构造法解决“等差数列前n项和”问题.pdf
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1、数学之友2023年第10 期构造法解决“等差数列前n项和”问题解题探索袁琰,苏建伟,乔雅童(1.海南师范大学教师教育学院,海南海口,5 7 115 8 2.海南师范大学数学与统计学院,海南海口,5 7 115 8)摘要:构造法的灵活运用,能激发学生学习数学的兴趣,进而发展学生的创造性思维.本文通过构造的方法把“等差数列求前n项和”的四题转化成求图形面积的问题,并引用特殊的案例整理出一般等差数列的求和的思路与方法,以形助数,培养学生的几何直观能力.关键词:等差数列前n项和;等差数列;构造法;图形面积数列指按照确定的顺序排列的一列数,常以“找规律”的形式出现在小学与初中阶段的数学教学与学习中,更是
2、高中知识体系的重要组成部分.高中阶段主要运用函数的思想方法研究数列,通过把数列看成一类特殊的函数来探索它们的规律.大家对于10岁的高斯巧妙求1+2+3+10 0 的故事耳熟能详,这也引发人们对等差数列求前n项和问题的思考,高斯与现有高中数学教材采用的都是倒序相加法求等差数列前n项和.本文采用“构造法”给出等差数列求和的新思路,即从数形结合的思想出发,以形助数,通过构造图形求面积的方法来解决等差数列求和的问题 ,将等差数列求和的数量关系与几何图形建立联系。构造法的灵活运用,能激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创造性思维,进一步提高学生应用数学方法分析和解决问题的能力.利用构造图形的方法解决等差数
3、列求和问题,化抽象为具体,提高学生在数感和几何直观方面的能力.同时学生通过多种思路去解决实际应用问题,提高学生的抽象思维能力.1等差数列求和的特殊案例本文根据等差数列首项与公差的正负情况将其求和问题用以下6 个案例来进行构造法思想的展示.1.1首项与公差都等于1的情况“1+2+3+4+5”此例的首项与公差都为1.对该例采用构造法:“1”表示一个边长为1的单位正方形的面积、“2”表示两个单位正方形面积、“3”表示三个单位正方形面积以此类推 2 并将所有的单位正方形由首项到末项进行自上而下的摆放:第一层1个、第二层2 个、第三层3 个、第四层4 个、第五层5 个,如图1所示.图1此时等差数列求和的
4、问题化成了求图1图形面积的问题,不妨令首项,=c+d,其中d表示公差,末项为n,正方形排列的总层高为h.将图1中的图形划分为如图2 所示的大三角形与小三角形两个主要部分,其中阴影部分大三角形的面积设为S1,剩余所有的小三角形的总面积设为S2,整个图形的面积设为S.可以看出大三角形的底和高是相等的,正好是正方形构成的图形的层高h,即数列的总项数n,项数几=an-a1+1;小三角形的个数正好也是层高数dh,每个小三角形的面积都为单位正方形的一半,且层高h=5,所以对构造的图形的面积进行如下计算:图2基金项目:海南省自然科学基金面上项目“教育数学实验测评模型建构”(项目编号:7 2 1MS039);
5、深圳市教育科学“十四五”规划2 0 2 2 年度课题“中小学教师五育融合胜任力模型构建研究”(课题编号:ybzz22006).58_数学之友数学之友求得图形的总面积为15,计算“1+2+3+4+5”,得结果也为15.此构造法的本质就是以形助数,即将数换成对应的单位正方形的面积,因此等差数列的前n项和与图形的面积构成一一对应的关系,所求图形面积即为所求等差数列的前n项和.1.2首项与公差都大于0,且首项为1而公差不为1的情况“1+3+5+7+9+11+13”,此例首项为1,公差为2.同样变为小正方形的组合,令第一层放置1个单位正方形,第二层放置3 个单位正方形,第三层放置5个单位正方形以此类推2
6、】,可构造如图3 所示的图形.2023年第10 期252211X52225,5,+S2=15.2*2252图3同理,令首项ai=c+d,其中d表示公差,末项为an,正方形排列的总层高为h,构造图形的层高与底层长度不一致,对图3 中图形进行改造得图4.因为a=1,d=2,所以c=-1,因此对图3 先补上一个宽为lcl,长为h的矩形,使阴影部分的正方形与空白部分的正方形各自构成新的图形,最后阴影部分与空白部分的正方形的总面积再减去这个补上的矩形得到构造图形的面积.图4可以看出矩形的补充在于首项与公差不相等而产生了c,而补这个矩形的意义是为了凑出2(d)个底与高都是7 的大三角形.令矩形的面积为S,
7、两个大三角形的总面积为 Si,剩余所有的小三角形的总面积设为S2,整个图形的面积为S,所以:S。=l c l h=17=7;2=dxS=-S。+S,+S,=-7+7+49=49.得到图形总面积为49,而1+3+5+7+9+11+13”的结果也为49.因为构造的图形的面积与等差数列前n项和形成一一对应,故该构造结果正确.1.3首项和公差都大于0,且首项不为1而公差为1的情况“5+6+7+8+9+10”,此例首项不为1,公差为1.根据上述思想构造图形如图5所示.令首项i=c+d,其中d表示公差,末项为n,正方形排列的总层高为h,矩形的面积为 So,大三角形的面积为 Si,剩余所有的小三角形的总面积
8、为 S2,整个图形的面积为 S.因为j=5,d=1,所以c=4,对图5做规划如图6 所示.2X-77=49;2=27=7;2图52023.10_59数学之友2023年第10 期1.4首项与公差都大于0,且首项与公差都不为1的情况“3+7+11+15+19”,此等差数列的首项为3,公差为4,构造图形如图7 所示.图6面积计算如下:图7 S。=lc lh=4x 6=2 4;S,=d x,=d S=S o+S,+S,=2 4+18+3=45.计算可知图形面积与该等差数列求和的结果一致,都为45.由(1)(2)(3)题可看出,d的大小与凑出的大三角形和小三角形个数相关,而c的正负性决定了矩形的面积S。
9、是应该加上还是减去.=1=6x6=18;21=1=x6=3;2同理,令首项ai=c+d,其中d表示公差,末项为n,正方形排列的总层高为h,矩形的面积为 S。,大三角形的总面积为S1,剩余所有的小三角形的总面积设为S2,整个图形的面积为S.因为i=3,d=4,所以c=-1,所以图7 须先补充一个宽为1、长为5的矩形,才能构成d=4个类似图1的图形.具体如图8,使整个图形拆分成4个由阴影部分构成的新图形X4图8面积计算如下:S o=lc lh=1x 5=5;S 1S,=dx2=d S=-S。+S,+S,=-5+50+10=55.计算可知总面积与等差数列的和相等上述四个案例分别展示了在等差数列的首项
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