二阶非完整Vacco动力学及其Noether定理.pdf
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1、第40 卷第3 期2023年9 月doi:10.12084/j.issn.2096-3289.2023.03.004二阶非完整Vacco动力学及其 Noether定理苏州科技大学学报(自然科学版)Journal of Suzhou University of Science and Technology(Natural Science Edition)Vol.40 No.3Sep.2023张毅(苏州科技大学土木工程学院,江苏苏州2 150 11)摘要:研究非完整约束Vacco动力学及其Noether对称性。建立二阶非完整系统的Vacco型变分原理,导出Vacco动力学方程。利用全变分与等时变分
2、之间的关系,导出复合作用量的全变分公式。通过复合作用量在无限小变换下的不变性,定义Noether对称与准对称变换,给出对称性判据的Noether等式。建立二阶非完整约束Vacco动力学系统的Noether定理。如果约束是一阶非完整的,则定理退化为一阶非完整Vacco动力学的Noether定理。文末给出一个算例以演示定理之应用。关键词:Vacco动力学;二阶非完整约束;Noether定理;守恒量中图分类号:0 316文献标志码:A非完整系统动力学研究具有重要意义,其原因在于非完整约束的普遍存在性。例如,凡是带有滚动轮子的系统几乎都存在非完整约束。经典非完整力学是以dAlembert-Lagran
3、ge 原理作为基础,其非完整约束对虚位移的限制采用Appell-Cheteav条件 2 。19 8 2 年,Kozlov以嵌人约束的Hamilton原理为基础导出受有不可积分的微分约束系统的动力学方程,称之为Vacco动力学 3。学术界对非完整力学的理论曾有过争论 4-。实际上,前者是力学的,后者则是数学的。梅风翔先生指出“现在看来,Vacco模型是允许的,可用来研究控制问题 2。守恒律与对称性研究是分析力学的一个重要课题 2.8-2 0 。19 9 3年,张解放给出了Vacco 动力学的Noether定理 2 。此后,Vacco 动力学及其对称性成为一个研究热点并产生了一批成果,如:单面约束
4、Vacco动力学 2-2 3 、Hojman守恒量 2 4-2 5 和Lutzky守恒量 2 5 Mei 对称性 2 6 、联合对称性与守恒量 2 7 、高阶Vacco 动力学 2 8-2 等。这里笔者进一步研究二阶非完整Vacco 动力学,通过嵌人约束建立Vacco 型变分原理并导出Vacco方程,建立复合作用量的全变分公式,定义Noether对称和准对称变换并给出Noether等式,建立二阶非完整约束Vacco动力学的Noether定理,并以算例说明结果的应用。1二阶非完整Vacco动力学MR(2010)Subject Classification:70H30文章编号:2 0 9 6-32
5、 8 9(2 0 2 3)0 3-0 0 2 9-0 7研究由n个广义坐标q(s=1,2,,n)描述的力学系统,其Lagrange函数为L(t,qs,q,),H a mi l t o n 作用量为A=L(t,qs,q.)dt2设系统的运动受二阶非完整约束中p(t,qs,9s,9.)=0(=1,2,g)构造复合作用量(1)(2)收稿日期 2 0 2 3-0 5-2 1基金项目】国家自然科学基金资助项目(12 2 7 2 2 48;119 7 2 2 41)作者简介】张毅(19 6 4一),男,江苏苏州人,博士,教授,博士生导师,研究方向:分析力学,E-mail:。30苏州科技大学学报(自然科学版
6、)2023年A=L(t,qs,g.)+Ap(t)pe(t,qs,qs,j.)dt其中入(t)是待定函数,或称 Lagrange 乘子。则二阶非完整Vacco 动力学的变分原理为且满足边界条件以及互易关系将式(3)代入原理(4),得28A=LL+入(3)8A*=0(4)(5)dd(8q.)dtdtad(t)(adSis2de-Sq.)dt=0(6)(7)利用分部积分,可得d2LdttdtadSg,dt=(8)add(入ade)dtdt1t(9)Bdeq.)6sdt将式(8)-(10)代入式(7),并利用条件(5),得L12dL十入dt根据 Lagrange乘子法,可得dLdt或写成dLL=入(t
7、)(dt方程(12)或(13)称为二阶非完整约束系统的Vacco动力学方程。以原理(4)和方程(13)为基础建立的动力学称为二阶非完整Vacco动力学。如果约束是一阶非完整的,即则方程(13)退化为dLaL入(t)fed2f-)-Xa(t)9fedtq这是一阶非完整约束系统的Vacco 动力学方程 2-3。2复合作用量的全变分公式d入d(入(tqdtd入:(t)入(tdtddtaqdt?fe(t,q.,q.)=0dtd2dd(Ae(t)2de)ag.d=0dt2d(s=1,2,n)dt2d2_de)-g(t)(ade)dtd-2ddt(s=1,2,.,n)(10)(11)(12)(13)(14
8、)(15)取无限小变换t=t+t,q.(t)=q.(t)+q s(s=1,2,.,n)及其展开式(16)第3期其中是无限小参数,T和、是生成元。在变换(17)下,曲线变换为邻近曲线,全变分A*定义为变换前后作用量之差A*()-A*()相对8的主线性部分。注意到,尽管微分运算与变分运算之间存在互易关系(6),但是全变分与微分运算并不可交换。此外,全变分与等时变分之间成立关系(18)其中F是任意函数,于是有t2Fdt=AF+-d(t)Jd ttidt因此,得到2AA*=/.(L+A p)+(L+gpp)利用公式(18),易得d2dt2将式(2 1),(2 2)代入式(2 0),得12AA*=8at
9、ti:+at此外,式(2 0)也可写成t2AA*=dtti张毅:二阶非完整Vacco动力学及其Noether定理t=+8T(t,qk,qt),q.(t)=q,(t)+8.(t,qk,qh)AF=OF+FAtd(t)Jd t=dtt+tdAgdt24d(t)-d2(At)=8(s,-29,i-q,)dtdt2LaLT+$.+dq.daL十Bd)t+31(17)(19)t+Lat2de-Aj.)dtd(t)=8($.-j,t)dtd2de)(Aq.-i,t)+入(入q.dt(t)+dt(20)(21)(22)(23)BdLaL+入+dtqqdt将 t=8T,Aq=8&、代人式(2 4),得t2AA
10、=8dtdLL+入dt公式(2 3)和(2 5)是复合作用量(3)的两个全变分公式。3二阶非完整Vacco动力学的Noether对称性对于二阶非完整Vacco动力学系统(12),如果成立AA=0则变换(16)称为Noether对称变换。由式(2 0),可得daLddd2dtdt2d?dt?ddt(24)ad)(5q,T)+(25)(26)32或表示为或表示为其中式(2 7)-(2 9)称为 Noether等式。如果成立则变换(16)称为Noether准对称变换。由式(2 0),可得其中这里Gn=Gn(t,qh,i)称为规范函数。4二阶非完整Vacco动力学的Noether守恒量在对称变换下,由
11、式(2 5)得到d(L+入p)dt苏州科技大学学报(自然科学版)aLaLt+t入atLLL(s-j,)+AgpT+(L+Agbp)T+otdd$.+atX()(L)+AspgT+(L+Appp)+ApX(2)(p)=0XatX(2)=X(1)+(3,-2j,i-q,F)AA(G)d tdtX()(L)+AgpT+(L+App)+ApX(2)(p)+GN=0AG=8GNaLddBdt入2023年Aq,+gppAt+(L+App)dtt+2de-Aj.)=0Ssd(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)dLLdt将Vacco动力学方程(12)代人式(35),得到d(L+入a
12、pe)+(aL+入dt积分可得Noether守恒量IN=(L+入pbp)T+(同理,在准对称变换下,有Noether守恒量ddt+入d2dt2d(入dtd(入)(,-q,T)=const dt(35)(36)(37)第3期于是有定理1对于二阶非完整约束Vacco动力学系统(12),如果无限小变换(16)满足Noether等式(2 9),则该系统有 Noether守恒量(37)。定理2 对于二阶非完整约束Vacco动力学系统(12),如果无限小变换(16)满足Noether等式(33),则该系统有Noether守恒量(38)。定理1建立了二阶非完整Vacco动力学的Noether对称性与守恒量的
13、关系,而定理2 建立了Noether准对称性与守恒量的关系。定理1和定理2 统称为二阶非完整约束Vacco动力学的Noether定理。5应用举例例已知 Lagrange 函数为约束方程为Vacco动力学方程(12)给出dmqi=(入q3cosq3)dtmj2=d(入qsing3)dtmk:2g3=9icosq3+92sinq3-93(qisinq3-92cosq3)-dt-八(qicosq3+92sinq:)方程(41)可化为dmqi=(sinq3),mji2=-dtNoether等式(33)给出mg1($1-q1t)+mq2(2-q2)+mk23(3-q:)+A+(L+)+Asing3(1-
14、2i-iF)-Acosq3(52-29i2-q2)+93cosq3($1-qit)+q3sing3(2-q2)+入(qicosq3+92sinq3)($3-q:+)+入:jicosq3+9j2sinq3-q:(qisinq3-92cosq3)+G=0方程(43)有解式(44)和(45)确定的变换是所论Vacco动力学系统的Noether对称变换。由定理1,可得守恒量(46)和(47)分别由Noether对称性(44)和(45)导致。6结语文章研究了受二阶非完整约束的Vacco动力学系统的对称性与守恒量。主要贡献在于:一是通过嵌人约束建立二阶非完整Vacco动力学的积分变分原理,导出Vacco动
15、力学方程;二是导出了Vacco动力学的复合张毅:二阶非完整Vacco动力学及其Noether定理IN=(L+入ppp)T+(-(LL=(1/2)m(q2+q2+kg3)=jisinq3-q2cosq3+q3(qicosq3+q2sinq3)=0d%(入sinq3)(cosq3)dt2d(Acosq3),mk2j3=-A(qicosq3+92sin:)dtT=0,Si=1,52=0,53=0,Gn=0T=0,Si=0,2=1,$3=0,Gn=0In=mqi-sinq3=constIn=mq2+cosq3=const33d)(s,-j,T)+Gn=constdt(38)(39)(40)(41)(4
16、2)(43)(44)(45)(46)(47)34作用量的全变分公式,基于此建立二阶Vacco动力学的Noether等式;三是建立了二阶非完整约束的Vacco动力学的Noether定理。当约束是一阶非完整时,定理退化为一阶非完整约束系统的Vacco动力学的Noether定理。参考文献:1梅凤翔.非完整系统力学基础 M.北京:北京工业学院出版社,19 8 5.2梅凤翔,吴惠彬,李彦敏.分析力学史略 M.北京:科学出版社,2 0 19.3 KO3JIOB B B.IuHaMIKa CHCTeM C HeHHTerpApyeMbIMIM CB3IMJ.BecTH MocK yH-Ta MaTeM,Me
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