具有隐藏吸引子的新四维混沌系统的共存现象及图像加密.pdf
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1、第4 2卷 第4期2 0 2 3年8月 山东科技大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h a n d o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.4 2 N o.4A u g.2 0 2 3D O I:1 0.1 6 4 5 2/j.c n k i.s d k j z k.2 0 2 3.0 4.0 1 3 文章编号:1 6 7 2-3 7 6 7(2 0 2 3)0 4-0 1 1 3-1 4具有隐藏吸引子
2、的新四维混沌系统的共存现象及图像加密颜闽秀1,2,张 萍1(1.沈阳化工大学 信息工程学院,辽宁 沈阳 1 1 0 1 4 2;2.工业环境-资源协同控制与优化技术辽宁省高校重点实验室,辽宁 沈阳 1 1 0 1 4 2)摘 要:提出具有隐藏吸引子的新四维复杂混沌系统,系统在不同初始条件下产生不同类型的吸引子,且存在共存现象。对系统进行复杂度分析,发现该系统复杂度较高;设计图像置乱加密算法,利用隐藏吸引子混沌系统产生的混沌序列对图像进行置乱和扩散,对比发现隐藏型混沌系统的保密性强,并验证了加密算法的可实现性。该系统通过了N I S T标准测试中的1 5项指标,验证系统具有随机性。通过电路设计,
3、证明系统在实际应用中具有可行性。关键词:混沌系统;隐藏吸引子;共存现象;复杂度分析;图像加密;随机性测试;电路设计中图分类号:O 4 1 4.5;T P 3 0 9.7 文献标志码:A收稿日期:2 0 2 1-1 2-2 7基金项目:国家科技部中国-马其顿政府间科技合作项目(国科外2 0 1 92 2:6-8)作者简介:颜闽秀(1 9 7 2),女,福建仙游人,副教授,博士,主要研究方向为复杂系统控制.E-m a i l:y a n m i n x i u s y u c t.e d u.c n张 萍(1 9 9 7),女,辽宁鞍山人,硕士研究生,主要研究方向为混沌系统.C o e x i s
4、 t e n c e a n d i m a g e e n c r y p t i o n o f a n e w f o u r-d i m e n s i o n a l c h a o t i c s y s t e m w i t h h i d d e n a t t r a c t o r sYAN M i n x i u1,2,Z HANG P i n g1(1.C o l l e g e o f I n f o r m a t i o n E n g i n e e r i n g,S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f C h e m
5、 i c a l T e c h n o l o g y,S h e n y a n g 1 1 0 1 4 2,C h i n a;2.K e y L a b o r a t o r y f o r I n d u s t r i a l E n v i r o n m e n t-R e s o u r c e s C o o p e r a t i v e C o n t r o l a n d O p t i m i z a t i o n T e c h n o l o g y,S h e n y a n g 1 1 0 1 4 2,C h i n a)A b s t r a c t
6、:T h i s p a p e r p r o p o s e d a n e w f o u r-d i m e n s i o n a l c o m p l e x c h a o t i c s y s t e m w i t h h i d d e n a t t r a c t o r s,w h i c h,u n d e r d i f f e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s,p r o d u c e s d i f f e r e n t a t t r a c t o r t y p e s t h a t c o e
7、 x i s t.T h e c o m p l e x i t y a n a l y s i s s h o w e d t h a t t h e s y s t e m h a d r e l a t i v e l y h i g h e r c o m p l e x i t y.A n i m a g e s c r a m b l i n g e n c r y p t i o n a l g o r i t h m w a s d e s i g n e d a n d t h e i m a g e s w e r e s c r a m b l e d a n d d i
8、 f f u s e d b y u s i n g t h e c h a o t i c s e q u e n c e g e n e r a t e d b y t h e h i d d e n a t t r a c t o r c h a o t i c s y s t e m.A c o m p a r i s o n w i t h t r a d i t i o n a l c h a o t i c s y s t e m s h o w s t h a t t h e h i d d e n c h a o t i c s y s t e m h a s s t r o
9、 n g s e c r e c y.T h e a c h i e v a b i l i t y o f t h e e n c r y p t i o n a l g o r i t h m w a s t h e n v e r i f i e d.T h e s y s t e m h a s p a s s e d 1 5 i n d i c a t o r s i n t h e N I S T s t a n d a r d t e s t,w h i c h p r o v e s t h a t t h e s y s t e m i s r a n d o m.F i n
10、 a l l y,t h e f e a s i b i l i t y o f t h e s y s t e m i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s w a s t e s t i f i e d t h r o u g h c i r c u i t d e s i g n.K e y w o r d s:c h a o t i c s y s t e m;h i d d e n a t t r a c t o r s;c o e x i s t e n c e;c o m p l e x i t y a n a l y s i s
11、;i m a g e e n c r y p t i o n;r a n d o m n e s s t e s t;c i r c u i t d e s i g n自1 9 6 3年著名的L o r e n z混沌系统1建立以来,对混沌的研究迅速开展起来,并取得一些重要的成果,主要应用于图像加密2-3、通信加密4-5、生物医疗6等方面。根据平衡点类型,系统产生吸引子可以分为自激吸引子和隐藏吸引子7,而隐藏吸引子的数学定义,在2 0 1 3年8才首次被提出。隐藏吸引子通常存在于无平衡点、唯一稳定平衡点或无限平衡点等9非线性混沌系统当中。Z h a n g等1 0在经典混沌系统的基础上山东科技
12、大学学报(自然科学版)2 0 2 3年第4期引入状态反馈控制器,构建了具有隐藏吸引子的混沌系统,动态分析发现,隐藏型混沌系统具有复杂的动力学行为;W a n g等1 1提出一个简单的三维自治系统,该系统仅有一个稳定平衡点,具有隐藏混沌吸引子系统的特性。与有自激吸引子的混沌系统相比,具有隐藏吸引子的混沌系统复杂度更高,并且能够避免一般混沌系统所具有的局限性和缺陷。由于在实际工程应用中具有重要作用,因此研究人员更加注重对隐藏吸引子的研究1 2-1 4。吸引子共存1 5是一种非常复杂且有趣的现象,同时含有隐藏吸引子的共存现象也值得探究。F a n g等1 6提出具有隐藏吸引子的分数阶混沌系统,并分析
13、了其共存现象;A l-H a y a l i等1 7基于S p r o t t S系统提出一个四维混沌系统,该系统不具有平衡点,不同参数时李雅普诺夫指数和为整数,此时具有保守吸引子;L i等1 8研究了一种具有共存的隐藏吸引子的分数阶混沌系统,并设计了电路。在探索混沌系统复杂的动力学特性时,进行复杂度分析尤为必要。随着科学技术的发展,对于数字图像安全性的探究逐渐增多,图像加密已经成为一项广泛应用的技术,而混沌系统具有对初始值敏感性、随机性等显著特征,因此非常适合应用在数字图像加密中1 9。W a n g等2 0将隐藏型混沌系统应用于图像加密算法中,具有较强的安全性能。P a t r o等2 1
14、提出利用线性混沌映射交叉耦合的图像加密算法,避免了单一映射的缺点。设计实用且可靠的图像加密算法,并利用电路设计2 2验证是否具有应用的可能,具有一定的实用价值。本研究设计了一个结构简单的新四维混沌系统,该系统不存在平衡点,却表现出复杂的动力学特性。首先,通过对其耗散性、李雅普诺夫指数和维数分析验证该系统的动态行为,改变参数值和初始条件,系统的吸引子类型也会相应改变,并且在给定不同初始值和参数的情况下,系统能够产生不同状态的隐藏吸引子共存,复杂度分析发现该系统具有极高的复杂度;然后,设计了图像加密算法,实验证明,基于隐藏吸引子混沌系统的加密算法具有很强的安全性能,利用混沌序列的不均匀性可为信息安
15、全领域提供理论支撑;最后,随机特性测试表明,P-v a l u e均大于0.0 1,说明该系统的混沌序列具有随机性;利用M u l t i s i m进行电路仿真,仿真结果与M a t l a b运行结果一致,说明该系统具有可行性。1 系统模型及动力学特性分析1.1 系统模型基于三维L 混沌系统2 3,构造一个新的四维混沌系统:x=y-a x,y=b z-x z,z=x y-x w,w=-x+c。(1)式中:x、y、z、w为状态变量,a、b、c为参数值。1.2 平衡点为计算系统的平衡点,令y-a x=0,b z-x z=0,x y-x w=0,-x+c=0。(2)根据式(2)显然可得,当c0时
16、,系统没有平衡点,此时该系统所产生的吸引子均为隐藏吸引子。当参数值a=1 0、b=3、c=1 2,初始值为(1,1,1,1)时,系统的混沌吸引子如图1所示。可以看出,隐藏混沌吸引子不具有平衡点,却能产生混沌行为,其运动轨迹复杂,具有复杂的折叠性、重复性和延伸性结构,但又是有界的。1.3 动力学特性分析对系统进行耗散度分析,有V=xx+yy+zz+ww=-a。(3)411颜闽秀等:具有隐藏吸引子的新四维混沌系统的共存现象及图像加密图1 系统的吸引子相图F i g.1 A t t r a c t o r p h a s e d i a g r a m o f t h e s y s t e m图2
17、 李雅普诺夫指数图F i g.2 L y a p u n o v e x p o n e n t d i a g r a m当a0时,V0,因此系统是耗散的,并且以指数形式收敛。分析李雅普诺夫指数(如图2)可得,L E1=0.5 8,L E2=0,L E3=0,L E4=-1 0.5 6,则李雅普诺夫维数为:DL E=j+ji=1L Ei/L E(j+1)=3+(L E1+L E2+L E3)/L E4=3.0 5。(4)由图2可以看出,系统有一个正数、两个零、一个负数的李雅普诺夫指数,说明系统具有混沌特性。同时,由于李雅普诺夫维数是分数,说明隐藏型系统具有混沌特性。由于参数及初始值的波动对系
18、统具有一定影响,同时该系统具有复杂的动力学特性,因此根据参数的不同取值可得系统吸引子类型,如表1。表1 系统不同类型的吸引子T a b l e 1 A t t r a c t o r t y p e s o f t h e s y s t e m参数值初始值李雅普诺夫指数吸引子类型a=2,b=2,c=1 0(1,1,1,1)L E1=0,L E2=-0.1 1,L E3=-0.3 0,L E4=-1.5 9极限环a=0.2,b=0.3,c=1 2(1,1,1,1)L E1=0,L E2=0,L E3=-0.0 9,L E4=-0.1 0二维环面a=1 0,b=3,c=5(1,-1,1,1)L
19、E1=0.6 3,L E2=0,L E3=-0.0 2,L E4=-1 0.6 1隐藏混沌吸引子a=1 0,b=2,c=1 2(1,1,1,1)L E1=0.5 6,L E2=0.0 2,L E3=0,L E4=-1 0.5 8隐藏超混沌吸引子511山东科技大学学报(自然科学版)2 0 2 3年第4期2 隐藏吸引子的共存现象隐藏吸引子的共存在非线性系统中是一种复杂现象,一般在系统存在对称性的情况下产生,而该系统不存在对称性,却能产生共存现象,是极为少见的。情况。固定参数b=0.3,c=1 2,令a为变量,a0,4,得到关于初始值(1,1,1,1)和初始值(-1,-1,-1,-1)的分岔图,如图
20、3所示。取初始值为(1,1,1,1)时关于a的李雅普诺夫指数如图4所示。图3 情况的分岔图F i g.3 B i f u r c a t i o n d i a g r a m f o r C a s e 图4 情况的李雅普诺夫指数图F i g.4 L y a p u n o v e x p o n e n t g r a p h f o r C a s e 通过图3可以看出,系统存在共存现象,给定不同的初始值系统具有不同的混沌特性,对比分析可以发现隐藏型混沌系统具有共存现象。当a0.3 2,2.0 6时,分析图4可知,系统呈周期状态;当a0,0.3 22.0 6,4时,最大李雅普诺夫指数为正
21、,说明系统是混沌状态。为使共存现象清晰展示,取a=1,产生如图5的周期与周期共存状态的相图。由图5可以看出,在给定参数a=1,b=0.3,c=1 2以及不同初始值的情况下,出现两个环形的周期吸引子共存的现象。情况。固定参数b=2,c=1 2,令a为变量,a0,4,得到关于初始值(1,1,1,1)和(-1,-1,-1,-1)的分岔图,如图6所示。取初始值为(1,1,1,1)时关于a的李雅普诺夫指数如图7所示。图5 周期与周期吸引子共存F i g.5 C o e x i s t e n c e o f c y c l e a n d c y c l e a t t r a c t o r611颜闽
22、秀等:具有隐藏吸引子的新四维混沌系统的共存现象及图像加密图6 情况的分岔图F i g.6 B i f u r c a t i o n d i a g r a m f o r C a s e 图7 情况的李雅普诺夫指数图F i g.7 L y a p u n o v e x p o n e n t g r a p h f o r C a s e 由图6可以看出,改变参数值得到的分岔图不同,但同样存在共存现象。由图7可以看出,当a0.7 8,1.5 43.0 6,3.2 6时,系 统 做 周 期 运 动;当a0,0.7 81.5 4,3.0 63.2 6,4 时,系统做混沌运动;当a=3.2时,出
23、现隐藏混沌吸引子与隐藏混沌吸引子共存现象,两个混沌吸引子结构相似但运动轨迹不同,如图8所示。情况。固定参数b=3,c=1 2,令a为变量,a0,3,给定初始值分别为(1,1,1,1)和(1,-1,1,-1),可以得到分岔图如图9所示。取初始值为(1,1,1,1)时,关于a的李雅普诺夫指数如图1 0所示。由图9可以看出,系统具有复杂多变的动力学行为,当系统选取不同的初始值时,分岔图中的密集点分布存在明显的差异,说明系统具有共存现象。对比图9与图1 0可知,隐藏型混沌系统具有复杂的共存特性。图8 混沌与混沌吸引子共存F i g.8 C o e x i s t e n c e o f c h a o
24、 s a n d c h a o t i c a t t r a c t o r为进一步探究系统吸引子共存的具体情况,分别取a=0.5、a=2.8,产生如图1 1、图1 2所示的混沌吸引子与混沌吸引子共存现象。由图1 1和图1 2可以看出,当a=0.5时,混沌吸引子成“薯片状”共存;当a=2.8时,混沌吸引子成“花状”共存。711山东科技大学学报(自然科学版)2 0 2 3年第4期图9 情况的分岔图F i g.9 B i f u r c a t i o n d i a g r a m f o r C a s e 图1 0 情况的李雅普诺夫指数图F i g.1 0 L y a p u n o v
25、 e x p o n e n t g r a p h f o r C a s e 由上述分岔图可知,系统具有复杂的混沌特性,通过对a的不同取值可以得到不同形状的混沌吸引子共存现象。3 复杂度分析相对普通混沌系统,具有隐藏混沌吸引子的系统更具复杂性,利用谱熵(s p e c t r a l e n t r o p y,S E)和C0复杂度算法证明系统结构复杂程度较高,如图1 3、图1 4。C0算法保留了系统不规则的部分,由图1 3可以看出,C0的值均大于0.5 2,即在序列当中不规则部分较大,说明序列的复杂度高。与传统混沌系统对比可知,经典B a o混沌系统C0的值最大为0.4,因此隐藏吸引子的
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