分数次热方程侧边值问题的迭代分数次Tikhonov方法.pdf
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1、第4 8卷 第8期西 南 师 范 大 学 学 报(自然科学版)2 0 2 3年8月V o l.4 8 N o.8 J o u r n a l o f S o u t h w e s tC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2 0 2 3D O I:1 0.1 3 7 1 8/j.c n k i.x s x b.2 0 2 3.0 8.0 0 3分数次热方程侧边值问题的迭代分数次T i k h o n o v方法多杰吉,熊向团西北师范大学 数学与统计学院,兰州7
2、 3 0 0 7 0摘要:考虑四分之一平面内的分数次热方程的侧边值问题,这是一类严重不适定问题.首先给出了该问题的解,然后采用迭代的分数次T i k h o n o v正则化方法给出了其迭代正则解,最后在先验和后验的正则化参数选取规则下,给出了精确解和正则解之间的误差估计.关 键 词:分数次热方程侧边值问题;不适定问题;迭代分数次T i k h o n o v方法;正则化参数;误差估计中图分类号:O 2 4 1.1 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0 5 4 7 1(2 0 2 3)0 8 0 0 1 9 0 7I t e r a t e dF r a c t i o n a lT i
3、k h o n o vM e t h o df o rS i d e w a y sF r a c t i o n a lH e a tE q u a t i o nP r o b l e mDUOJ i e j i,X I ONGX i a n g t u a nC o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u7 3 0 0 7 0,C h i n aA b s t r a c t:C o n s
4、 i d e r i n gt h e s i d e w a y s f r a c t i o n a l h e a t e q u a t i o n i n t h eq u a r t e r p l a n e,i t i s ak i n do f s e r i o u s l y i l l-p o s e dp r o b l e m.T ob e g i nw i t h,t h es o l u t i o no f t h ep r o b l e mi sg i v e n,a n dt h e nt h e i t e r a t e df r a c t i
5、o n a lT i k-h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d i su s e dt og i v et h e i t e r a t e dr e g u l a rs o l u t i o n.i nt h ee n d,t h ee r r o re s t i m a t i o nb e t w e e nt h e e x a c t s o l u t i o na n d t h e r e g u l a r s o l u t i o n i sg i v e nu n d e r t h ep r i o r
6、 a n dp o s t e r i o r r e g u l a r i z a t i o np a-r a m e t e rs e l e c t i o nr u l e s.K e yw o r d s:s i d e w a y sf r a c t i o n a lh e a te q u a t i o np r o b l e m;i l l-p o s e dp r o b l e m;i t e r a t e df r a c t i o n a lT i k h o n o vm e t h o d;r e g u l a r i z a t i o np a
7、 r a m e t e r;e r r o re s t i m a t e所谓热传导侧边值问题,也称逆热传导问题,在一些实际问题中,当人们需要确定一个物体的表面温度,但又无法直接测量的时候,就必须由物体内部某固定位置的温度来反演表面温度.该类问题是严重不适定的,对此,许多学者提出了不同的方法来解决这一问题,如新型网格方法1、傅里叶正则化方法2、一种新的正则化方法3、小波正则化方法4、分数次T i k h o n o v方法5等.近几年来,微分问题广泛应用于数学和工程方面6-1 1,而针对分数次热方程侧边值问题,也有作者提出了相应的方法对其进行讨论,如分数次T i k h o n o v方法
8、1 2、最优滤波方法1 3等.由于经典的T i k h o n o v方法的近似解过于光滑,例如,对于具有收稿日期:2 0 2 2 1 2 1 4基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 6 6 1 0 7 2);西北师范大学科学计算创新团队项目(NWNU-L KQN-1 7-5).作者简介:多杰吉,硕士研究生,主要从事微分方程数值解的研究.跳跃的精确解,经典的T i k h o n o v方法没法很好地重构精确解的特征.因此,为了更好地解决这一问题,本文给出迭代的分数次T i k h o n o v方法.该方法是文献1 4 提出的一种正则化方法,文献1 5 应用这种方法讨论了球对称反向时间分数
9、阶扩散方程.1 问题的解和不适定性分析我们考虑如下的问题:ut-ux x=0 x0,t0,01u(x,0)=0 x0u(1,t)=g(t)t0u(x,t)|x有界(1)其中,时间分数阶导数ut由文献1 2中(01)阶C a p u t o导数定义.ut=1(1-)t0u(x,s)sds(t-s)00是噪音水平,表示L2范数.进一步,我们给出如下的先验界:u(0,t)E(3)其中E是大于0的有界常数.为了在频域中考虑问题(1),我们将关于t的函数延拓到整个实轴,令t0,R,01u(x,0)=0 x0u(1,)=g()Ru(x,)|x有界(5)通过计算,得到问题(5)的精确解为u(x,)=e(1-
10、x)(i)g()(6)等价于u(x,t)=12-eite(1-x)(i)g()d其中02西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷(i)2=|2c o s4+i s i g n()s i n4 0|2c o s4-i s i g n()s i n4 0令=(i)则的实部和虚部分别表示为a=R e()b=I m()因此=a+bi(7)注意到,当0 x0是正则化参数,迭代步数m0是固定的.令um,表示固定迭代的分数次T i k h o n o v正则化方法关于扰动数据g=g的第m次迭代解.注2 如果=1,我们会得到标准的T i k
11、 h o n o v方法.选择121,可以防止平滑效应并获得更精确的不连续解的数值结果1 6.对于任意给定的mN和120,a0es a1+es b-ab 引理2 对常数0,0,m0,012,函数A(s)是连续的.由于A(s)0,l i ms0A(s)=0,l i msA(s)=0,最大点满足A(s*)=0.由(1 4)式,我们得到s*=2-c1将s*代入A(s)中得最大值A(s)A(s*)=m2-(2-1)-12c-2+11(1 5)记m2-(2-1)-12c-2+11=c2.将(1 5)式代入(1 3)式,可得s u pF(m),()e(1-x)ac2 引理3 对常数0,0,m0,00(1
12、7)其中F,1()是经典的T i k h o n o v方法滤子函数F,1()=22+(1 8)结合(1 6)-(1 8)式,我们有s u p(1-F(m),()e-a xs u p(1-F,()me-a xs u p(1-F,1()me-a x=s u p2+me-a x=s u pe-a xme2(x-1)a+m=s u pe2a-2a x-a xm1+e2a-2a xm由引理1,可得s u p(1-F(m),()e-a xx2(1-x)定理1 假定噪音假设(4)式和先验界(5)式成立,如果选择=E2(1-x)22西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w
13、u.e d u.c n 第4 8卷就有误差估计um,(x,)-u(x,)(c2+1)E1-xx 证 由三角不等式和P a r s e v a l公式可得um,(x,)-u(x,)=um,(x,)-u(x,)um,(x,)-um,(x,)+u(x,)-um,(x,)(1 9)记I1=um,(x,)-um,(x,),I2=u(x,)-um,(x,).首先估计I1,I1=F(m),()e(1-x)(i)g()-F(m),()e(1-x)(i)g()=F(m),()e(1-x)(i)(g()-g()s u pF(m),()e(1-x)(i)由(6)式可得e(1-x)(i)=e(1-x)a(2 0)e-
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- 分数 方程 侧边 问题 Tikhonov 方法
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