,姿,v)。3-(v,4,姿)设计称为四元系,记作 QS(v,姿)。t-(v,K,姿)设计的存在性及构造是组合设计理论的基本问题。2-(v,K,姿)设计的存在性与构造已被广泛研究,相关结论可参见文献1。当 t
2、逸3时,t-(v,K,姿)设计的研究成果还不是很多。以下列出 姿=1 时 3-(v,K,姿)设计的一些主要结论,其中定理 13 参见 Hanani 的文献 2-3,定理45参见 Ji 的文献 4-5。定理 1QS(v,姿)存在的充分必要条件是:(1)姿v以0(mod 2);(2)姿(v-1)(v-2)以0(mod 3);(3)姿v(v-1)(v-2)以0(mod 8);(4)v逸4。定理 23-(v,4,6,1)存在的充分必要条件是 v以0(mod 2)且 v逸4。定理 33-(v,k:4臆k臆34,1)存在的充分必要条件是 v逸4。收稿日期院2023-04-26基金项目院 国家自然科学基金资
3、助项目渊11571251冤作者简介院王建(1966),男,江苏南通人,教授,主要研究方向为组合数学。区组长为 4 和 6 的 3-设计王建渊南通职业大学 公共教学部袁 江苏 南通 226007冤摘要院 t-(v,K,姿)设计是一个关联结构(V,B),满足条件:(1)V 是 v 元点集;(2)B 是 V 的子集族(B中的元素称为设计的区组),且每一个区组b沂B 有 b 沂K;(3)V 中的任意一个 t-元子集恰好出现在 姿 个区组中。Hanani 给出了 姿=1 时 3-(v,4,6,1)存在的充分必要条件。文章证明 3-(v,4,6,姿)存在的充分必要条件是 姿v以0(mod 2),姿v(v-
4、1)(v-2)以0(mod 8)且 v逸4。关键词院 t-设计;3-设计;区组长为 4 和 6中图分类号院 韵157文献标志码院 A文章编号院 1008-5327渊2023冤02-0064-033-wise Design for Block Sizes of Four and SixWANG Jian(Department of General Basic Courses,Nantong Vocational University,Nantong 226007,China)Abstract:A t-(v,K,姿)design is a pair(V,B)where V is a set of
5、cardinality v,B is a collection ofsubsets of V(the element in B is called a block)with the property that each b沂B hasb沂K,and every t-element subset of V happens to be contained in exactly 姿 of these blocks.When 姿=1,Hanani gives anecessary and sufficient condition for 3-(v,4,6,1).It is proved that a
6、3-(v,4,6,姿)exists if and only if姿v以0(mod 2),姿v(v-1)(v-2)以0(mod 8)and v逸4.Keywords:t-wise design;3-wise design;block sizes of four and six64第 2 期定理 43-(v,4,5,1)存在的充分必要条件是 v以1,2,4,5,8,10(mod 12),v逸4 且 v屹13。定理 53-(v,4,5,6,1)存在的充分必要条件是 v以0,1,2(mod 4)且 v逸4,v屹9,13。本文拟将定理 2 的结论从 姿=1 推广到 姿 为任意正整数,即证明 3-(v,4
7、,6,姿)存在的充分必要条件。定理 63-(v,4,6,姿)存在的充分必要条件是:(1)姿v以0(mod 2);(2)姿v(v-1)(v-2)以0(mod 8)且v逸4。2定理 6 的证明通过简单的计算可得 3-(v,4,6,姿)设计存在的必要条件。引理 1如果存在 3-(v,4,6,姿)设计,有:(1)姿v以0(mod 2);(2)姿v(v-1)(v-2)以0(mod 8),且 v逸4。将 姿 划分为 姿以1(mod 2),姿以2(mod 4)和姿以0(mod 4),则引理 1 中的条件可以分为下列三种情形:(1)当 姿以1(mod 2)时,v以0(mod 2)(2)当 姿以2(mod 4)
8、时,v以0,1,2(mod 4)(3)当 姿以0(mod 4)时,v逸4为证明 3-(v,4,6,姿)设计的充分条件,还需以下两个引理,其证明是显然的。引理 2如 果 存 在 3-(v,K,姿1)设 计 和3-(v,K,姿2)设计,则存在 3-(v,K,姿1+姿2)设计。引理 3如果存在 3-(v,K1,姿1)设计且对于每一个 k沂K1存在 3-(k,K2,姿2)设计,则存在3-(v,K2,姿1姿2)设计。由引理 2,证明 3-(v,4,6,姿)设计存在的充分性只需考虑以下三种情形:(1)姿=1,v以0(mod 2)(2)姿=2,v以0,1,2(mod 4)(3)姿=4,v逸4情形 1 已有定
9、理 2 完全解决,本文只需考虑情形 2 和情形 3。引理 4当 v以0,1,2(mod 4)且 v逸4 时,3-(v,4,6,2)存在。证明根据引理 3 和定理 5,只需证明当 v沂4,5,6,9,13时,3-(v,4,6,2)存在。对于 v=4和 6,由定理 2,存在 3-(v,4,6,1)。对于 v=5 和13,由定理1,存在 QS(v,2)。对于 v=9,3-(9,4,6,2)直接构造如下:点集:Z3伊 Z3区组:(i,0)(i+1,0)(i,1)(i+1,1)(i,2)(i+1,2),(0臆i臆2);(i,a)(i,a+1)(i+1,b)(i+2,c),a+b+c以i(mod 3),(
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