基于刘徽“割圆术”的向心加速度推导.pdf
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1、2023年第8 期物理教学探讨Vol.41 No.8基于刘徽“割圆术”的向心加速度推导李都,姜付锦,李弼黄陂一中,武汉4 30 30 0摘要:圆周运动向心加速度表达式的推导是高中物理教学中的重点和难点。从台球运动中受到启发,基于刘徽“割圆术”来推导向心加速度表达式。引导学生通过逐渐增加圆内接正多边形边数的折线运动逐渐逼近圆周运动,依此来推导向心加速度,开阔学生视野,培养学生核心素养。关键词:向心加速度;刘徽“割圆术”;核心素养中图分类号:G633.7向心加速度是高中物理中一个非常重要的概念,是后面很多知识的基础。行星绕中心天体的运动规律的研究,科学仪器如质谱仪、回旋加速器和离心机的构造,都需要
2、理解圆周运动的向心加速度。为什么做匀速圆周运动的物体速度大小不变而方向改变时会存在加速度?为什么加速度方向指向圆心?加速度大小与轨道半径和速度之间的关系如何?回答这些问题,需要深刻理解向心加速度表达式的推导过程。教材中向心加速度的推导,用了速度矢量运算法则、小角度的三角函数、极限思想等,但缺少必要的从直线运动到曲线运动的过渡 1-2 。这种推导对学生而言,理论性较强,数学知识要求较高,学生普遍感到很难理解,导致学生在学习“向心加速度”时有畏难情绪,甚至对这种推导的正确性产生怀疑 3。大多数学生最后只是被动地记住了推导的结论,没有真正达到培养学生核心素养的目标。本文基于刘徽“割圆术”来研究圆周运
3、动 4 。其基本思想是通过等分圆周,构造圆内接正多边形的折线运动,在逐渐增加圆内接正多边形边数的基础上,用圆内接正多边形的折线运动逐渐逼近圆周运动,以此来求解圆周运动的规律。文献标识码:A文章编号:1 0 0 3-6 1 4 8(2 0 2 3)8-0 0 6 2-3相邻边的中点,台球在台球桌上的运动轨迹如图2所示。台球在没有与台球桌发生碰撞时,不考虑阻力,由于惯性,它只能做匀速直线运动。通过这个有趣的实验,学生可以体验到正是由于台球与台球桌的碰撞导致台球偏离原来的直线运动。每隔一段时间会有一系列同样强烈的撞击,台球会沿着环形折线运动。台球与台球桌之间发生碰撞的力为弹力,而弹力的方向与台球桌的
4、边沿垂直,即指向环形折线外接圆的圆心。如果条件允许还可以用正六边形或者圆形台球桌做这个实验。图1 正方形台球桌0V1学生动手实验,体验圆周运动中的力图1 为正方形台球桌的实物照片。让一组学生将台球从正方形台球桌任意一边的中点击向个图2 正方形台球桌上台球运动轨迹示意图收稿日期:2 0 2 3-0 4-0 5基金项目:2 0 2 1 年度武汉市教育科学规划重点课题“基于新课程标准的高中情境化命题实践研究”(2 0 2 1 A051)。作者简介:李都(1 9 8 6-),男,中学一级教师,主要研究中学物理教学及强基计划。-62-Vol.41No.82理想实验,推导向心加速度表达式2.1理想正六边形
5、台球桌,构造台球轨迹正六边形台球桌如图3所示。使台球从正六边形台球桌的某一边的中点沿与台球桌成30 的方向以速度射出(图4),在理想情况下不计所有摩擦阻力,不计台球与台球桌碰撞过程中的能量损失。根据牛顿第一定律,在没有外部影响的情况下,在两次碰撞之间台球将保持匀速直线运动状态。图3正六边形台球桌0.物理教学探讨图5一个标准碰撞过程示意图图5中,在一个标准碰撞中,台球平行于台球桌边缘的速度不变,垂直于台球桌边缘的速度方向发生变化,可得速度变化量为A=2u1=2vsin30完成一次标准碰撞所用时间为At=2rsin300由(1)(2)(3)式得2.3基于刘徽割圆术的向心加速度推导接下来,可以引导学
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