对一道联考题的完整解答.pdf
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1、考试指导2022届湖北省二十一所重点中学高三第三次联考数学试题第7题(即下面的题1)是一道极值点偏移问题1-2.题1 若函数f(x)=lnx-ax+1有两个零点x1,x2(x1x2),则下列说法错误的是().A.0a1aC.x2-x11a-1D.x1+x22a解:由题意可得f(x)=0lnx+1x=a,因而题设即曲线y=lnx+1x与直线y=a的两个公共点的横坐标分别是x1,x2(x11e时,g(x)0.所以当a0或a1时,关于x的方程g(x)=a至多有一个根,因而由题设可得0a1,所以选项A的说法正确.用导数可证得不等式lnss-1(当且仅当s=1时取等号),进而可得lnt2 t-2(当且仅
2、当t=1时取等号),由此可证得g(x)=lnx+1x2 x-1x2x,所以g4a2a,进而可得当0a1时,关于x的方程g(x)=a有且仅有两个根x1,x2且1ex11x2(如图 1 所示).还可得lnx1+1=ax1,lnx2+1=ax2,所以a=lnx1-lnx2x1-x2,由对数平均不等式”-ln-ln2x1+x2,即x1+x22a,所以选项D的说法错误,因而这道单选题的答案就是D.由x2=lnx2+1a1a,-x1-1,可得x2-x11a-1,所以选项 C 说法正确.下面证明选项B说法正确.对一道联考题的完整解答北京市丰台二中 甘志国 100071摘要:2022届湖北省二十一所重点中学高
3、三第三次联考数学试题第7题是一道极值点偏移问题,网络上给出的答案不完整,文章给出其六种解答,从而可使读者掌握解答极值点偏移问题的一般方法.关键词:联考试题;商榷;极值点偏移问题Oy1ex1(1,1)g(x)=lnx+1xx2y=ax图12023年第2期河北理科教学研究 62考试指导证法1:(北京宏志中学 王芝平)函数f(x)的定义域为(0,+)当a0时,f(x)是增函数,不可能有两个零点,不合题意.当a0时,可得f(x)=1x-a(x0),令f(x)=0,解得x=1a.易知f(x)是减函数,所以f(x)00 x1a;f(x)1a.得函数f(x)的增区 间 是(0,1a),减 区 间 是1a,+
4、,所 以f(x)max=f1a=-lna(如图2所示).因为函数f(x)有两个零点,所以f1a=-lna0,解得0a1.当0a1时,因为f1e=-ae0,所以f(x)在区间1e,1a,上有且仅有一个零点x1(1ex11)1a.由结论,可得f(x)=lnx-ax+12x-ax-1,进而可得f4a222a-a4a2-1=-10,所以f(x)在区间1a,+上有且仅有一个零点x2(1ax21ax21ax11af(x2)0-ln(ax1)-1x1+10ln(lnx1+1)+1x1-101ex11.设函数g(x)=ln(lnx+1)+1x-1(0 x1),可得g(x)=1xlnx+1-1x2=x-1-ln
5、x(lnx+1)x2 0(当且仅当x=1 时取等号),所以g(x)是增函数.因而g(x1)0),可得即证若函数g(t)=lnt-t+1-lna有两个零点t1,t2(0t1a.可得g(t)=1-tt(t0),进而可得g(t)在(0,1),(1,+)上分别是增函数、减函数,且g(t)max=g(1)=-lna.当g(t)max0即a1时,函数g(t)至多有一个零点,不满足题设,所以0a1.由不等式可得g(t)2 t-1-t-lna,进而可得g(1+-lna)20;还可得gae=-ae0.所以当0a1时,函数g(t)有且仅有两个零点t1,t2(0t11a,即 证lnt1+lnt2lna,lnt1+l
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