基于EM-GIBBS算法的ARMA(p,q)测量误差模型的参数估计.pdf
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1、本文对基于(狆,狇)的测量误差模型的参数估计提出了 算法由于无法给出模型参数的极大似然估计解析解,本文在算法框架下对参数进行估计在实施算法步骤过程中,为了计算高维正态分布的隐变量一阶、二阶矩,需要求出高阶矩阵的逆矩阵为了避开计算高阶矩阵的逆矩阵,通过 抽样,给出了隐变量的一阶、二阶矩的估计,从而给出了算法步骤中参数最优值的估计最后通过对(,)测量误差模型进行了数值模拟,模拟结果验证了所提 算法的可行性和有效性关键词:算法;(狆,狇)测量误差模型;抽样中图分类号:犕 犛 犆 :;文献标志码:文章编号:()在时间序列分析研究中,自回归移动平均()模型是一类重要的统计模型,关于模型参数估计有矩估计、
2、最小二乘估计、极大似然估计,算法估计以及贝叶斯框架下的算法等近年来关于观测数据具有测量误差的时间序列模型引起了学术界的重视和兴趣,对模型参数进行有效估计具有理论意义和应用价值本文主要研究了基于(狆,狇)的测量误差模型的参数估计,提出了 算法对基于 的测量误差模型参数估计,许淑婷等针对基于 的测量误差模型提出了 回归算法,使用方法对参数后验分布进行抽样,再引入回归模型对抽样进行调整,从而得到精确的近似值;高玺浩将算法引入隐含参数的 模型,拓展了时间序列分析的思路与方法,弥补了极大似然估计对隐变量模型参数难以估计的缺点本文采用和 混合算法给出了基于 的观测误差模型的参数估计由于无法给出模型参数极大
3、似然估计的解析解,本文基于算法对参数进行估计在实施算法步骤过程中,需要计算隐变量的一阶、二阶矩通过计算,得到了服从高维正态分布的隐变量协方差逆矩阵为了求出高维正态分布的隐变量一阶、二阶矩,需要求出高阶矩阵的逆矩阵众所周知,除了比较特殊的高阶矩阵,一般来说,求高阶逆矩阵是难以实施的为了避开计算高阶矩阵的逆矩阵,本文利用 对服从高维正态分布的隐变量进行抽样,对隐变量的一阶、二阶矩进行估计,从而给出了算法中步骤中的参数最优值估计基于(狆,狇)的测量误差模型定义时间序列 犣狋:狋 称为(狆,狇)阶的自回归移动平均过程,或(狆,狇)过程,其中,如果对于狋,有犣狋犣狋 犣狋 狆犣狋狆狋狋 狋 狇狋狇,其中
4、狋:狋犣犣为白噪声命题令犡狋:狋 为(狆)过程,即犡狋犡狋犡狋狆犡狋狆狋,狋,其中狋:狋为白噪声若犣狋:狋 满足犣狋犡狋犡狋犡狋狇犡狋狇,狋,其中狇,则犣狋:狋 为(狆,狇)过程,即对狋,犣狋犣狋 犣狋 狆犣狋狆狋狋 狋 狇狋狇证由已知条件可得犣狋犡狋犡狋 犡狋 狇犡狋狇,犣狋 犡狋 犡狋 狇犡狋狇,犣狋 犡狋 犡狋 狇犡狋狇,狆犣狋狆狆犡狋狆狆犡狋狆 狆狇犡狋狆狇将上述等式相减,则有犣狋犣狋 犣狋 狆犣狋狆狋狋 狋 狇狋狇由定义可知 犣狋:狋 为(狆,狇)过程定义令犣狋:狋 为(狆,狇)过程,即犣狋犣狋犣狋狆犣狋狆狋狋狋狇狋狇,狋,其中狋:狋 为白噪声犢狋:狋 满足犢狋犣狋狏狋,其中狏狋:狋
5、 为白噪声,且犣狋与狏狋 相互独立,则称犢狋:狋 为基于(狆,狇)犣狋:狋 的测量误差模型由命题,我们给出基于(狆,狇)的测量误差模型的另一种表达形式定义令犣狋:狋 为(狆)过程,即犣狋犣狋犣狋狆犣狋狆狋,狋,其中狋:狋 为白噪声,犢狋:狋 满足犢狋犣狋犣狋犣狋狇犣狋狇狋,其中狋:狋 为白噪声,且犣狋 与狋 相互独立,则称犢狋:狋 为基于(狆,狇)的测量误差模型下面介绍基于(狆,狇)的测量误差模型自协方差函数的一些性质命题令犣狋 为(狆,狇)过程,即犣狋犣狋 犣狋 狆犣狋狆狋狋 狋 狇狋狇,其中狋:狋 为方差的白噪声犢狋:狋 为基于犣狋 的测量误差模型,即狋,有犢狋犣狋狋,其中 狋:狋 为方差
6、的白噪声令犣()(犣狋,犣狋)(犣狋),犣(犺)(犣狋,犣狋犺),犺,则犢狋:狋 为宽平稳过程;令犢()(犢狋),犢(犺)(犢狋,犢狋犺),则犢()犣(),犢(犺)犣(犺),犺,证由条件可知,犈(犣狋),则犈(犢狋)犈(犣狋狋)犈(犣狋)犈(狋)()由犣狋 和狋 相互独立,可得犈(犣狋狋)犈(犣狋)犈(狋),且狋 是白噪声,则犈(狋狋犺),犺;,犺因此,(犢狋)犈(犢狋)犈(犣狋犣狋狋狋)(犣狋)犣()()当犺,时,有第期郑斌斌,等:基于 算法的(狆,狇)测量误差模型的参数估计 (犢狋,犢狋犺)犈(犢狋犢狋犺)犈(犢狋)犈(犢狋犺)犈(犣狋狋)(犣狋犺狋犺)犈(犣狋犣狋犺犣狋狋犺狋犣狋犺狋狋犺
7、)犈(犣狋犣狋犺)(犣狋,犣狋犺)犣(犺)()由式()()和()可知,犢狋:狋 为宽平稳过程,结论与成立命题令犣狋 为(狆,狇)过程,即犣狋犣狋 犣狋 狆犣狋狆狋狋 狋 狇狋狇,其中 狋:狋 为方差的白噪声犢狋:狋 为基于犣狋 的测量误差模型,即狋,有犢狋犣狋狋,其中狋:狋 为方差的白噪声,则犢()犢()犢()狆犢(狆)(狇犻犻);犢(犺)犢(犺)犢(犺)狆犢(犺狆)犺(狇犻犺犻),犺 (狆,狇);犢(犺)犢(犺)犢(犺)狆犢(犺狆),犺 (狆,狇)证因为犣犣狋:狋 为(狆,狇)过程,可知犣犣狋:狋 的自协方差函数满足下列关系:犣()犣()犣()狆犣(狆)狇犻()犻;犣(犺)犣(犺)犣(犺)狆
8、犣(犺狆)犺狇犻犺()犻,犺 (狆,狇);犣(犺)犣(犺)犣(犺)狆犣(犺狆),犺 (狆,狇)烅烄烆结合命题的结论可知,犢()狕()犣()犣()狆犣(狆)狇犻()犻犢()犢()狆犢(狆)狇犻()犻当犺 (狆,狇)时,犢(犺)犣(犺)犣(犺)犣(犺)犺犣()狆犣(狆)狇犻犺()犻犢(犺)犢(犺)犺(犢()狆犢(狆)狇犻犺()犻犢(犺)犢(犺)狆犢(犺狆)犺狇犻犺()犻当犺 (狆,狇)时,犢(犺)犣(犺)犣(犺)犣(犺)狆犣(犺狆)犢(犺)犢(犺)狆犢(犺狆)综上,命题得证基于 算法的(狆,狇)测量误差模型的参数估计为了便于表达,对于基于(狆,狇)的测量误差模型我们采用定义形式,即犣狋犣狋 犣狋
9、狆犣狋狆狋,犢狋犣狋犣狋 犣狋 狇犣狋狇狋其中狆,狇,狋:狋,狋:狋 为高斯白噪声,狋犖(,),狋犖(,),且狋:狋 与犣狋:狋 相互独立令狔,狔,狔犖为犢狋:狋犖 的一个样本,我们将利用 算法给出基于(狆,狇)测杭州师范大学学报(自然科学版)年量误差模型的参数估计,即给出参数,狆,狇,的估计为了表达简洁性,令(,狆,狇,),令狕犾,狕,狕,狕犖为犣狋:犾狋犖 的一个样本,其中犾 (狆,狇)为了表达方便,令犢狔,狔,狔犖,犣狕犾,狕,狕,狕犖,那么关于犢,犣的似然函数为狆(犢,犣狘)狆(狕犾,狕)犖犻狆(狕犻狘狕犻,狕犻,狕犻狆)犖犻狆(狔犻狘狕犻,狕犻,狕犻,狕犻狇)狆(狕犾,狕)犖犻犖(狕
10、犻狘狆犼犼狕犻犼,)犖犻犖(狔犻狘狕犻狇犼犼狕犻犼,),其中犖(狓,)槡 (狓),狆(狕犾,狕)为(犣犾,犣犾,犣)的密度函数为了简化计算,本文采用犢,犣的条件似然函数给定初始值狕犾,狕,可得犢,犣的条件似然函数为狆(犢,犣狘)犖犻狆(狕犻狘狕犻,狕犻,狕犻狆)犖犻狆(狔犻狘狕犻,狕犻,狕犻,狕犻狇)犖犻犖 狕犻狘狆犼犼狕犻犼,()犖犻犖 狔犻狘狕犻狇犼犼狕犻犼,()()犖 犖犻狕犻狆犼犼狕犻()犼烅烄烆烍烌烎 犖犻狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼烅烄烆烍烌烎()犖()犖 犖犻狕犻狆犼犼狕犻()犼犖犻狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼烅烄烆烍烌烎由此可得犣关于犢的后验分布密度函数为狆(犣狘犢,)犖犻狕犻狆犼犼狕
11、犻()犼犖犻狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼烅烄烆烍烌烎,其中符号表示成正比例犢,犣的条件对数似然函数为 狆(犢,犣狘)犖犻狆 狕犻狘狕犻,狕犻,狕犻()狆犖犻狆 狔犻狘狕犻,狕犻,狕犻,狕犾()犖()犖()犖犻狕犻狆犼犼狕犻()犼犖犻狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼命题设随机向量犡(犡,犡,犡犖)犖(,)若犡的概率密度函数为狆(狓,狓,狓犖)犖犻犻 犼犪犻 犼狓犻狓犼犖犻犪犻 犻狓犻犖犻犫犻狓犻,那么(犪犻 犼)犖犖,犫,其中犪犻 犼犪犼 犻,犻犼,犫(犫,犫,犫犖)证由犡(犡,犡,犡犖)犖(,)可知,犡的概率密度函数为狆(狓,狓,狓犖)(狓)(狓)狓 狓狓 因此狆(狓,狓,狓犖)狓 狓狓 ()根据题意条件
12、可知狆(狓,狓,狓犖)狓 犃 狓狓 犫()其中狓(狓,狓,狓犖),犃(犪犻 犼)犖犖,犪犻 犼犪犼 犻,犻犼,犫(犫,犫,犫犖)由式()和()比较可得 犃,犫,从而可得(犪犻 犼)犖犖,犫,第期郑斌斌,等:基于 算法的(狆,狇)测量误差模型的参数估计其中犪犻 犼犪犼 犻,犻犼,犫(犫,犫,犫犖)推论设随机变量犡犖(,)若犡的概率密度函数为狆(狓)犪 狓犫 狓,那么犪,犫犪命题犣关于犢的后验分布为犖(,),(犪犻 犼)犖犖,犫,其中犪犻,犼犻犼犾犻犼犿犿犿犻犼犻犼犾犻犼狀狀狀犻犼,犻犖,犼犻;犖犻犿犿犖犻狀狀,犻犼,犻犖烅烄烆犫狔狇犻犻狔 犻,狔狇犻犻狔 犻,狔犖狇 狇犻犻狔犖狇 犻,狔犖狇狇犻
13、犻狔犖狇犻,狔犖 狔犖,狔犖证将狕犻狆犼犼狕犻()犼展开,得到狕犻狆犼犼狕犻()犼狕犻狆犼犼狕犻()犼狕犻狆犼犼狕犻犼狕犻 狆犼犼狕犻犼狕犻 狆犼犼狕犻犼狆 狆狕犻狆 狕犻狆狕犻狕犻 狕犻狕犻 狆狕犻狕犻狆同理,将狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼展开,得到狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼狔犻狕犻狇犼犼狕犻()犼狔犻狕犻狇犼犼狕犻犼狕犻狇犼犼狕犻犼狕犻 狇犼犼狕犻犼狇 狇狕犻狇 狕犻狇狔犻狕犻狔犻狕犻 狇狔犻狕犻狇因此,犣关于犢的后验概率密度为狆(狕,狕,狕犖狘犢,)犖犻犻 犼犻犼犾犻犼犿犿犿犻犼犻犼犾犻犼狀狀狀犻犼烄烆烌烎狕犻狕犼 犖犻犖犻犿犿犖犻狀狀烄烆烌烎狕犻犖犻狔犻犖犻狀狀狔犻狀烄烆烌烎狕犻根据命题可知
14、(犪犻 犼)犖犖,犫,其中犪犻,犼犻犼犾犻犼犿犿犿犻犼犻犼犾犻犼狀狀狀犻犼,犻犖,犼犻;犖犻犿犿犖犻狀狀,犻犼,犻犖烅烄烆犫狔狇犻犻狔 犻,狔狇犻犻狔 犻,狔犖狇 狇犻犻狔犖狇 犻,狔犖狇狇犻犻狔犖狇犻,狔犖 狔犖,狔犖杭州师范大学学报(自然科学版)年算法分两个步骤:步骤和步骤两个步骤反复迭代,直至收敛到一定的标准为止下面根据文献一般算法步骤给出参数(,狆,狇,)的估计算法估计的算法输入:狅 犾 犱为已知的参数,;输出:新参数估计狀 犲 狑算法步骤:);)步骤:计算在已知犢,狅 犾 犱条件下犢,犣对数似然函数关于犣分布的期望犙(,狅 犾 犱)狕(犢,犣)犣 狆(犢,犣狘)狆(犣狘犢,狅 犾 犱
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- 基于 EM GIBBS 算法 ARMA 28 Cq 29 测量误差 模型 参数估计
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