妙用向量思维,巧解三角形——一道解三角形题的探究.pdf
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1、妙用向量思维,巧解三角形 一道解三角形题的探究张东起(浙江省宁波市慈湖中学 3 1 5 0 3 1)【摘要】解三角形中的顶点与对边连线的问题是一类比较常见的创新题型,其有效地融合三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.本文结合一道解三角形的模拟考题,利用平面向量的知识进行探究拓展,以期指导数学教学与解题研究、提高学生的数学核心素养及优化思维品质.【关键词】高中数学;余弦定理;平面向量1 背景解三角形问题通常会以三角形中的顶点与对边连线巧妙设置条件,有效串联起三角函数、解三角形、平面向量以及不等式等众多的相关知识.求解此类问题时,可以从三角函数、解三角形、平面向量等多种思维角度切
2、入,利用三角恒等变换、正(余)弦定理、平面向量数量积或基本不等式等数学工具做进一步转化,从而方便求解.2 问题呈现已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B A C=3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=2cb,则2b+c的最小值为.分析 本题以三角形的内角大小、线段长度及线段比例为问题背景,题目简单明了,考查三角形的面积公式、诱导公式和三角函数恒等变换,可以从解三角形及平面向量等角度切入求解.3 解法探究3.1 解三角函数思维解法1 等面积法设B A D=03 ,则C A D=3-.因为AD=1,B DD C=2cb,所以SA B DSA C D=B DC D
3、=2cb.化简得2 s i n=3 c o s,即t a n=32,故s i n=2 17,s i n3-=2 11 4.又SA B C=SA B D+SA C D,所以12b cs i n3=12cs i n+12bs i n3-,即2b+1c=7,所以2b+c=2b+c 2b+1c 1 7=1 75+2bc+2cb 175+4 =9 77.当且仅当b=c=3 77时取等号,即2b+c的最小值为9 77.3.2 解三角形思维解法2 余弦定理法B D=2a c2c+b,C D=a b2c+b,在A B C中,a2=b2+c2-2b cc o sA,则a2=b2+c2-b c.又在A B D和A
4、 C D中,c2=1+4a2c2(2c+b)2-22a c2c+bc o s AD B,b2=1+a2b2(2c+b)2-2a b2c+bc o s AD C,722 0 2 3年9月上例题精讲 数理天地 高中版化简得(2c+b)2-2b c3-5b2c2-2b3c+2a2b c=0,把代入得7b2c2=(b+2c)2,即 7b c=b+2c,2b+1c=7,后面证法同上.3.3 平面向量思维解法3 平面向量法如图1所示,以A B,A C为邻边构造平行四边形A E D F,图1因为B EE A=B DD C=2cb,所以A E=bb+2cA B,同理,A F=2cb+2cA C.又 AD=A
5、E+A F,等号两边同时平方得AD2=A E2+A F2+2A EA F,b2(b+2c)2A B2+4c2(b+2c)2A C2+4b c(b+2c)2A BA C=1,b2c2(b+2c)2+4b2c2(b+2c)2+2b2c2(b+2c)2=1,7b2c2=(b+2c)2,7b c=b+2c,2b+1c=7.后面证法同上.4 变式拓展拓展1 根据原题的解答过程,以三角形面积的范围来设置问题,难度与原题相当.变式1 已知A B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B A C=3,D为B C上一点,且AD=1,若B DD C=2cb,则A B C面积的最小值为.解 由原题的解答过
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