基于Mathematica的杨氏双缝干涉的仿真实验研究.pdf
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1、物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3基于M a t h e m a t i c a的杨氏双缝干涉的仿真实验研究王 程1 邓王红1 孙 飞1,2(三峡大学1理学院;2湖北省物理实验教学示范中心,湖北 宜昌 4 4 3 0 0 2)摘 要 以杨氏双缝干涉理论作为基础,利用M a t h e m a t i c a强大的交互式操作和色彩显示功能,通过编程对杨氏双缝干涉现象进行仿真,可以灵活地调节参数,动态地反映干涉条纹随参数的改变而发生变化的过程。本文模拟了改变缝宽、缝和接收屏之间的距离和波长参数及外加因素等,观察到双缝干涉条纹的相应变化,最后成功实现了非单色光双缝干涉图样。利
2、用M a t h e m a t i c a软件仿真典型的光学实验,仿真图像能形象直观地展示光学现象可应用于辅助教学。关键词 M a t h e m a t i c a;杨氏双缝干涉;模拟仿真;交互式操作S T U D Y O F S I MU L A T I O N E X P E R I ME N T O F Y O U N G S D O U B L E-S L I T I N T E R F E R E N C E B A S E D O N MA T H EMA T I C AWA N G C h e n g1 D E N G W a n g h o n g1 S U N F e i
3、1,2(1 C o l l e g e o f S c i e n c e,C h i n a T h r e e G o r g e s U n i v e r s i t y;2 P h y s i c s E x p e r i m e n t a l T e a c h i n g D e m o n s t r a t i o n C e n t e r o f H u b e i P r o v i n c e,C h i n a T h r e e G o r g e s U n i v e r s i t y,Y i c h a n g,H u b e i 4 4 3 0 0
4、2)A b s t r a c t B a s e d o n Y o u n g s d o u b l e s l i t i n t e r f e r e n c e t h e o r y,u s i n g M a t h e m a t i c a s p o w e r f u l i n-t e r a c t i v e o p e r a t i o n a n d c o l o r d i s p l a y f u n c t i o n,t h e Y o u n g s d o u b l e s l i t i n t e r f e r e n c e p
5、h e n o m e-n o n i s s i m u l a t e d b y p r o g r a mm i n g,w h i c h c a n f l e x i b l y a d j u s t t h e p a r a m e t e r s a n d d y n a m i c a l l y r e f l e c t t h e p r o c e s s o f i n t e r f e r e n c e f r i n g e s c h a n g i n g w i t h t h e c h a n g e o f p a r a m e t e
6、 r s.I n t h i s p a-p e r,t h e c h a n g e o f p a r a m e t e r s i n c l u d i n g s l i t w i d t h,f o c a l l e n g t h,w a v e l e n g t h a n d e x t e r n a l f a c-t o r s a r e s i m u l a t e d,a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c h a n g e s i n d o u b l e s l i t i n t e r f e r e
7、 n c e f r i n g e s a r e o b-s e r v e d.F i n a l l y,a n o n-m o n o c h r o m a t i c l i g h t d o u b l e s l i t i n t e r f e r e n c e p a t t e r n i s s u c c e s s f u l l y r e-a l i z e d.U s i n g M a t h e m a t i c a s o f t w a r e t o s i m u l a t e t y p i c a l o p t i c a l e
8、 x p e r i m e n t s,t h e s i m u l a t e d i m-a g e s c a n v i s u a l l y d i s p l a y o p t i c a l p h e n o m e n a a n d c a n b e a p p l i e d t o a u x i l i a r y t e a c h i n g.K e y w o r d s M a t h e m a t i c a;Y o u n g s d o u b l e s l i t i n t e r f e r e n c e;s i m u l a t
9、 i o n;i n t e r a c t i v e o p e r a t i o n收稿日期:2 0 2 2-0 8-1 0基金项目:国家自然科学基金(1 1 8 7 5 1 7 8);三峡大学研究基金项目(J 2 0 1 8 0 3 3)。作者简介:孙飞,男,讲师,主要从事物理教学和科研工作,研究方向为量子场论,粒子物理与中高能核物理,s u n f e i c t g u.e d u.c n。引文格式:王程,邓王红,孙飞.基于M a t h e m a t i c a的杨氏双缝干涉的仿真实验研究J.物理与工程,2 0 2 3,3 3(3):6 4-6 9.C i t e t h i
10、 s a r t i c l e:WAN G C,D E NG W H,S UN F.S t u d y o f s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t o f Y o u n g s d o u b l e-s l i t i n t e r f e r e n c e b a s e d o n M a t h e m a t i-c aJ.P h y s i c s a n d E n g i n e e r i n g,2 0 2 3,3 3(3):6 4-6 9.(i n C h i n e s e)1 8 0 1年,托马斯杨巧妙地设计了一种把
11、单个波阵面分解为两个波阵面以锁定两个波源之间的相位差的方法来研究光的干涉现象,并利用叠加原理解释了干涉现象,在历史上第一次测定了光的波长,为光的波动学说的确立奠定了基础。杨氏双缝干涉实验是大学物理光学实验中的重要实验之一,但该实验需要特定的仪器和场所,且实验参数的改变引起干涉条纹的变化不明显,难以充分展示实验的全部特征,给教学和科学研究带来了许多不便1。本文根据杨氏双缝干涉的理论基础,应用M a t h e m a t i c a软件编程,对杨氏双缝干涉进行仿真,从而可以帮助相关人员形象直观地感受光的干涉现象。46物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 31 杨氏双缝干涉实验原
12、理杨氏双缝干涉实验原理如图1所示,其中小孔S发出球面波,可视为点光源,狭缝S1,S2到S的距离相等。根据惠更斯原理,S发出球面波传播到狭缝S1,S2所处位置,S1,S2可看成发射子波的新波源,其产生的波在空间相遇,因满足频率相同、振动方向相同、相位差恒定的相干条件,则在叠加处会产生干涉现象,此时在观察屏可以看到明暗相间的条纹分布,这种获得相干光的方法称为分波阵面法2。图1 杨氏双缝干涉实验原理图图1中各物理量含义如下:r1,r2代表两束光的光程;D代表观察屏与双缝间垂直距离;d代表双缝间距;x代表观察屏P点坐标,从S1,S2所发出的光到达P点的光程差=r2-r1,假设狭缝S1,S2所发出的光波
13、单独到达P点处的光强分别为I1,I2,则P点处的光强为I=I1+I2+2I1I2c o s(1)=k(r2-r1)=k=2(2)其中,为相位差,是光程差,假设I1=I2=I0,由于该参数并不影响干涉条纹的分布特征,因此为简单起见,在本次模拟仿真实验中4I0=1,P点处的光强可简化为I=4I0c o s22=4I0c o s2(3)当=2m,即=m(m=0,1,)时,P点的光强:I=4I0,此时为 明 条 纹。当=(2m+1)时,即=m+12 (m=0,1,)时,P点的光强:I=0,此时为暗条纹。2 杨氏双缝干涉实验精确计算与近似计算的对比3-5 由图1可知,通过几何关系推导r2-r1的取值r1
14、=D2+x-d2 2,r2=D2+x+d2 2(4)=r2-r1=r22-r21r1+r2=2x dD2+x+d2 2+D2+x-d2 2(5)该式为两束光在P点光程差的准确表达式,此时P点光强为I=4I0c o s22 x d D2+x+d2 2+D2+x-d2 2 (6)当Dd时,ds i n;很小时,s i nt a n=xD;近似条件下,可得=r2-r1ds i nx dD(7)P点光强为I=4I0c o s2x dD (8)此时,相邻的两明(暗)条纹的距离为x=xm+1-xm=(m+1)Dd-m Dd=Dd(9)式(6)为 计 算 杨 氏 双 缝 干 射 图 样 的 精 确 公 式,
15、式(8)为计算杨氏双缝干射图样的近似公式。文献6 给出杨氏双缝干涉仿真实验的准确计算公式和近似计算公式图样的对比,证明了准确计算方法和近似计算法在屏与双缝间距远大于缝宽,同时计算的图样在中心的小距离范围内(距离中心的距离也是远小于屏与双缝间距)差异很小,通常情况下可以用近似法代替准确法,也可以用近似公式计算方法解释各参量对干涉图样的影响。本次实验也将两个公式分别作为基本原理进行仿真实验,在双缝间距d=1 mm和入射波长=6 3 2.8 n m,缝到屏之间的距离D=1 m一样的条件下,近似公式和准确公式仿真结果如图2所示。可以仔细观察图2(a)和图2(b),在近似公式模拟图和准确公式模拟图两者的
16、条纹数量不一致即明暗条纹级数不一致,条纹级次较小时,杨氏双56物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3图2 近似公式模拟图(a)和准确公式模拟图(b)缝干涉准确公式坐标条纹分布和条纹间距与近似算法结果一致;但在条纹级次较大时,条纹间距不能再认为是相等,且随着级次的增大,准确计算与近似计算误差以级次的平方速率增长5,导致准确公式模拟图与近似公式模拟图慢慢出现了一些差异。通过进一步调整参数,我们会发现,要使用近似公式必须满足 Dd 且 xD,否则就会与真实实验结果存在偏差。因此在本次仿真模拟实验中,我们用式(6)来计算双缝干涉,以保证同真实的实验结论完全一致。3 M a t h
17、e m a t i c a仿真M a t h e m a t i c a是一款科学计算软件,很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统和与其他应用程序的高级连接。在此次模拟仿真中,我们通过M a t h e m a t i c a软件使用M a n i p u l a t e命令,得到的输出是一个交互式对象,其中包含一个或多个控件(滑块等),可用于更改一个或多个参数的值。输出非常像一个小程序或小部件,它不仅仅是一个静态结果,它是一个可以与之交互的运行程序。而使用D e n s i t y P l o t命令可以画出在指定区间上的密度图,即我们模拟出来的杨氏干涉条纹图样,结合C
18、 o l o r F u n c t i o n命令可以决定其作用于某点的函数值上的颜色,于是借助该命令可以将不同波长的入射光与其产生的干涉条纹的颜色对应起来,这样使得我们的模拟结果非常的精确直观和形象,对于初学光的干涉的同学,认知和理解这部分的内容有着非常大的作用。接下来,本文将用M a t h e m a t i c a软件对采用近似公式计算方法的杨氏双缝干涉进行模拟仿真。如图3所示,使用M a t h e m a t i c a建立动态交互式操作界面,将波长,双缝间距,观察屏与双缝间垂直距离作为可调节的参数,动态模拟随可调图3 交互式操作模拟界面参量变化干涉条纹的颜色、间距、宽度等变化过
19、程,分析条纹变化特征,使干涉条纹变化生动形象地展现出来。4 实验仿真中变化4.1 参数变化的影响效果实验中有双缝间距d,缝和接收屏之间的距离D,入射波长是可以改变的参数,在交互式窗口中,通过改变上述参数可以得到对应的干涉条纹图样。首先我们分析双缝间距对干涉条纹的影响,改变仿真实验中的双缝间距d而在缝和接收屏之间的距离D=2 0 mm,入射波长=6 3 2.8 n m的条件下的实验结果。如图4所示,其中双缝间的距离分别为d=0.5 mm,d=1 mm,d=2 mm,可以观察到图样的明暗条纹间距以及位置的变化。图4 双缝间距变化图(a)d=0.5 mm;(b)d=1 mm;(c)d=2 mm从改变
20、后的结果可以观察出随着双缝间距的增加,明暗条纹的间距在逐渐减小,说明在波长和缝和接收屏之间的距离不变的情况下,明(暗)条纹间距x与双缝间距成反比,周期也在减小,从上述式(9)可以看出是由于光程差增加导致的。其次我们分析了缝和接受屏之间的距离对干涉条纹的影响,当入射光波长=6 0 0 n m和双缝间距d=1 mm的条件时,缝和接收屏之间的距离进行改变可以得到不同情况下的效果。如图5所66物理与工程 V o l.3 3 N o.3 2 0 2 3示,其中双缝间的距离分别为d=0.5 mm,d=1 mm,d=2 mm,可以观察到图样的明暗条纹间距以及位置的变化。图5 焦距变化图(a)D=1 0 mm
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