量子积分的梯形不等式.pdf
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1、第 44 卷第 3 期 温 州 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2023 年 8 月 Vol.44 No.3 Journal of Wenzhou University(Natural Science Edition)Aug.2023 量子积分的梯形不等式 时统业(海军指挥学院,江苏南京 211800)摘 要:从 q 积分和 qb积分的定义出发,利用量子微积分中值不等式,建立了 q 可积函数和 qb可积函数的梯形不等式,推广了经典的一阶可微函数的梯形不等式 关键词:q 积分;qb积分;q 微积分中值不等式;梯形不等式 中图分类号:O178 文献标志码:A 文章编号:1674-3563(20
2、23)03-0001-10 DOI:10.20108/j.wzun.2021.11.10.0001 本文的 PDF 文件可以从 https:/ 获得 著名的 Hermite-Hadamard 不等式1是:()()()d22baabf af bff xx+,(1)其中f是区间,a b上的凸函数利用导函数的界可以给出由式(1)的左边部分和右边部分生成的不等式的估计,分别称之为中点不等式和梯形不等式,这方面的研究已有很多,参见文献2-6文献7-8引入了任意区间,a b上的q导数和q积分的概念本文建立q积分和bq积分的梯形不等式,并推广了经典的一阶可微函数的梯形不等式 1 相关概念和引理 定义 17-
3、8 设f是,a b上的连续函数,则f在点(,xa b处的q导数定义为:()(1)D()(1)()aqf xf qxq af xq xa+=如果lim D()aqxaf x存在,则f在点xa=处的q导数定义为:D()lim D()aqaqxaf af x=如果f在,a b上每个点处的q导数都存在,则称f是,a b上的q可微函数 从定义 1 可知,f是,a b上的q可微函数,意味着f和D()aqf x都是,a b上的连续函数 定义 27-8 设f是,a b上的连续函数,,ta b,则f在,a t上的q积分定义为:0()d(1)()(1)tnnnaqanf ssq taq f q tqa=+设(,)
4、ca t,则定义:()d()d()dttcaqaqaqcaaf ssf ssf ss=收稿日期:2021-11-10 作者简介:时统业(1963),男,河北张家口人,硕士,副教授,研究方向:数学不等式 温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 2 00(1)()(1)(1)()(1)nnnnnnnnq taq f q tqaq caq f q cqa=+从定义 2 可知,,a b上的连续函数f在,a t上的q积分一定存在,在,c t上的q积分依赖于f在,a c上的函数值对于,a b上的一般的函数f,如果f在,a b上的q积分存在,则称f在,a b上是q可积的 定义 1 和定
5、义 2 分别是0,b上的q导数和-qJckson 积分9概念的推广q积分有类似于经典积分的线性运算和分部积分法 定理 17 设,f g是,a b上的连续函数,则对任意(,xa b有:1)()()d()d()dxxxaqaqaqaaaf tg ttf ttg tt+=+;2)对任意常数,()()d()dxxaqaqaafttf tt=;3)对任意(,)ca x,()D()d()(1)D()dxxxaqaqcaqaqccf tg ttfgg qtq ag tt=+定理 210(-qHermite-Hadamard 型不等式)设f是,a b上的凸函数,且在(,)a b上可微,则有:1qabfq+()
6、dbaqaf xx()()1qf af bq+记(,DsupD()aqaqta bff t=当f在,a b上q可微时,,DsupD()aqaqta bff t=存在有限 文献11给出反例说明了经典的微分中值定理对于q可微函数并不成立,但对于形如(1)nnq xqa+的两个点一定成立 定理 311(q微积分中值不等式)设f是,a b上的任意函数,则对任意(,xa b和任意 N0n,有:()(1)nnf xf q xqa+(1)()Dnaqqxaf 对任意,N0m k,由定理 3 直接可得11:(1)(1)()Dmmkkmkaqf q bqaf q bqaba qqf+(2)特别是,如果f在点xa
7、=处连续,在式(2)中分别取m 和0m=,则得:()(1)()Dkkkaqf af q bqaba qf+,(3)()(1)()(1)Dkkkaqf bf q bqabaqf+(4)文献12给出bq导数和bq积分的定义 定义 312 设f是,a b上的连续函数,,xa b,则f在点,)xa b处的bq导数定义为:(1)()D()(1)()bqf qxq bf xf xq bx+=如果lim D()bqxbf x存在,则定义D()lim D()bbqqxbf bf x=如果f在,a b上每个点处的bq导数都存在,则称f是,a b上的bq可微函数 时统业:量子积分的梯形不等式 3 定义 412 设
8、f是,a b上的连续函数,则f在,a b上的bq积分定义为:0()d(1)()(1)bbnnnqanf ssq baq f q aq b=+对于,a b上一般函数f,如果f在,a b上的bq积分存在,则称f在,a b上是bq可积的 定理 412(-bqHermite-Hadamard 型不等式)设f是,a b上的凸函数,且在(,)a b上可微,则有:()()()d11bbqaaqbf aqf bff xxqq+记)(),DsupDbbqqta bff t=当f在,a b上q可微时,有,DsupD()bbqqta bff t=存在有限 引理 1 设f是,a b上的任意函数,且Dbqf存在有限,则
9、对任意N0k,(1)()()(1)Dkkkbqf q aqbf abaqf+,(5)(1)()()Dkkkbqf q aqbf bba qf+(6)证明:1110(1)()=(1)(1)kkkmmmmmf q aqbf af qaqbf q aqb+=+=10(1)()D(1)kmbmmqmq qbaf q aqb=+10(1)()D(1)kmbmmqmq qbaf q aqb=+10D(1)()=()(1)Dkbmkbqqmfq qbabaqf=+1+1(1)()=(1)(1)kkmmmmm kf q aqbf bf q aqbf qaqb=+=(1)()(1)mbmmqm kq qbaD
10、f q aqb=+(1)()(1)mbmmqm kq qbaD f q aqb=+D(1)()=()Dbmkbqqm kfq qbaba qf=有关q积分不等式和bq积分不等式的结果还可参阅文献13-19本文建立q积分和bq积分的梯形不等式,作为其推论,得到由-qHermite-Hadamard 型不等式和-bqHermite-Hadamard 型不等式的右边生成差值的估计 为方便起见,记:温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 4()()=f bf aSba,211,(0,3=1 251,1)43qqqqqq+,1()()=()d2baqaf af bIf xxba+,
11、1()()=()d2bbqaf af bJf xxba+2 主要结果 定理 5 设f是定义在,a b上的函数,且f在点xa=处连续,Daqf存在有限且非零,则有:D2(1)aqbafq+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSIfqqqff+(7)D2(1)aqbafq+证明:定理 3 中取xb=,n 得()()f bf a()Daqbaf,即SDaqf,故式(7)的右边第一个不等式和左边第一个不等式成立 对任意N0k,由式(3)(4)有:(1)()()Dkkkaqf q bqaf aba qf+,(1)()()
12、(1)Dkkkaqf q bqaf bbaqf+,故有:(1)kkf q bqa+min()()D,()()(1)D:kkaqaqf aba qff bbaqf+=,()()Dkaqf aba qf+()()(1)D=kaqf bbaqf+2()D()kaqbafqc,其中1(1)2DaqScf=+因为SDaqf,故0,1c 先讨论0c=情形,此时=DaqSf 01()d=(1)(1)bkkkaqakf xxqq f q bqaba=+0(1)()()(1)D()()D1kkaqaqkqqqf bbaqff bbafq=+=+,时统业:量子积分的梯形不等式 5 I1 3()D2(1)aqqba
13、fq+1()D2(1)aqqbafq=+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+,即式(7)从右边数起的第二个不等式成立 再讨论1c=情形,此时=DaqSf 01()d=(1)(1)bkkkaqakf xxqq f q bqaba=+0(1)()()D()D1kkaqaqkbaqqf aba qff afq=+=+,I1()D=2(1)aqqbafq+2D1(1)(1)()2(1)DDaqaqaqbaSSfqqqff+,即式(7)从右边数起的第二个不等式成立 当(0,1)c时,令lnlncKq=,其中 x是向下取整函数,则当kK时,=()f b+()(1)Dkaqb
14、aqf;当k+1K时,=()()Dkaqf aba qf+011()d=(1)(1)+(1)Kbkkkkkkaqakk Kf xxqq f q bqaq f q bqaba=+01(1)()()(1)D+()()DKkkkkaqaqkk Kqq f bbaqfqf aba qf=+=2(1)1112()(1)()()()D=11KKKKaqqqqf aqf bbaqfqq+()()+2f af b+122211()()D12122DKaqaqqSqqqccbafqqf+由ln1lncKq lnlncq得cq1Kqc+,112Kqqc+12qc,有:I22211()()D12122DaqaqqS
15、qqccbafqqf+=+2D1(1)(1)()2(1)DaqaqaqbaSSfqqqD ff+,故式(7)从右边数起的第二个不等式得证 D()Daqaqff=,对()f应用已证结果,则式(7)从左边数起的第二个不等式得证 推论 1 设f是定义在,a b上的函数,且f在点xa=处连续,Daqf存在有限且非零,则有:温州大学学报(自然科学版)(2023)第 44 卷第 3 期 6 2D1(1)(1)()2(1)DD()DD.2(1)2(1)aqaqaqaqaqSbaSIfqqqffbabaffqq+(8)证明:式(8)从左边数起的第一个不等式是式(7)的直接结果因为1,所以式(8)从右边数起的第
16、一个不等式是显然的下面证明式(8)从右边数起的第二个不等式 2221 2511(1)(1)()=()42DDDaqaqaqSSSqqqqqqqqfff+当1(0,)3q时,因12qq12DaqSqqf3102qq,故有:21()2DaqSqqf231()2qq,21(1)(1)()DDaqaqSSqqff221 2531()42qqqqqq+=1 q 当1,1)3q时,显然有21(1)(1)()DDaqaqSSqqff21 254qqq+,因此式(8)从右边数起的第二个不等式成立 推论 2 设f是定义在,a b上的函数,且f在点xa=处连续,Daqf存在有限且非零,则有:22()(1)1D1(
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