几类药物依赖的常微分方程模型.pdf
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1、-49-第3期2023年6月No.3June,2023几类药物依赖的常微分方程模型郭树敏,李儒风(韶关学院 数学与统计学院,广东 韶关 512005)摘 要:药物依赖是一类影响人的认知、行为和生理的病症。近年来,药物依赖,特别是阿片类药物滥用问题日益严重,患病人数不断增加,遏制此类疾病的发展已经刻不容缓。数学建模是研究控制传染病的有效方法之一,主要介绍了几类常见药物依赖的常微分方程模型以及所得结论在疾病传播控制中的应用。关键词:药物依赖;数学建模;疾病控制;常微分方程药物依赖俗称药物成瘾,是指药物与人体机能相互作用,使人体发生生理以及形态变化,产生连续性的定期用药需求,一旦停止用药就会产生生理
2、上和心理上的不适反应。目前,会让人产生依赖的常见药物可分为7类:(1)酒精-巴比妥类,包括乙醇、巴比妥类及其他催眠药和镇静药;(2)苯丙胺类,包括苯丙胺、右苯丙胺、甲基苯丙胺等;(3)阿片类,包括阿片和吗啡等;(4)可卡因,包括可卡因和古柯叶;(5)致幻剂,包括麦司卡林和裸盖菇素等;(6)挥发性化合物,包括丙酮、四氯化碳和其他溶媒;(7)烟碱,包括烟草和鼻烟。药物依赖危害人类身体健康,会损害神经系统和内分泌系统,导致人类产生烦躁、抑郁情绪,甚至精神错乱;也会损害人体的免疫力和其他脏器。许多药品能通过胎盘进入胎儿体内,损害胎儿健康,严重的会引起流产。近年来,药物依赖,特别是阿片类药物依赖的患病者
3、数量越来越多。面对如此严峻的形势,亟待找到更有效的药物依赖控制手段。数学建模作为防控传染病的有效手段,在以往大型传染病暴发时都发挥了重要的作用。药物依赖的过程也能用数学建模的方式进行模拟,根据建立的符合其传播特性的微分方程模型,能揭示其流传规律,找到控制其扩散发展的方法。1 模型1.1 SI及SIV模型SI及SIV模型把药物依赖当成一类普通传染病处理,形式也较为简单。其中,SI模型不考虑外在控制措施的影响,将人群分为两类易感者S和药物依赖者I,疾病发生率也采用较为简单的线性发生率SI,建立的常微分方程模型如下1:(1)通过分析方程的奇点和数值模拟得出,当患病者数量超越临界值时,患病人数会不断增
4、长,形成流行趋势;当患病者数量低于临界值时,患病人数会缓慢减少,最终趋于零。除了 上述基本模型,修正过的模型更接近实际情况1:(2)该模型增加了SI2项,表示政府的宣传以及控制行动减少了患病者数量,I项表示患病人数增多时易感者的人数也会增长。由得出的基本再生数表达式能分析出控制药物依赖的关键因素,从而有效控制患病者数量。还有一些具有饱和发生率的模型被讨论过2,将人群分为易感者S、患病者I和治疗者V,所建立的模型为:(3)该模型考虑了治疗和治疗又复发的情况,通过数学分析得到了基本再生数,并进行了数值模拟,所得结论可以反映患病人群数量增长的关键因素。1.2 SU1U2模型SU1U2模型将人群分为3
5、类,包含易感者S、未接受治疗的药物依赖者U1和接受治疗的药物依赖者U2,建立的模型为:(4)基金项目:2023年韶关学院大学生创新创业训练计划项目“基于常微分方程模型分析的新型传染病防控策略研究以新冠肺炎为例”(Sycxcy2023105)作者简介:郭树敏(1980),女,河南信阳人,副教授,博士研究生;研究方向:生物数学。现代盐化工Modern Salt and Chemical Industry-50-第3期2023年6月No.3June,2023该模型分析出了平衡点的全局稳定性以及基本再生数,并讨论引入了随机扰动模型,这样更符合药物滥用的现实环境。随机模型的解围绕振荡变化,振荡幅度与噪声
6、强度成正比,且当白噪声的强度较小时,随机模型持续存在3。在此基础上改良的模型为4:(5)此模型将发生率改为更符合实际情况的标准发生率,且考虑部分患病者自主治疗转化为易感者,接受治疗后也有部分患病者转化为易感者,通过讨论得到了基本再生数,证明了模型平衡点的稳定性。还有模型把患病者治疗的过程也记为标准发生率形式,模型如下5:(6)用特征方程理论证明了平衡点的稳定性,结论说明预防患病者出现优于治疗已患病者,更能有效地遏制药物依赖,强制患病者治疗对减少患病者的数量没有太大帮助。模型分析结果还取得了 一些有重要意义的参数,有助于找到更有效的药物依赖治疗和预防方法。还有一些模型应用了更复杂的传染率形式,更
7、贴合药物依赖的实际情况,例如以下模型6:(7)该模型假设易感者两次接触药物就会变为药物依赖者,一旦患病,未经治疗不能康复,这种假设更符合实际情况。该模型有复杂的动力学性态,出现了不稳定的极限环和分支,说明在一定条件下,成瘾药物的流行会出现周期性变化。这些复杂的动力学结论说明控制药物依赖比想象中更加困难。1.3 SPHT模型除了生理因素,药物依赖还和个人性格特征、心理易感性有关,很多药物不但会让人产生生理依赖,还会使人产生更强的心理依赖。因此,在建立与之相关的模型时,将总人群分为4类易感者S、心理依赖者P、生理依赖者H以及治疗中的患病者T,模型为:(8)该模型假设心理依赖者和生理依赖者对易感者具
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