关于两类超复数矩阵的若干性质.pdf
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1、第 44 卷第 3 期2023 年 6 月喀什大学学报Journal of Kashi UniversityVol.44 No.3Jun.2023DOI:10.13933/ki.2096-2134.2023.03.001关于两类超复数矩阵的若干性质邓勇(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844000)摘要:借助 22复矩阵表示,探讨复四元数和复分裂四元数这两类超复数矩阵的基本性质,给出了一种求复四元数矩阵和复分裂四元数矩阵行列式的方法,并研究了复四元数和复分裂四元数的一些特殊矩阵.关键词:复四元数矩阵;复分裂四元数矩阵;复矩阵表示中图分类号:O151.21文献标志码:A文章编号:2096-
2、2134(2023)03-0001-050引言实四元数集是复数域C的扩展系统.1843年,爱尔兰数学家 Hamilton 提出了实四元数的概念,并将它表示为H=a=m=03amem|am R,m=0,1,2,3,其中:e0,e1,e2,e3表示R4的基元,并且满足e21=e22=e23=e1e2e3=-1,e1e2=-e2e1=e3,e2e3=-e3e2=e1,e3e1=-e1e3=e2.因e2e3=e1 e3e2=-e1,故实四元数乘法非交换.此外,任何实四元数均可用2 2复矩阵表示1.复 四 元 数q也 称 双 四 元 数,它 可 写 成q=m=03amem(a0,a1,a2,a3 C)的
3、 形 式,其 中 基 元e0,e1,e2,e3的乘法规则与实四元数基元的乘法规则相同.文献2给出了用于表示对应复四元数基元的2 2复矩阵表示.1849 年,James Cockle 引入了实分裂四元数集,并将它表示为HS=p=m=03bmem|bm R,m=0,1,2,3的 形 式,其 中:e0=1,e21=-1,e22=e23=1,e1e2e3=1.实分裂四元数乘法也非交换3.此外,任何实分裂四元数均可用2 2复矩阵表示,其基元的乘法规则与实四元数乘法规则相同4.复分裂四元数是指形如p=m=03bmem(b0,b1,b2,b3 C)的向量,其基元e0,e1,e2,e3具有性质:e21=-1,
4、e22=e23=e1e2e3=1,e1e2=-e2e1=e3,e2e3=-e3e2=-e1,e3e1=-e1e3=e2.有关复分裂四元数的更多细节可见文献5.1预备知识设a=m=03amem H(am R,m=0,1,2,3)是实四元数,称Sa=a0e0和Va=m=03amem分别为实四元数a的标量部分和向量部分.于是,a可写成a=Sa+Va的形式.对a=m=03amem H,定义a的共轭为a =Sa-Va,a的范数为a=a a=aa =a20+a21+a22+a236.复四元数q是指形如q=m=03Amem(Am C,m=0,1,2,3)的向量,其基元 e0,e1,e2,e3的乘法规则与实四
5、元数基元的乘法规则相同.此外,复四元数还可写成q=m=03(am+ibm)em的 形 式,其 中:am,bm R(m=0,1,2,3);i表示虚数单位且与e0,e1,e2,e3可交换.对q=m=03Amem(Am C,m=0,1,2,3),称Sq=A0e0和Vq=m=03Amem分别为复四元数q的标量部分和向量部分.于是,q可写成q=Sq+Vq的形式,而q的共轭、复共轭和 Hermitian 共轭分别定义收稿日期:2022-12-10基金项目:国家自然科学基金资助项目(11201411).作者简介:邓勇(1967-),男,教授,主要从事非交换代数上的矩阵理论研究.喀什大学学报第 44 卷为7:
6、q =Sq-Vq(q=q q=qq =m=03|A2m|),qc=m=03Amem,(q)c=A0e0-A1e1-A2e2-A3e3.对q=m=03(am+ibm)em,其 中am,bm R(m=0,1,2,3),下列等式qcq=a2+b2+2i(Va Vb),qqc=a2+b2-2i(Va Vb),(q)cq=a2+b2+2i(SaVb-SbVa-Va Vb),q(q)c=a2+b2+2i(SaVb-SbVa+Va Vb)成立,其中:a=m=03amem(am R),b=m=03bmem(bm R)是实四元数,符号表示R3中的向量积.72复四元数矩阵复四元数矩阵Q是指形如Q=m=03QmEm
7、=Q0E0+Q1E1+Q2E2+Q3E3的矩阵,其中Q0,Q1,Q2,Q3 C.复四元数矩阵中的基元 E0,E1,E2,E3是满足乘法规则E21=E22=E23=-E0(2.1)和E1E2=-E2E1=E3,E2E3=-E3E2=E1,E3E1=-E1E3=E2(2.2)的2 2复矩阵8:E0=1001,E1=i00-i,E2=0 1-1 0,E3=0ii0.由(2.1)和(2.2)可 以 看 出,2 2复 矩 阵E0,E1,E2,E3的乘法规则与基元 E0,E1,E2,E3的乘法规则一致.因此,复四元数的向量形式和矩阵形式之间存在同构关系.用HC表示复四元数矩阵代数.于是,它可以用2 2复矩
8、阵代数表示为HC=Q=m=03QmEm=Q0+iQ1Q2+iQ3-Q2+iQ3Q0-iQ1|QmC,m=0,1,2,3.对Q=m=03QmEm HC,称SQ=Q0E0和ImQ=m=13QmEm分别是Q的标量矩阵部分和向量矩阵部分.复四元数矩阵Q的共轭、复共轭和全共轭分别用Q,QC和(Q)C表示,即Q=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3=SQ-ImQ,(2.3)QC=m=03QmEm=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3,(2.4)(Q)C=-(QC)=Q0E0-m=13QmEm=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.此外,对Q=m=03QmEm HC,分别用QT和AdjQ表示Q的转置矩
9、阵和伴随矩阵,则QT=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3,AdjQ=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3.由此可得AdjQ=Q,QC=(Q)T.复四元数矩阵Q=m=03QmEm=Q0+iQ1Q2+iQ3-Q2+iQ3Q0-iQ1=q11q12-q 12q 11的范数定义为Q=|q11|2+|q12|2,其中:q11=Q0+iQ1,q12=Q2+iQ3.定义2.1复四元数矩阵Q HC的行列式定义为detQ=m=03Q2mdetEm.(2.5)若利用复四元数矩阵基的行列式结果detEm=1(m=0,1,2,3),则(2.5)式可以写为detQ=Q20+Q21+Q22+Q23=m=03Q2m.
10、(2.6)定理2.1对Q,P HC和 C,下列性质成立:(1)detQ=det(Q)=det(QC)=det(QT);(2)det(Q)=2detQ;(3)det(QP)=detQdetP.证明(1)设Q=m=03QmEm HC.利用复四元数矩阵行列式的定义(2.6)式,很容易得出detQ=det(Q)=det(QC)=det(QT)=m=03Q2m.(2)对 C,因为Q=m=03(Qm)Em,所以det(Q)=m=03(2Q2m)=2(m=03Q2m)=2detQ2第 3 期邓勇:关于两类超复数矩阵的若干性质.(3)设Q=m=03QmEm和P=m=03PmEm是两个复四元数矩阵,通过直接计算
11、可得QP=(Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3)E0+(Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2)E1+(Q0P2+Q2P0-Q1P3+Q3P1)E2+(Q0P3+Q3P0+Q1P2-Q2P1)E3,于是,由(2.6)式可得det(QP)=(Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3)2+(Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2)2+(Q0P2+Q2P0-Q1P3+Q3P1)2+(Q0P3+Q3P0+Q1P2-Q2P1)2=(m=03Q2m)(m=03P2m).由(1)可知,detQ=m=03Q2m,detP=m=03P2m.因此,det(QP)=detQdetP.此外,利用复四元数矩阵的复共轭
12、和转置,可以获得复四元数矩阵的行列式.事实上,因为QTQC=QCQT=(Q20+Q21+Q22+Q23)E0,于是,由(2.6)式可得det(QTQC)=det(QCQT)=(Q20+Q21+Q22+Q23)2.再由定理2.1的(3)和(1),可得det(QTQC)=detQTdetQC=(detQ)2,所以有(detQ)2=det(QTQC)=det(QCQT).若detQ 0,则复四元数矩阵的逆矩阵定义为Q-1=1detQQ.(2.7)由(2.3)、(2.6)和(2.7)式,可将复四元数矩阵的逆矩阵写为Q-1=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23.(2.8)
13、例1设Q=E0+iE1+kE3 HC,即Q=0jj2.于是,Q-1=E0-iE1-kE3=2-j-j0.定理 2.2对Q=m=03QmEm HC和c C,下列性质成立:(1)E1c=cE1,E2c=cE2,E3c=cE3;(2)Q2=S2Q-det(ImQ)E0+2SQImQ;(3)Q可表为Q=Z1+Z2i的形式,其中Z1=Q0Q2-Q2Q0和Z2=Q1Q3Q3-Q1 M2(C).证明很容易验证(1)和(3)成立.这里只证明(2).由于Q2=QQ=(Q20-Q21-Q22-Q23)E0+2Q0(Q1E1+Q2E2+Q3E3),而SQ=Q0E0,ImQ=Q1E1+Q2E2+Q3E3,det(Im
14、Q)=Q21+Q22+Q23,所以Q2=S2Q-det(ImQ)E0+2SQImQ.定理2.3对Q,P HC,下列性质成立:(1)Q=(Q)TC;(2)QT=-(QC);(3)(QP)C=QCPC;(4)若Q,P均可逆,则(QP)-1=P-1Q-1;(5)若Q可 逆,则(QC)-1=(Q-1)C,(Q)-1=-(Q-1),(QT)-1=(Q-1)T.证明这里,只证明(2)、(4)和(5),其它结果类似可证.设Q=m=03QmEm HC,P=m=03PmEm.(2)因为QC=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3,由(2.3)可得-(QC)=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.又QT=Q0E
15、0+Q1E1-Q2E2+Q3E3.所以,QT=-(QC).(4)设Q和P均可逆.为简单起见,令QP=AE0+BE1+CE2+DE3,其中A=Q0P0-Q1P1-Q2P2-Q3P3,B=Q0P1+Q1P0+Q2P3-Q3P2,C=Q0P2-Q1P3+Q2P0+Q3P1,D=Q0P3+Q1P2-Q2P1+Q3P0.由(2.6)式,det(QP)=A2+B2+C2+D2,其中A2+B2+C2+D2=m=03Q2mm=03P2m.再由(2.8)式可求出(QP)-1=-(QP)det(QP)=AE0-BE1-CE2-DE3A2+B2+C2+D2.另一方面,由(2.8)式,P和Q的逆矩阵可分别可写为P-1
16、=P0E0-P1E1-P2E2-P3E3P20+P21+P22+P23和3喀什大学学报第 44 卷Q-1=Q0E0-Q1E1-Q2E2-Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23,则它们的乘积为P-1Q-1=AE0-BE1-CE2-DE3A2+B2+C2+D2,由此可得(QP)-1=P-1Q-1.(5)设Q可逆.因为QC=Q0E0-Q1E1+Q2E2-Q3E3,所以由(2.8)式可得(QC)-1=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23;再由(2.8)和(2.4)式可得(Q-1)C=Q0E0+Q1E1-Q2E2+Q3E3Q20+Q21+Q22+Q23.由此可得(QC)-
17、1=(Q-1)C.同样,(Q)-1=-(Q-1)和(QT)-1=(Q-1)T可类似验证,这里从略.推论设Q,P HC.一般地,(QP)C PCQC;(QP)-1 Q-1P-1;Q(Q)C(Q)CQ.定义2.2设Q=Q0E0+Q1E1+Q2E2+Q3E3HC.(1)若Q的非对角元全为0,则称它为对角矩阵且具有Q=Q0E0+Q1E1的形式;(2)若QT=Q,则称它为对称矩阵且具有Q=Q0E0+Q1E1+Q3E3的形式;(3)若QT=Q-1,则称它为正交矩阵且具有Q=Q0E0+Q2E2(detQ=1)的形式;(4)若(Q)T=Q,则称它为厄米特矩阵且有Q=Q0E0+Q2E2的形式;(5)若(Q)T=
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