球型模糊Hamacher Hamy集成算子及其决策应用.pdf
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1、收稿日期:2023-02-21;修订日期:2023-04-08作者简介:杨 俊(1999),男,硕士研究生,主要研究方向为模糊决策。第 41 卷 第 4 期2023 年 8 月江 西 科 学JIANGXI SCIENCEVol.41 No.4Aug.2023 doi:10.13990/j.issn1001-3679.2023.04.002球型模糊 Hamacher Hamy 集成算子及其决策应用杨 俊,杨志辉,陈黄山(东华理工大学理学院,330013,南昌)摘要:基于对球型模糊 Hamacher 运算和 Hamy 均值算子的研究,将 Hamacher 运算和 HM 算子综合应用到信息集成当中,
2、提出了球型模糊 Hamacher HM 算子,球型模糊 Hamacher 加权 HM 算子,分别研究其具有的性质,同时给出属性权重的确定方法。最后基于所提算子提出决策方法来解决球型模糊环境下的多属性决策问题,并通过示例验证所提出方法的可行性和有效性。关键词:球型模糊数;Hamacher Hamy 算子;集成算子;多属性决策中图分类号:C934 文献标识码:A 文章编号:1001-3679(2023)04-621-09Spherical Fuzzy Hamacher Hamy Aggregation Operator andits Applications on Decision MakingY
3、ANG Jun,YANG Zhihui,CHEN Huangshan(School of Science,East China University of Technology,330013,Nanchang,PRC)Abstract:In this paper,the spherical fuzzy Hamacher operation and the Hamy mean operator is studied,the Hamacher operation and the HM operator are synthesized and applied to information in-te
4、gration,the spherical fuzzy Hamacher HM operator,and the spherical fuzzy Hamacher weighted HM operator are proposed to study the properties they have,respectively,while the determination method of attribute weights is given.Finally,we propose a decision method based on the proposed operator to solve
5、 the multi-attribute decision problem in the spherical fuzzy environment,and verify the feasibility and effectiveness of the proposed method by example.Key words:Spherical fuzzy number;Hamacher Hamy operator;aggregation operator;multiple attrib-ute decision making0 引言自 Zadeh1提出了模糊集(fuzzy sets,FS)的概念
6、,这一概念为科学家处理现实生活中涉及不确定性或不精确性的问题提供了一个方向,此后受到了学者们的广泛关注和研究。1986 年,Ata-nassov2扩展了 Zadeh 的 FS 的概念,提出了直觉模糊集,直觉模糊集采用隶属度和非隶属度来描述事件的不确定性,并限制隶属度和非隶属度的总和不能超过 1。Yager 等3通过引入毕达哥拉斯模糊集的思想加强了这一概念,这增加了隶属度和非隶属度的赋值范围。然而,这些模糊集在多属性决策中仅讨论了决策者意见的两个方面,即赞成和反对,但决策者的意见也有中立程度。Cuong 等4在 2013 年提出了这一点,表示直觉模糊集和毕达哥拉斯模糊集仅描述了人类意见的隶属度和
7、非隶属度,其中中立隶属度被忽略了,这就导致信息存在丢失。为此,Cuong 等提出了三元组形式的图模糊集的想法,它使用隶属度、中立隶属度、非隶属度,并限制它们的总和不得超过 1。Mahmood 等5改进了图模糊集,提出了球型模糊集(spherical fuzzy sets,SFS),拓展了隶属度、中立隶属度和非隶属度的赋值范围。多属性决策是研究最广泛和最有效的算法之一,每当需要根据某些属性评估一组不同的替代方案时,都会使用它。近年来,研究人员广泛使用聚合算子在不同环境下实现了多属性决策方法。很多聚合算子是根据阿基米德 T-范数和 S-范数的特殊运算提出的,其中 Hamacher 算子6是阿基米德
8、 T 模和 S 模的一种特殊形式。由于 Hamach-er 算子可根据研究者的喜好选择不同的参数来处理决策问题,在应用时要比代数 T 模和代数 S模、爱因斯坦 T 模和爱因斯坦 S 模更具普遍性,因此吸引了学者们的广泛研究7-10。在融合决策者给出的属性值时,属性之间往往存在相关关系,所以在需要融合决策者属性评估值的同时考虑属性之间的相关关系。Bonferro-ni(Bonferroni Mean,BM)均值11是一类反映待融合决策信息关联关系的工具。然而,BM 均值的多属性研究都假设待融合数据所对应的属性是两两相关联的,考虑到实际决策中属性之间可能存在多个相关关系,为此亟需研究能够考虑多个属
9、性相关关系的融合算子。与 BM 均值相比,由Hara12等引入的 Hamy 均值能够灵活考虑多个属性之间的相互关系,因此功能更强大。本文综合考虑 Hamacher 运算和 Hamy 均值的特性,提出了球型模糊 Hamacher Hamy 均值算子(Spherical Fuzzy Hamacher Hamy Mean,SFHHM)及球型模糊Hamacher 加权 Hamy 算子(Spherical Fuzzy Hama-cher Weight Hamy Mean,SFHWHM),进而在 SFS环境下给出新的决策方法。1 预备知识定 义15:设R为 论 域,称A=r,PA(r),IA(r),NA(
10、r)r R 为 球 型 模 糊集,其中 PA:R 0,1,IA:R 0,1,NA:R 0,1 是R 上的模糊集,PA(r),IA(r),NA(r)分别表示元素r属于A 的积极隶属度,中立隶属度和消极隶属度,且 r R,0?PA(r),IA(r),NA(r)0,1,(PA(r)2+(IA(r)2+(NA(r)2?1。令A(r)=1-(PA(r)2-(IA(r)2-(NA(r)2,0?A(r)?1,则称 A(r)为 R 中元素 r 属于 A 的犹豫度。称 =(P,I,N)为 球 型 模 糊 数(SFN),的转置记作 c=(N,I,P),其中 P,I,N 0,1,满足 0?P2+I2+N2?1。为比
11、较 SFN 的大小,文献13定义了 SFN 的得分函数和精确函数。定义 2 13:设 k=(Pk,Ik,Nk)为球型模糊数,则其得分函数和精确函数分别为:sc(k)=13(2+Pk-Ik-Nk)(1)ac(k)=Pk-Nk(2)定义 3 13:设 j=(Pj,Ij,Nj),k=(Pk,Ik,Nk)为任意 2 个 SFN,则 j与 k的比较规则为:1)当得分值 sc(j)sc(k)时,则称球型模糊数 j优于 k,记为 j k;2)当得分值 sc(j)ac(k),则称球型模糊数 j优于 k,记为 jk;若 ac(j)0)(3)S(x,y)=xy=x2+y2-x2y2-(1-)x2y21-(1-)x
12、2y2,(0)(4)定义 510:设 =(P,I,N),i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2)为一组球型模糊数,给定常量,0,则关于,1,2的 Hamacher 运算定义如下:226江 西 科 学2023 年第 41 卷 1)12=P12+P22-P12P22-(1-)P12P221-(1-)P12P22,I1I2+(1-)(I21+I22-I21I22),N1N2+(1-)(N21+N22-N21N22);2)12=P1P2+(1-)(P21+P22-P21P22),I21+I22-I21I22-(1-)I21I221-(1-)I21I22,N21+N22-N21N22-(1-)N21N22
13、1-(1-)N21N22;3)=(1+(-1)P2)-(1-P2)(1+(-1)P2)+(-1)(1-P2),I(1+(-1)(1-I2)+(-1)(I2),N(1+(-1)(1-N2)+(-1)(N2);4)=P(1+(-1)(1-P2)+(-1)(P2),(1+(-1)I2)-(1-I2)(1+(-1)I2)+(-1)(1-I2),(1+(-1)N2)-(1-N2)(1+(-1)N2)+(-1)(1-N2).定理 1:设 =(P,I,N),i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,3)为 SFN,1,2 0,则 1)1 2=2 1,1 2=2 1;2)(12)3=1(23),(12)3=1(2
14、 3);3)(1 2)=1 2,(1 2)=1 2;4)(1+2)=1 2,(12)=1(2)。定义 612:令 i(i=1,2,n)表示数值的集合,k=1,2,n,若HM(k)(1,2,n)=1?i1ik?n(kj=1ij)1/kCkn(5)称 HM(k)为 Hamy 均值,其中(i1,i2,ik)表示遍历(1,2,n)的所有 k 元组合,Ckn表示二项式系数,即 Ckn=n!k!(n-k)!。HM(k)算子满足以下性质:1)HM(k)(0,0,0)=0;2)HM(k)(a,a,a)=a;3)当 ai?bi时,HM(k)(a1,a2,an)?HM(k)(b1,b2,bn);4)mini(ai
15、)?HM(k)(a1,a2,an)?maxi(ai)。定义715:设,为2 个球型模糊集,其中=1,2,n,=1,2,n,g=(Ng,Ig,Pg),g=(Ng,Ig,Pg)(g=1,n)为SFN,定义,的 Euclidean 距离为d(,)=(12nng=1(Pg)2-(Pg)22+(Ig)2-(Ig)22+(Ng)2-(Ng)22)12(6)定义 815:设 =1,2,n 为任一球型模糊集,其中 g=(Ng,Ig,Pg)(g=1,n)为 SFN,则球型模糊集 的熵定义为E()=1nng=11-d(g,cg)1+(g)22(7)2 球型模糊环境下的 Hamacher Hamy算子2.1 球型模
16、糊 Hamacher Hamy 算子定义 9:设 i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)为一组 SFN,则球型模糊 Hamacher Hamy 均值算子的定义如下:SFHHM(1,2,n)=1Ckn(1?i1ik?n(kj=1ij)1k)(8)其中(i1,i2,ik)表示遍历(1,2,n)的所有k 元 组 合,Ckn表 示 二 项 式 系 数,即 Ckn=n!k!(n-k)!。定理 2:设 i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)为一组 SFN,则 SFHHM 算子对 i=(Pi,Ii,Ni)进行集成的结果仍是一个 SFN,且326第 4 期 杨 俊等:球型模糊 Hamacher Ham
17、y 集成算子及其决策应用 SFHHM(1,n)=1Ckn(I(kj=1ij)1k)=Ikj=1+(1-)P2ij()1k+2-1()kj=1P2kij()1ckn-Ikj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kij()1cknIkj=1+(1-)P2ij()1k+2-1()kj=1P2kij()1ckn+(-1)Ikj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kij()1ckn,Ikj=11-(1-)I2ij()1k-kj=11-I2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)I2ij()1k+2-1()kj=11-I2ij()1k()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)I2ij
18、()1k-kj=11-I2ij()1k()1ckn,Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)N2ij()1k+2-1()kj=11-N2ij()1k()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1ckn(9)其中 I=1?i1 0,有0?kj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kijIkj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kij()1cknIkj=1+(1-)P2ij()1k+2-1()kj=1P2kij()1ckn-Ikj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2
19、kij()1ckn0。因为 -1 -1,所以有Ikj=1+(1-)P2ij()1k+2-1()kj=1P2kij()1ckn-Ikj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kij()1ckn?Ikj=1+(1-)P2ij()1k+2-1()kj=1P2kij()1ckn+(-1)Ikj=1+(1-)P2ij()1k-kj=1P2kij()1ckn由上述可得 0?1,同理可得 0?v?1,0?r?1。2):由上述知0?2+2+r2?1-Ikj=11-(1-)I2ij()1k-kj=11-I2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)I2ij()1k+2-1()kj=11-I2ij()1k
20、()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)I2ij()1k-kj=11-I2ij()1k()1ckn-Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)N2ij()1k+2-1()kj=11-N2ij()1k()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1ckn+Ikj=11-(1-)I2ij()1k-kj=11-I2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)I2ij()1k+2-1()kj=11-I2ij()1k()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)I2ij()1k-kj=11-I
21、2ij()1k()1ckn526第 4 期 杨 俊等:球型模糊 Hamacher Hamy 集成算子及其决策应用+Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1cknIkj=11-(1-)N2ij()1k+2-1()kj=11-N2ij()1k()1ckn+(-1)Ikj=11-(1-)N2ij()1k-kj=11-N2ij()1k()1ckn=1.故 0?2+2+r2?1。所以定理 2 成立。2.2 SFHHM 算子的性质 性质 1(幂等性):设 =P,I,N()和 i=Pi,Ii,Ni()(i=1,2,n)都是 SFN,且 i=(i=1,2,n),则SFHHM
22、1,n()=.性质 2(单调性):设 i=(Pi,Ii,Ni),i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)是 2 组 SFN,如果 Pi Pi,Ii?Ii,Ni?Ni(i=1,2,n),则SFHHM(1,n)SFHHM(1,n)。性质 3(有界性):设 i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)是一组 SFN,且+=(P+,I+,N+),-=(P-,I-,N-),其中 P+=maxPi,I+=maxIi,N+=maxNi,P-=minPi,I-=min Ii,N-=min Ni(i=1,2,n),则有-?SFHHM 1,n()?+.2.3 球型模糊 Hamacher 加权 Hamy 算子定义1
23、0:设 i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)为一组 SFN,其权重分别为 w=(w1,w2,wn),且满足 wi 0.1,ni=1wi=1,则球型模糊 Hamach-er 加权 Hamy 算子定义如下:SFHWHM 1,n()=1Ckn-11?i1ik?n(1-kj=1wij)(kj=1ij)1k(1?k n)ki=1i1-win-1(k=n)(10)其中(i1,i2,ik)表示遍历(1,2,n)的所有k 元 组 合,Ckn-1表 示 二 项 式 系 数,即 Ckn-1=(n-1)!k!(n-1-k)!。定理 3:设 i=(Pi,Ii,Ni)(i=1,2,n)为一组 SFN,其权重分别为
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