量子积分的Ostrowski型不等式.pdf
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1、首都师范大学学报(自然科学版)Journal of Capital Normal University(Natural Science Edition)No.4Aug.,2023第 44卷第 4期2023年 8月DOI:10.19789/j.1004-9398.2023.04.003文 献 引 用:时 统 业.量 子 积 分 的 Ostrowski 型 不 等 式J.首 都 师 范 大 学 学 报(自 然 科 学 版),2023,44(4):9-17.SHI T Y.Ostrowski typeinequalities for quantum integrationJ.Journal of C
2、apital Normal University(Natural Science Edition),2023,44(4):9-17.量子积分的 Ostrowski型不等式时统业*(中国人民解放军海军指挥学院,江苏 南京211800)摘要:针对一阶 q导数有界的函数,利用 q微积分平均值不等式,建立了 q-Ostrowski不等式,加强了已有文献给出的 q-Ostrowski不等式,并将结果移植到 qb积分。针对一阶 q导数和一阶 qb导数都有界的函数,利用 q微积分平均值不等式,建立了同时涉及 q积分和 qb积分的 Ostrowski型不等式,推广了经典的 Ostrowski不等式。针对二阶
3、q可微且二阶 qb可微的函数,利用恒等式,通过引入参数求最值,建立了同时涉及 q积分和 qb积分的 Ostrowski型不等式。关键词:Ostrowski型不等式;q积分;qb积分;量子微积分平均值不等式中图分类号:O178文献标识码:AOstrowski type inequalities for quantum integrationSHI Tongye*(Naval Command College of People s Liberation Army,Nanjing Jiangsu211800)Abstract:In this paper,q-Ostrowski inequality
4、is established for functions with bounded first order q-derivatives by means of mean value inequality for q-calculus,which strengthens q-Ostrowski inequalitygiven in previous literature,and the result is transferred to qb-integral.Ostrowski inequality involvingboth q-integral and qb-integral is esta
5、blished for functions with bounded first order q-derivatives and qb-derivatives,and the classical Ostrowski inequality is generalized.For second order q-differentiable andsecond order qb-differentiable functions,using the identities and the method of introducing parameter tofind the minimum,Ostrowsk
6、i type inequality involving both q-integral and qb-integral is established.Keywords:Ostrowski type inequality;q-integral;qb-integral;mean value inequality for q-calculusCLC:O178DC:A0引言对于区间a,b上的可微函数f,如果存在常数M,使得|f M,则有下面经典的 Ostrowski不等式|f(x)1b aabf(t)dt(x a)2+(b x)22(b a)M。Dragomir1建 立 了 Lipschitz 函 数
7、 的 Ostrowski不等式;Dragomir 等2给出了带有一个参数的 Ostrowski不等式的推广。Ostrowski不等式可以通过建立积分恒等式来证明,利用积分恒等式和 Grss不等式还可以建立 Ostrowski-Grss 型不等式3-5。许多文献将 Ostrowski不等式推广到高阶可微函数的 Ostrowski型不等式、加权的 Ostrowski型不等式、带有扰动的 Ostrowski 型不等式,以及各种积分的Ostrowski 型不等式6-11。更多 Ostrowski 型不等式的结果可见匡继昌所著的 2021 年新版 常用不等收稿日期:2021-12-13*通信作者:9首都
8、师范大学学报(自然科学版)2023年式12。本文目的是建立新的量子 Ostrowski 不等式,通篇假设0 q m,则有|f()qka+()1 qkb f()qma+()1 qmb=|n=mk 1f()qn+1a+()1 qn+1b f()qna+()1 qnb=|n=mk 1()1 q qn()b abDqf()qna+()1 qnbn=mk 1()1 q qn()b a|bDqf()qna+()1 qnbbDqfn=mk 1()1 q qn()b a=()b a()qm qkbDqf,故式(1)成立。注 1设f是a,b上的任意函数,且bDqf存在 有 限,如 果f在 点x=b处 连 续,则
9、 对 任 意k N 0,在式(1)中取m 得|f()qka+()1 qkb f()b()b a qkbDqf。为方便起见,记S1=aDqf()x aDqf()ax a,S2=bDqf()b bDqf()xb x。L1=01t2aD2qf()tx+()1 t a dqt,L2=01t2bD2qf()tx+()1 t b dqt,Ia=1b aabf()xadqx f()qmb+()1 qma,Ib=1b aabf()xbdqx f()qma+()1 qmb,J=f()x 1b aaxf()xadqx+xbf()xbdqx,H=axf()tadqt+xbf()tbdqt+q2+q 11 q2()b
10、 af()x q1q2()xaf()qx+()1q a+()bxf()qx+()1q b。Ali 等21通过建立涉及二阶q可微函数的积分恒等式L1=1()x a3q2+q 1q3()1 q(x a)f(x)1q2()1 q(x a)f(qx+(1 q)a)+1+qq3axf(t)adqt,(2)L2=1()b x3q2+q 1q3()1 q(b x)f(x)1q2()1 q(b x)f(qx+(1 q)b)+1+qq3xbf(t)bdqt,(3)建立了二阶q可微函数的 Ostrowski型不等式为|baLq()x()x a2()b x2()b a M1+q+q2,(4)式中:f是a,b上的二阶
11、q可微函数和二阶qb可微函数;存在常数M,使得aD2qfM,bD2qfM,baLq()x=()x a()b x()1 q q3()x a qf()qx+()1 q b+()b x qf()qx+()1 q a()q2+q 1()b af()x1+qq3()b x2axf()tadqf+()x a2xbf()tbdqf。有关q积分不等式和qb积分不等式的结果还可参阅文献 22-26。1主要结果定理 3设f是定义在a,b上的函数,且f在点x=a处连续,aDqf存在有限且非零,则有()1+2q2m+11+q qm()b aaDqf+21+q()1 u()1 qu +qv 2()b aaDqf()1+
12、2q2m+11+q qm()b aaDqf+21+q()1 qK+1qK+1()1+q u +1+qL+1()1+q v qL+1()b aaDqfIa()1+2q2m+11+q qm()b aaDqf11首都师范大学学报(自然科学版)2023年21+q()1 qK+1qK+1()1+q u+1+qL+1()1+q v qL+1()b aaDqf()1+2q2m+11+q qm()b aaDqf21+q()1 u()1 qu+qv2()b aaDqf,(5)式中:u=f()b f()qmb+()1 qma+()1+qm()b aaDqf2()b aaDqf;v=f()qmb+()1 qma f
13、()a+qm()b aaDqf2()b aaDqf;u=f()qmb+()1 qma f()b+()1+qm()b aaDqf2()b aaDqf;v =f()a f()qmb+()1 qma+qm()b aaDqf2()b aaDqf;K=logqu,L=logqv。证明由定理 2,对任意自然数 0km,有f()qkb+()1 qka f()b()1 qk()b aaDqf,f()qkb+()1 qka f()qmb+()1 qma()qk qm()b aaDqf,故对任意自然数 0km,有f()qkb+()1 qkaminf(b)+(1 qk)(b a)aDqf,f(qmb+(1 qm)a
14、)+(qk qm)(b a)aDqf=:,f()b+()1 qk()b aaDqff()qmb+()1 qma+()qk qm()b aaDqf=2()u qk()b aaDqf。因为|f()b f()qmb+()1 qma()1 qm()b aaDqf,故有u qm,1,从而=f()b+()1 qk()b aaDqf,0 k K;f()qmb+()1 qma+()qk qm()b aaDqf,K+1 k m。由定理 2,对任意自然数km+1,有f()qkb+()1 qka f()aqk()b aaDqf,f()qkb+()1 qka f()qmb+()1 qma()qm qk()b aaDq
15、f,故对任意自然数km+1,有f()qkb+()1 qkaminf(a)+qk(b a)aDqf,f(qmb+(1 qm)a)+(qm qk)(b a)aDqf=:,f()a+qk()b aaDqff()qmb+()1 qma+()qm qk()b aaDqf=2()qk v()b aaDqf,因为|f()qmb+()1 qma f()aqm()b aaDqf,故有v 0,qm,从而=f()qmb+()1 qma+()qm qk()b aaDqf,m+1 k L;f()a+qk()b aaDqf,k L+1。abf()xadqx=()1 q()b ak=0qkf()qkb+()1 qka=(1
16、 q)(b a)k=0Kqkf()qkb+()1 qka+k=K+1mqkf()qkb+()1 qka+k=m+1Lqkf()qkb+()1 qka+k=L+1qkf()qkb+()1 qka()1 q()b ak=0Kqkf()b+()1 qk()b aaDqf+k=K+1mqkf()qmb+()1 qma+()qk qm()b aaDqf+k=m+1Lqkf()qmb+()1 qma+()qm qk()b aaDqf+k=L+1qkf()a+qk()b aaDqf,Ia()1 qk=0qk|qm qk()b aaDqf+C+D,(6)式中:C=(1 q)k=0Kqkf()b+()1 qk(
17、)b aaDqfk=0Kqk()qk qm()b aaDqf12时统业:量子积分的 Ostrowski型不等式第 4 期f()qmb+()1 qmak=0Kqk=21+q()1 qK+1u()1+q 1 qK+1()b aaDqf;(7)D=(1 q)k=K+1qkf()a+qk()b aaDqfk=L+1qk()qm qk()b aaDqff()qmb+()1 qmak=L+1qk=21+qqL+1qL+1 v()1+q()b aaDqf。(8)由文献 20 知k=0qk|qm qk=11 q()1+2q2m+11+q qm,(9)综合式(6)(9),则式(5)从右边数起第 2 个不等式得证
18、。由logqu 1 qK+1qu,从而有|qK+11+q2u1 q2u。同理有|qL+11+q2v1 q2v,()1 qK+1u()1+q 1 qK+1=()qK+11+q2u2()1+q2u 12()1 q2u2()1+q2u 12=()u 1()1 qu,qL+1qL+1 v()1+q=()qL+11+q2v2()1+q2v2()1 q2v2()1+q2v2=qv2。故式(5)的右边不等式成立。对()f应用已证结果,则式(5)的从左边数起的第 1 和第 2 个不等式得证。推论 1设f是定义在a,b上的函数,且f在点x=a处连续,aDqf存在有限且非零,则有|Ia()1+2q2m+11+q
19、qm()b aaDqf|f()qmb+()1 qma f()a qm()b aaDqf22()1+q()b aaDqf。注 2推论 1给出定理 1的加强。定理 4设f是定义在a,b上的函数,且f在点x=b处连续,bDqf存在有限且非零,则有()1+2q2m+11+q qm()b abDqf+21+q()1 u()1 qu +qv 2()b abDqf()1+2q2m+11+q qm()b abDqf+21+q()1 qK+1qK+1()1+q u +1+qL+1()1+q v qL+1()b abDqfIb()1+2q2m+11+q qm()b abDqf21+q()1 qK+1qK+1()1
20、+q u+1+qL+1()1+q v qL+1()b abDqf()1+2q2m+11+q qm()b abDqf21+q()1 u()1 qu+qv2()b abDqf,其中u=f()a f()qma+()1 qmb+()1+qm()b abDqf2()b abDqf;v=f()qma+()1 qmb f()b+qm()b abDqf2()b abDqf;u=f()a f()qma+()1 qmb+()1+qm()b abDqf2()b abDqf;v =f()b f()qma+()1 qmb+qm()b abDqf2()b abDqf;K=logqu,L=logqv。证明利用引理 1,用类
21、似于定理 3的证明方法可证。这里略去证明过程。推论 2设f是定义在a,b上的函数,且f在点x=b处连续,bDqf存在有限且非零,则有|Ib()1+2q2m+11+q qm()b abDqf|f()qma+()1 qmb f()b qm()b abDqf22()1+q()b abDqf。13首都师范大学学报(自然科学版)2023年定理 5设f是定义在a,b上的函数,且f在点x=a处和点x=b处连续,aDqf和bDqf存在有限且非零,则对任意x (a,b)有q()1+q()b a(2c2 1)(x a)2aDqf+(2d2 1)(b x)2bDqfJq()1+q()b a(1 2c21)(x a)
22、2aDqf+(1 2d21)(b x)2bDqf,(10)其中c=f()x f()a+()x aaDqf2()x aaDqf;d=f()x f()b+()b xbDqf2()b xbDqf;c1=f()x f()a()x aaDqf2()x aaDqf;d1=f()x f()b()b xbDqf2()b xbDqf。证明由定理 2,对任意自然数k,有f()qkx+()1 qka f()x()1 qk()x aaDqf,f()qkx+()1 qka f()aqk()x aaDqf,故对任意自然数k,有f()qkx+()1 qkaminf(x)+(1 qk)(x a)aDqf,f(a)+qk(x
23、a)aDqf=:,f()x+()1 qk()x aaDqff()a+qk()x aaDqf=2()c qk()x aaDqf,由|f()x f()a()x aaDqf,故c 0,1,=f()x+()1 qk()x aaDqf,0 k K;f()a+qk()x aaDqf,K+1 k m。式中K=logqc。axf(t)adqt=(1 q)(x a)k=0Kqkf()qkx+()1 qka+k=K+1qkf()qkx+()1 qka()1 q()x a k=0Kqkf()x+()1 qk()x aaDqf+k=K+1qkf()a+qk()x aaDqf=(x a)(1 qK+1)f(x)+(1
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