利率相依的离散索赔双险种风险模型.pdf
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1、第32卷 第4期 湖 南 城 市 学 院 学 报(自然科学版)Vol.32 No.4 2023年7月 Journal of Hunan City University(Natural Science)Jul.2023 利率相依的离散索赔双险种风险模型 黎 可1,唐志飘1,毕文毅1,谢永钦1,2(1.湖南信息学院 通识教育学院,长沙 410151;2.长沙理工大学 数学与统计学院,长沙 410114)摘 要:波动利率是影响保险业经营的外生变量之一,它会通过影响承保利润、投资收益等不同途径影响保险公司的运作机制和运营效率,而险种多元化是目前保险公司经营的现状与发展趋势本文从经典风险模型出发,探讨在
2、利率变化、多险种情形下的保险公司破产概率及其相关问题首先,采用随机分析理论与方法,建立了当利率满足一阶自回归结构时的利率相依的离散索赔双险种风险模型;其次,根据保费到达时间的不同,分别推导出该风险模型下的保险公司破产概率以及破产时盈余与赤字分布所满足的积分递推方程;最后,结合实际数值案例进行了分析 关键词:波动利率;双险种;风险模型;破产概率 中图分类号:O211.6 文献标识码:A doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2023.04.0009 文章编号:16727304(2023)04006106 Discrete claim double insurance risk
3、 model with interest rate dependence LI Ke1,TANG Zhipiao1,BI Wenyi1,XIE Yongqin1,2(1.School of General Education,Hunan University of Information Technology,Changsha,Hunan 410151,China;2.School of Mathematics and Statistics,Changsha University of Science&Technology,Changsha,Hunan 410114,China)Abstrac
4、t:Fluctuating interest rate is one of the exogenous variables that affects the operation of insurance industry,which will affect the operation mechanism and efficiency of insurance companies through different paths such as premium profit and investment returns.And the diversification of insurance ty
5、pes is the current situation and development trend of insurance companies.Based on the classical risk model,this paper discusses the bankruptcy probability of insurance companies and its related problems in the case of interest rate change and multi-insurance.First of all,by using the theory and met
6、hod of stochastic analysis,a discrete claim double insurance risk model with interest rate dependence is established when the interest rate satisfies the first-order auto-regressive structure.Secondly,according to the different arrival time of the premium,the integral recursive equations of the ruin
7、 probability and the surplus and deficit distribution of the insurance company under the risk model are derived respectively.Finally,the obtained results were demonstrated through specific practical examples.Key words:fluctuating interest rate;double type-insurance;risk model;ruin probability 风险是保险的
8、基础风险理论的发展至今已有近百年的历史,一直是精算学和金融学研究的热点问题风险理论主要研究保险公司在经营中的盈余风险管理问题,其利用现代数学理论与方法对盈余风险进行定量分析并建立相应的数学模型,由此讨论其破产概率、调节系数等,为保险经营活动提供有效的风险分析和风险控制在风险理论中,其基础模型是 Lundberg1于 1903 年首次提出的 Cramer-Lundberg 模型,其表达式为()1N tkkU tuctZ其中,()U t为保险公司t时刻的资产盈余;u为初始资本;c为单位时间内的保费收入,且0c;0()tN t为参数的泊松过程,表示0,t 时间间隔内发生索赔的次数;kZ为第k次索赔额
9、的大小且kZ为独立同分布的随机变量序列 Cramer-Lundberg 模型也被称为古典风险模型,它是风险理论研究的基础多年来,国内众多学者根据保险企业实际经营情况从不同的角度对古典风险模型进行了推广(见文献2-8)在Cramer-Lundberg 模型中,索赔次数为随机变量,收稿日期:2023-03-15 基金项目:教育部高等教育司产学合作协同育人项目(202101170005);湖南省社会科学成果评审委员会课题(XSP2023JYC277,XSP21YBC368)第一作者简介:黎可(1982),女,长沙人,讲师,硕士,主要从事保险风险理论及应用研究E-mail: 湖 南 城 市 学 院 学
10、 报(自然科学版)2023年第4期 62 因此不少学者分别研究了当索赔次数服从广义泊松分布、负二项分布、复合广义泊松分布等风险模型的破产概率4-7如于文广2在经典的复合泊松分布风险模型的基础上,构建了 2 类复合广义泊松过程的多险种风险模型,并推导出当初始资本为u时的破产概率的精确解析式,以及调节系数方程与其上界、下界;刘博等3根据索赔方式对经典风险模型进行了分析与推广,并推导出其破产概率表达式 从已有的相关研究可以看出,人们大多只考虑单险种的经营过程然而,随着保险业经营规模的不断扩大,其险种多元化已成为常态因此,很有必要也必须考虑多险种风险模型,这样才能更好地描述保险运营的客观机理,从而指导
11、企业的经营与决策目前,混合多险种风险模型研究已取得一定的成果,如马丽娟等8和赵静等9分别讨论了双险种风险模型的破产概率及其相关问题此外,针对利率变化下的风险模型,人们通常只考虑随机利率情形,如彭丹等10讨论了随机利率下的离散索赔风险模型,并推导出破产前预期累积分红所满足的差分方程和在特殊索赔情形下预期累积分红现值的精确解析式;杨微等11基于随机利率的离散风险模型,推导出保险公司的生存概率、有限时间内的破产概率以及破产后的赤字分布与盈余首次低于某一水平的时间分布的递推公式 基于此,本文在利率满足一阶自回归结构的情形下,建立相应的利率相依的离散索赔双险种风险模型,并以此探讨破产盈余、破产赤字等重要
12、指标函数间的关联,同时确定这些函数与破产概率之间的关系,推导出其所满足的积分递推方程 1 利率相依的离散索赔双险种风险模型 设保险公司的初始资本为u,险种 1 和险种 2 在1,)kk时间内的保费收入分别为12kkXX、,其理赔支出分别为12kkYY、,利率为kr若保费收入12kkXX、于1,)kk最终时刻获得,则险种 1 和险种 2 在1,)kk时间内的累计承保收益分别为11111nnkkiki kXYr 和22111nnkkiki kXYr 记1nsii sRr,则保险公司在n时刻的资产和负债的差值,即累计盈余nU可表示为模型,即 112211111.nnnkkkkkkkkUuRXYRXY
13、R (1)若保费收入12kkXX、于1,kk最初时刻获得,则累计盈余nU满足模型,即 11221111111.nnnkkkkkkkkkkUuRXrYRXrYR (2)其中,1212kkkkXXYY、均为独立同分布的非负随机变量序列;kr为具有一阶自回归结构的非负随机变量序列,即 1,1,2,nnnrarn (3)且满足递推关系 1011,1,2,.nnnnnra raan (4)其中,01a、00r 且均为常数;k为独立同分布的非负随机变量序列,且具有分布函数 kG xPx 1212kkkkkXXYY、均相互独立且具有有限期望值 保险公司的财务状况和偿还能力是保险人和投保人十分关注的问题为了弄
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