基于演算子理论的非线性系统的鲁棒跟踪控制.pdf
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1、 第4 4卷 第4期2 0 2 3年8月 青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 4 N o.4A u g.2 0 2 3 文章编号:1 6 7 2-6 9 8 7(2 0 2 3)0 4-0 0 9 6-0 8;D O I:1 0.1 6 3 5 1/j.1 6 7 2-6 9 8 7.2 0 2 3
2、.0 4.0 1 3基于演算子理论的非线性系统的鲁棒跟踪控制步 妮,王晓光(青岛科技大学 自动化与电子工程学院,山东 青岛 2 6 6 0 6 1)摘 要:实际系统中的不确定性严重影响了系统的稳定性和良好的跟踪性能,因此,研究不确定非线性系统的鲁棒跟踪控制具有重要意义。本工作提出了一种基于演算子理论的设计方案很好的解决了这个问题。具体为:首先,基于演算子理论,综合设计了鲁棒右互质分解控制器,观测器和跟踪补偿控制器;其次,依据L i p s c h i t z 范数和 u n i m o d u l a r 算子的定义,讨论并证明了提高系统跟踪性能的充分条件;再次,基于充分条件,验证了所设计方案
3、的跟踪性;最后,通过二级倒立摆仿真,验证了所提出方案的有效性。关键词:演算子理论;鲁棒右互质分解;非线性系统;鲁棒性;跟踪补偿器中图分类号:T P 1 3 文献标志码:A引用格式:步妮,王晓光.基于演算子理论的非线性系统的鲁棒跟踪控制J.青岛科技大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 4(4):9 6-1 0 3.B U N i,WANG X i a o g u a n g.R o b u s t t r a c k i n g c o n t r o l o f n o n l i n e a r s y s t e m b a s e d o n o p e r a t o r t h
4、 e o r yJ.J o u r n a l o f Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e E d i-t i o n),2 0 2 3,4 4(4):9 6-1 0 3.收稿日期:2 0 2 2-0 7-0 4基金项目:国家自然科学基金项目(6 1 3 0 4 0 9 3);山东省自然科学基金项目(Z R 2 0 2 1MF 0 4 7).作者简介:步 妮(1 9 8 1),女,副教授.R o b u s t T r
5、a c k i n g C o n t r o l o f N o n l i n e a r S y s t e m B a s e d o n O p e r a t o r T h e o r yB U N i,WA N G X i a o g u a n g(C o l l e g e o f A u t o m a t i o n a n d E l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g,Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,Q
6、i n g d a o 2 6 6 0 6 1,C h i n a)A b s t r a c t:T h e u n c e r t a i n t y i n t h e r e a l s y s t e m s e r i o u s l y a f f e c t s t h e s t a b i l i t y a n d g o o d t r a c k i n g p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m.T h e r e f o r e,i t i s o f g r e a t s i g n i f i c a n c
7、e t o s t u d y t h e r o b u s t t r a c k i n g c o n t r o l o f u n c e r t a i n n o n l i n e a r s y s t e m s.I n t h i s p a p e r,a d e s i g n s c h e m e b a s e d o n o p e r a t o r t h e-o r y i s p r o p o s e d t o d e a l w e l l w i t h t h e e f f e c t s o f u n c e r t a i n t
8、y i n r e a l s y s t e m s.I n d e t a i l s,f i r s t-l y,t h e r o b u s t r i g h t c o p r i m e f a c t o r i z a t i o n c o n t r o l l e r,o b s e r v e r a n d t r a c k i n g c o m p e n s a t i o n c o n t r o l l e r a r e d e s i g n e d b a s e d o n t h e o p e r a t o r t h e o r y.
9、S e c o n d l y,b a s e d o n t h e d e f i n i t i o n o f L i p s c h i t z n o r m a n d u n i m o d u l a r o p e r a t o r,t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s o f i m p r o v i n g t h e t r a c k i n g p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m a r e d i s c u s s e d a n d p r o v
10、e d.T h i r d l y,b a s e d o n t h e o b t a i n e d s u f f i-c i e n t c o n d i t i o n s,t h e t r a c k i n g p e r f o r m a n c e o f t h e d e s i g n e d s c h e m e i s i m p r o v e d.F i n a l l y,t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e p r o p o s e d s c h e m e i s v e r i f i e d
11、b y t h e s i m u l a t i o n o f t h e d o u b l e i n v e r t e d p e n-d u l u m.K e y w o r d s:o p e r a t o r t h e o r y;r o b u s t r i g h t c o p r i m e f a c t o r i z a t i o n;n o n l i n e a r s y s t e m;r o b u s t-n e s s;t r a c k i n g c o m p e n s a t o r 第4期 步 妮等:基于演算子理论的非线性系统
12、的鲁棒跟踪控制 非线性系统的控制一直是各领域研究人员关注的问题,进行鲁棒控制来实现系统的稳定性具有重要的现实意义。非线性系统控制的研究已经探索了各种各样的方法,特别是对不确定性非线性系统的鲁棒控制1-2。倒立摆系统作为一种高阶次、强耦合、多输入多输出的典型非线性系统,其固有的非线性特性,有助于解释非线性控制中的一些思想3-6。在过去的几十年里,许多控制算法被用于实现倒立摆的稳摆控制7。李洪兴等8利用变论域自适应模糊控制方法对四级倒立摆进行了稳定控制。文献9 采用自适应方法,实现移动轮式倒立摆的跟踪控制。文献1 0 通过粒子群算法对L Q R控制器参数整定来控制倒立摆系统。上述研究表明倒立摆系统
13、具有非线性、固有不稳定等复杂特性,也就容易受到测量噪声和系统状态不完全可测等不确定性因素的影响,从而导致系统的控制难度很大。不同于以上方法,O R R C F方法是一种比较新颖的方法,既不受维度的限制,又可以应用在线性和非线性系统中,而且对非线性系统的控制具有很强的鲁棒性。文献1 1 针对不确定非线性反馈系统,提出了基于O R R C F方法的两种鲁棒容错跟踪控制方案。一种方案是基于内部模型设计了容错控制器和跟踪控制器,另一种方案是将鲁棒容错控制器和跟踪控制器相结合。这两种设计方案都可以消除故障信号对系统的影响,使得整个非线性反馈系统具有较强的鲁棒性和良好的跟踪性能。文献1 2 针对一类非线性
14、系统的鲁棒控制问题,基于O R R C F方法设计了一对简易控制器,保证了非线性系统的鲁棒稳定性。文献1 3 在L i p s c h i t z范数的定义下通过O R R C F方法,分别得到了非线性反馈系统和不确定非线性反馈系统鲁棒控制问题的两个充分条件。文献1 4 对于具有未知但有界扰动的非线性系统,利用L i p s c h i t z范数分析了鲁棒条件,并将O R-R C F方法推广到多输入多输出非线性系统中。文献1 5 研究了基于O R R C F方法对不确定软执行器的鲁棒无源跟踪控制问题,通过设计鲁棒控制器以确保不确定非线性反馈系统的鲁棒性和无源性。以上研究表明O R R C F
15、方法对扰动具有很强抑制性,具体表现为以下3个优点:1)由于O R R C F方法只使用输入输出模型,避免了对真实系统状态的测量;2)扩展的B a n a c h空间更适合系统控制理论和工程;3)非线性系统的鲁棒稳定性可以通过一个B e z o u t恒等式和一个范数不等式来保证,其中基于零集的充分条件通过一个不等式的形式来扩展和发展。目前,O R R C F方法已经成功应用在了M i c r o-h a n d系统的鲁棒跟踪控制1 5、具有压电元件的飞机垂直尾翼的振动控制1 6、线性脉冲电机驱动L型臂的非线性振动控制1 7和网络化铝 板热加工过程1 8等研究领域。因此,既往研究成果表明该方法可
16、以有效解决此类复杂非线性系统的控制问题。本文通过继承上述研究成果,首先,基于O R R C F方法对倒立摆非线性系统进行了分析,设计了鲁棒控制器,观测器和跟踪补偿器,保证了系统的鲁棒稳定;其次,为了实现系统的精确跟踪,依据L i p s c h i t z范数和U n i m o d u l a r算子的定义推导得到了系统跟踪性能的充分条件。基于以上讨论,本工作针对不确定性非线性系统的鲁棒跟踪控制问题,将O R R C F方法与观测器、跟踪补偿器相结合,提出了一种新颖的鲁棒跟踪控制方案。通过典型非线性系统倒立摆的实例仿真,表明所设计的控制方案不仅能确保系统的跟踪误差在零点的小邻域内收敛,而且满
17、足了摆杆在不稳定平衡点上保持稳定的性能要求,在提高系统鲁棒性的同时,实现了系统的精确跟踪。1 演算子理论和鲁棒右互质分解演算子是定义在扩展B a n a c h空间上更一般的L i p s c h i t z算子,其理论能够很方便的处理演算子的逆和稳定性等问题1 9。鲁棒右互质分解方法在处理反馈控制系统有界输入有界输出的稳定性问题上非常方便。关于演算子理论和鲁棒右互质分解给出了如下描述。定义12 0 假设URnn,如果满足1)U0U0,其中U=0U=0;2)U=U,(Rn);3)U1+U2U1+U2,(U1,U2Rnn);4)U1U2 U1U2,(U1,U2Rnn),则U为n阶 矩 阵v的范数
18、。对于任意n阶方阵和任意n维向量,如果矩阵范数Um和向量范数v满足不等式:UvUmv。(1)也就 是 说 矩 阵 范 数m和 向 量 范 数v是相容的。假设向量范数v在Rn上且URnn,有U=m a xx0Uvv,(U=m a xv=1Uv)。(2)79青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷即向量范数v相容于矩阵范数,而这个范数Uv称为从属向量范数v的算子范数。定义22 1 对于两个B a n a c h空间Ue和Ye,分别为UB和YB扩展线性空间,他们被定义为可以在时域中测量的函数。假设De为Ue中的子集,存在一个非线性演算子N:DeYe在De上。然后可以进一步证明,如果存在
19、一个常数,N()-N()YB-UB。(3)其中,所有的,De,0,),常数由下式可得NLi p=s u p0,)s u p,DeN()-N()YB-UB。(4)引理12 2 给出定义2中扩展的线性子空间De,假设存在A(E+E)-A E M-1L i p(De)。标称控制对象和实际控制对象的B e z o u t等式分别为A E+B F=M(W,U)和A(E+E)+B F=M。如果满足以下条件A(E+E)-A E M-11。(5)则图1所示的系统是稳定的。图1 非线性扰动反馈系统F i g.1 N o n-l i n e a r d i s t u r b a n c e f e e d b
20、a c k s y s t e m其中,具有未知扰动的控制对象为Q+Q=(E+E)F-1,该控制对象有右互质分解且满足式(5)的条件。E,E和F均为稳定算子,F是可逆的,E是未知但有界的,从而保证了具有扰动的非线性反馈控制系统的稳定性,有A(E+E)+B F=M,(6)其中,M(W,U)是单模算子,A和B满足B e z o u t等式A E+B F=M(W,U)。引理22 3 假设Ue是B a n a c h空间且De为Ue上的线性子空间。如果J,KL i pDe 均是可逆的且J K-1 1,其 中K 。那 么 算 子(J+K)L i pDe 是可逆的,有J+K -1K-1 1-J K-1 -
21、1。2 不确定非线性系统的鲁棒跟踪控制2.1 鲁棒跟踪控制方案2.1.1 系统分析基于O R R C F方法和观测器的思想,设计了图2所示的双闭环反馈鲁棒跟踪控制方案,以期望实现不确定非线性系统的鲁棒稳定性和良好的跟踪性能。其中,E是系统未建模扰动等内部不确定性(本文所考虑的均为有界的不确定性)。针对实际系统在控制过程中各物理量动态变化这一特性,设计了观测器R和S,分别测量实际系统的扰动和响应。然后,针对整个非线性系统设计了鲁棒稳定控制器A和B,对系统进行前馈和反馈控制。图2 鲁棒跟踪控制方案F i g.2 R o b u s t t r a c k i n g c o n t r o l s
22、 c h e m e 此外,为了消除控制过程中各物理量动态变化时不确定因素的影响,确保系统输出值在参考输入设定值处收敛,设计了跟踪补偿器L,对整个非线性系统进行实时补偿。在鲁棒跟踪控制方案中,假设整个控制对象Q=Q+Q,其中,Q为标称控制对象,Q为不确定性。标称控制对象和实际控制对象分别表示为Q=E F-1,Q=Q+Q=(E+E)F-1。(7)由图2可得,e(t)=L(r)(t)-A(y)(t)=B(u)(t),(8)e(t)=R(u)(t)=u(t)-b(t)=u(t)-S(E+E)F-1(u)(t)+S E F-1(u)(t),(9)u(t)=F(E+E)-1(y)(t)。(1 0)因此有
23、,u(t)+S E F-1F(E+E)-1(y)(t)-S(E+E)-1F-1F(E+E)-1(y)(t)=R F(E+E)-1(y)(t)。(1 1)等效为u(t)=(R F-S E)(E+E)-1(y)(t)+S(y)(t),(1 2)89 第4期 步 妮等:基于演算子理论的非线性系统的鲁棒跟踪控制从而,根据等式(8)和(1 2),系统可描述为B u(t)=B(R F-S E)(E+E)-1(y)(t)+B S(y)(t)=L(r)(t)-A(y)(t)。(1 3)2.1.2 观测器和跟踪补偿器的设计在这一部分,将重点讨论如何通过设计观测器和跟踪补偿器来保证非线性系统鲁棒稳定性和跟踪性能。
24、通过对系统内环反馈Q*中实际控制对象Q和标称控制对象Q的研究分析,设计观测器R和S,来监测系统输入输出的扰动和响应,满足抑制不确定性对系统影响的要求,保证实际系统的稳定性。假设图2所示的系统是适定的,则有R F-S E=I,(1 4)其中I是单模算子。为满足上述稳定条件,设计观测器为R=F-1+E,S=F。(1 5)应用所设计的观测器,(1 3)式可优化推导为L(r)(t)=A+B S+B(E+E)-1(y)(t)。(1 6)进一步,为实现系统精确根子,对系统进行实时补偿,设计了如下跟踪补偿器LL=A+B S+B E-1。(1 7)根据系统的双闭环反馈控制,在参考输入处进行补偿,显然等式可描述
25、为L(r)(t)=(A+B S+B E-1)(r)(t)。(1 8)然后,依据式(1 6)和(1 8)参考输入和系统输出之间的关系可以写作(A+B S+B E-1)(r)(t)=A+B S+B(E+E)-1(y)(t)。(1 9)2.2 系统跟踪的充分条件为实现系统输出能够在参考输入的期望值处收敛,满足预设方案的控制性能要求,使系统具有良好的跟踪性能2 4。本工作所需的充分条件可总结为如下定理。定理1 假设Ue是B a n a c h空间,De是Ue的线性子空间。如果,L i pDe 且-11,在L i pDe 上都是可逆的,其中L i p。因为算子-在L i pDe 上是可逆的,有(-)-1
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