妙用曲线系方程巧解高考试题.pdf
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1、短文集锦53,即a=32b时等号成立,以下同解法一.解法六(柯西不等式法):4a2-2ab+4b2-c=0,c4=a2-12ab+b2=a-b42+1516b2,由柯西不等式得a-b42+1516b222+6152 2a-b4+154b6152=|2a+b2,故当|2a+b最大时,有a-b42=154b615a=32b,c=10b2,以下同解法一.(浙江省嘉善第二高级中学 鲁和平 314100)“情侣圆锥曲线”的一个斜率积为定值的性质在解析几何中,我们将椭圆x2a2+y2b2=1和双 曲 线x2a2-y2b2=1称 为“情 侣 圆 锥 曲线”.笔者在研究圆锥曲线的过程中,发现了“情侣圆锥曲线”
2、的一个斜率积为定值的性质.定 理 如 图 1所示,若P(x0,y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的任意一点(除顶点外),过点P作 椭 圆C的 切 线l,l交 双 曲 线E:x2a2-y2b2=1于点M,N,点Q为线段MN的中点,则kMNkOQ=b2a2.易知,存在如下引理1.引理1 若P(x0,y0)是椭圆C:x2a2+y2b2=1上的一点,则过点P的切线有且仅有一条,该切线方程为x0 xa2+y0yb2=1.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),由引理得直线MN的方程为x0 xa2+y0yb2=1,即y=b2a2y0(a2-x0 x),联立x2a2-y2b2=1
3、y=b2a2y0(x0 x-a2)(b2x02-a2y02)x2+2a2b2x0 x-a4()b2-y02=0,x1+x2=-2a2b2x0b2x02-a2y02,y1+y2=2a2b2y0b2x02-a2y02,则点Q(-a2b2x0b2y02-a2y02,a2b2y0b2x02-a2y02),kMNkOQ=2a2b2y0b2x02-a2y02-a2b2x0b2y02-a2y02-b2x0a2y0=b2a2.(云南师范大学数学学院 朱啟吉 650500)解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会出现思路正确,但因运算过程繁杂,而半途而废的现象.因此在解答解析几何问题的过程中如何减
4、少计算就成为能否迅速、正确解题的关键.本文介绍利用曲线系方程求解几道高考试题.1定值问题例 1(2021年全国新高考 1卷):在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2,记MxNPQOy图1M妙用曲线系方程巧解高考试题2023年第2期河北理科教学研究 52短文集锦的轨迹为C(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|TB=|TP|TQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解析:(1)易得x2-y216=1(x0)(略);(2)点T在x=12上,可设T(12,m),过点T的
5、直线AB:y-m=k1(x-12),过点T的直 线PQ:y-m=k2(x-12),故A,B,P,Q四点的坐标满足如下直线AB,PQ的方程(k1x-12k1-y+m)(k2x-12k2-y+m)=0,又A,B,P,Q四点在曲线C上,所以这四点在曲 线(k1x-12k1-y+m)(k2x-12k2-y+m)+(x2-y216-1)=0上,因为|TA|TB=|TP|TQ,所以A,B,P,Q四点共圆,则上述方程表示圆,左边展开后x2,y2的系数相等,且xy项的系数为 0,由xy项的系数为 0得到k1+k2=0.点评:利用二次曲线系方程解决解析几何中的定值问题,视角独特,过程简洁.2定点问题例2(202
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