热传导方程源项反演问题的指数型正则化方法.pdf
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1、收稿日期:2023-03-20;修订日期:2023-05-15作者简介:陈国林(1994),男,硕士,助教,主要从事反问题建模与算法研究。基金项目:江西省教育厅科技项目(GJJ2203713)。通信作者:李小霞(1987),女,硕士,讲师,主要从事科学计算与反问题的解法研究。E-mail:465474639 。第 41 卷 第 4 期2023 年 8 月江 西 科 学JIANGXI SCIENCEVol.41 No.4Aug.2023 doi:10.13990/j.issn1001-3679.2023.04.005 热传导方程源项反演问题的指数型正则化方法陈国林1,李小霞2(1.赣东学院基础部
2、,344000,江西,抚州;2.抚州幼儿师范高等专科学校数学与计算机科学系,344000,江西,抚州)摘要:研究了有界域中热传导方程源项反演问题。通过热传导方程的特征值和特征函数,利用分离变量法重建源项,并给出了源项反演的条件稳定性,依据构造的指数型正则化方法,给出了先验选取和后验选取正则化参数下指数型正则化方法的正则化解的收敛性和误差估计。数值模拟的计算结果验证了算法的有效性。关键词:热传导方程;反问题;正则化方法;源项中图分类号:O411.1 文献标识码:A 文章编号:1001-3679(2023)04-643-06An Exponential Regularization Method
3、for the Source Term Inversion Problem of Heat Conduction EquationsCHEN Guolin1,LI Xiaoxia2(1.Basic Department of Gandong University,344000,Fuzhou,Jiangxi,PRC;2.Department of Mathematics and Computer Science of Fuzhou Preschool Teachers College,344000,Fuzhou,Jiangxi,PRC)Abstract:The source term inver
4、sion of heat conduction equations in bounded domains is studied.Through the eigenvalues and eigenfunctions of the heat conduction equation,the source term is re-constructed by the separated variable method,and the conditional stability of the source term inver-sion is given,and the convergence and e
5、rror estimation of the regularization method under the expo-nential regularization method under the prior selection and posterior selection regularization parame-ters are given according to the constructed exponential regularization method.The calculation results of numerical simulation verify the e
6、ffectiveness of the algorithm.Key words:heat conduction equation;counter-problem;regularization method;source item0 引言众所周知,热传导方程反问题作为数学物理反问题中重要的研究内容之一,在过去的几十年里,许多研究者对热传导方程的各种反问题进行了研究。文献1考虑了一个典型的不适定热传导方程的热源反问题,即从边界上的一对 Cauchy数据确定多维热方程中与空间相关的热源项;文献2研究了一类非齐次热传导方程的逆时问题,通过将方程的非齐次项和 T 时刻的温度场u(x,T)作 Fourie
7、r 展开,文中构造的正则化方法更能有效克服强噪声的影响;文献3提出了一种用简化模型求解非线性热传导反问题的方法;文献4考虑了矩形区域下,二维热传导方程源项反问题。文中通过附加的终值数据,构造了一种源项反问题的正则化近似问题。考虑非齐次热传导方程的定解问题5,6ut=uxx+f(x),u(0,t)=u(,t)=0,u(x,0)=0,(x,t)(0,)0,T,t 0,T,x (0,).(1)反问题:从非齐次热传导方程的定解问题(1)中重建未知源项 f(x),即从附加的测量数据u(x,T)g(x)(2)反演未知源项 f(x),这里测量数据 g(x)L2(),且满足g(x)-g(x)?(3)式中 为
8、L2范数,g(x)=u(x,T)为 g(x)的精确值,为误差水平。1 源项的重建设 k和 Xk(x)分别为标准热传导方程的特征值和特征函数,经简单计算可得 k=k2,Xk(x)=1sin(kx),故知其特征值满足 0 0。于是,由该指数算子定义空间D(e(-L)/2)=L2()|?n=1ek2|(,Xk)|2 0。3 正则化方法的收敛分析设给出的测量数据 g(x)L2()且满足 g(x)-g(x)?(17)其中,为 L2范数,g(x)为 g(x)的精确值,为误差水平。3.1 先验选取正则化参数的收敛分析定理 2:设存在正常数 M 使得 fExp?M,且式(17)成立,选择正则化参数 =8+46
9、+时,则存在 C1,C2 0 使得f,(x)-f(x)?(C1+C2M)2+6+(18)证明:由三角不等式,有f,(x)-f(x)?f,(x)-f,(x)+f,(x)-f(x)(19)上述不等式右端第一项有f,(x)-f,(x)2=?k=11-e-k2Tk2(1-e-k2Tk2)2+ek2(gk-gk)Xk(x)2?k=11k2(1-e-T)2k4+ek22gk-gk2?supkk2(1-e-T)2+k2+42?k=1(gk-gk)2记 m(k2)=k2(1-e-T)2+k2+4,并令 t=k2,则m(t)=t1-e-T()2+t+2,所以|m(t)|?(1-e-T)2(1+)1+2(1-e-
10、T)2+(1-e-T)2(1+)=(1-e-T)21+21(1+)1+2(1-e-T)2(2+1+)-1+2=(1+)1+2(2+)(1-e-T)2(1+)2+-1+2.因此,有supkk2(1-e-T)2+k2+42?k=1|(gk-gk)|2?(1+)1+2+(2+)(1-e-T)2(1+)2+-12+2?k=1|(gk-gk)|2=(1+)1+2+(2+)(1-e-T)2(1+)2+-12+22.取 C1=(1+)1+2+(2+)(1-e-T)2(1+)2+,则有f,(x)-f,(x)?C112+.546第 4 期 陈国林等:热传导方程源项反演问题的指数型正则化方法不等式(19)右端第二
11、项有f,(x)-f(x)2=?k=1(1-e-k2Tk2(1-e-k2Tk2)2+ek2-k21-e-k2T)gkXk(x)2=?k=1(-ek2(1-e-k2Tk2)2+ek2fk)Xk(x)2=?k=12ek2(1-e-k2Tk2)2+ek22ek2fk2?(supkek22(1-e-k2Tk2)2+ek2)2?k=1ek2fk2.显然,存在 K0 0 使得 k K0时有 k4?ek2。于是,当 k K0时有ek22(1-e-k2Tk2)2+ek2?ek22(1-e-T)2k4+ek2?ek22+k2(1-e-T)2+e2k2?supt 0t3(1-e-T)2+t4?33441-e-T14
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