多思维展开,妙探究拓展——以一道抛物线题的破解为例.pdf
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1、讨论几何结构蕴含着几何中的位置关系和相应的数量关系,不同的几何结构有相应的处理方式.在问题解决中,一旦辨识出几何模型,就发现了相应的关系进而找到处理问题的方法,使得问题得到高效地解决.本文以抛物线对称轴为角平分线为坐标轴,则两边的斜率互为相反数为切入点,进行系统地变题,探究了圆锥曲线对称轴为角平分线的四个性质,即焦点之弦,张角相等;定点之弦,张角仍等;对称之点,三点共线;倾角互补,斜率为定.对经典问题总结可以实现从“一个题”到“一类题”质的飞跃,熟练掌握以上性质,借助几何分析,优化解题策略,把思维迅速推向深处,促进对思维方式的优化以及对规律的把握,解题时就能够达到“会当临绝顶,一览众山小”的境
2、界!1问题呈现例1(2015 新课标卷I理 20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线y=kx+a(a0)交于M、N两点()当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由本题是一道以抛物线为背景探究存在性的问题,涉及抛物线、直线的方程及其位置关系,两个递进的小问构建了动态直线与静态抛物线的问题,其中蕴含着“定性”结论的成立.该题的本质为“角平分线为y轴,则两边的斜率互为相反数”,考查了圆锥曲线对称轴为角平分线性质,体现了设而不求、化归与转化的解题策略.2问题破解解析:()当k=0时,不妨设M(2 a,a),N(-2 a
3、,a).因为y=12x,所以y=x24在x=2 a处的导数值为a,所以C在M(2 a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2 a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2 a处的导数值为-a,所以C在N(-2 2,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2 a),即ax+y+a=0.多思维展开,妙探究拓展以一道抛物线题的破解为例宁夏六盘山高级中学 陈熙春 李小刚 750002摘 要:在解决一些与角度、长度、对称等有关的圆锥曲线问题时,借助几何性质数形转换,实现解析几何问题的直观化,可以迅速获得解题途径.本文对圆锥曲线中的经典题目进行推广,探究了圆锥曲线对称轴为角平分线的四个性质,提供了“几何问题”
4、与“代数问题”相互转化的策略.关键词:圆锥曲线;对称;性质;探究 12023年第2期河北理科教学研究问题讨论所以C在点M和N处的切线方程分别为ax-y-a=0和ax+y+a=0()解法1:从数的角度,利用斜率关系.存在符合题意的点P,设P(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2)直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入抛物线C的方程,整理得x2-4kx-4a=0.由根与系数关系可得x1+x2=4k,x1x2=-4a.又k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2-(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直
5、线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以P(0,-a)符合题意.评析:该题的本质为“角平分线为坐标轴,则两边的斜率互为相反数”.把几何特征转化为代数关系,利用kPM+kPN=0来说明“当k变动时,总有OPM=OPN”成立,即可求出a,b的关系,从而找出适合条件的P点坐标.解法2:从特殊到一般的“先猜后证”.由(1)中曲线C在点M和点N处的切线方程分别为ax-y-a=0和ax+y+a=0,可得两条切线斜率互为相反数,则两条切线的交点为(0,-a),故猜想满足题设条件的点P存在,就是P(0,-a),即当k变动时,总有OPM=OPN成立,等价于kPM+kPN=0.证明如下,将y=kx+a代入抛物线
6、C的方程y=x24,整理得x2-4kx-4a=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数关系可得x1+x2=4k,x1x2=-4a,则kPM+kPN=y1+ax1+y2+ax2=2kx1x2+2a(x1+x2)x1x2=2k(-4a)+2a4ka=0.故存在点P(0,-a),使得当k变动时,总有OPM=OPN.评析:由特殊到一般的“先猜后证”方式,即利用kPM+kPN=0来说明“当k变动时,总有OPM=OPN”成立,即可求出P点坐标.解法3:从形的角度,利用角平分线定理.设直线MN与y轴的交点为H(0,a),Mx1,x214,Nx2,x224,将y=kx+a代入抛物线C的方程y=x2
7、4,整理得x2-4kx-4a=0.由根与系数关系可得x1+x2=4k,x1x2=-4a.假设存在点P(0,b),由OPM=OPN知,PO是MPN的角平分线,由三角形的内角平分线定理得|PM|PN|=|HM|HN|=|x1|x2,即x21+x214-b2x22+x224-b2=|x1|x2,化简得(x21-x22)x1x216-b2=0.因为当k变动时,x1与x2不会恒相等,即x21-x22不会恒为 0,故x21x22=16b2,从而有b2=x21x2216=a2,即a=b或a=-b.当a=b时,只有斜率k=0时成立,不符合题意,故a=-b.也就是当a+b=0,即b=-a时,y轴上存在一点P(0
8、,-a),使得当k变动时,总有OPM=OPN成立.综上所述,y轴上存在一点P(0,-a),使得当k变动时,总有OPM=OPN.评析:PO是MPN的角平分线,利用三角形的内角平分线定理来说明“当k变动时,总有OPM=OPN”成立,即对M,N两点横坐标之积“算两次”确定适合条件的P点坐标.1解法4:从向量的角度,利用向量的数量积.假设y轴上存在点P(0,b),使得当k变动 22023年第2期河北理科教学研究问题讨论时,总有OPM=OPN.设M(x1,y1),N(x2,y2),对直线方程y=kx+a(a0)中的斜率k进行分类讨论.当k=0时,恰好就是第(1)问的情况,这时曲线C在点M和点N处的切线方
9、程为ax-y-a=0或ax+y+a=0,两条切线的交点恰好为(0,-a),此时有b=-a,又因为点(0,-a)在y轴上,则存在一点P(0,-a).当k0时,将y=kx+a代入抛物线C的方程y=x24,整理得x2-4kx-4a=0.由于x1+x20,所以x1+x2=4k,x1x2=-4a.OP=(0,b),MP=(x1,b-y1),NP=(x2,b-y2).根据向量的数量积公式可得cosOPM=OP MP|OP|MP|=b(b-y1)|b|x21+(b-y1)2;同 理 可 得cosOPN=OP NP|OP|NP|=b(b-y2)|b|x22+(b-y2)2.若OPM=OPN,有cosOPM=c
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