“数学与思维”(续6).pdf
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1、概率论初步前面所讲的逻辑推理适用在确定性的环境中,如果怎样就必然怎样.而我们所处的世界中充满着不确定性,而且在许多情况下这种不确定性变得不能够被忽视.研究这种不确定性环境下的认知就变得越来越重要.就我们现在的观点看,概率论在许多情况之下比确定性的因果论更加重要.中学数学中我们应该已经接触了概率的基本概念,这里我们要更进一步.我们还是从中学里讲过的古典概型开始.古典概型指的是这样一种随机试验,它一共会有n个不同的结果出现,而且每一种结果的出现是等可能的,也就是说每种结果出现的概率是一.例如掷殷n子,它的六个面上分别有1到6 个点,殷子掷出落到桌面上停下来之后,向上一面的点数就是掷殷子的结果.如果
2、殷子做得很标准的话,每1一面向上的机会是相等的,概率都等于图1般子的六个面为了简单起见,我们研究的问题只有有限多种可能的结果,我们用Q表示由所有可能的结果组成的有限集合,它被称为问题的基本事件空间,其中的每一个元素E代表的是可能出现的结果,它们也叫作基本事件.所关心的事件E是的一个子集,而事件E发生指的是结果落在这个子集中.我们将事件E发生的概率定义为#EP(E)#2这个定义保证了每一个基本事件发生的机会相等,因为结果发生的概率是P(()=#01这样的概率空间就是中学数学讲#Q的古典概型。有时候概率不是那么好理解的,这很可能是我们固有的一个认知困难.我们来看一个叫作蒙题霍尔问题的例子.这个问题
3、是塞尔文在写给美国统计学家的编辑的一封信中提出来的.霍尔是美国著名电视主持人,问题取这个名字是因为塞尔文将霍尔编进了他的故事.霍尔当时主持一个很火的娱乐节目,节目最后有一个节目参与者的抽奖环节.塞尔文说霍尔将一件奖品放入三个空盒子中的一个,让抽奖人选一个盒子.抽奖人选中一个盒子之后,霍尔打开他手中的一个空盒,并问抽奖人是否确定奖品在自己手中的盒子里,是否要改变选择将手中的盒子与留下来的那个依旧关闭着的盒子互换.问题是抽奖人应该如何选择?最初的感觉可能认为抽奖人是否换盒子都无所谓.实则不然,因为霍尔并不是随意打开一个盒子,他清楚地知道打开的那个盒子是空的.如果抽奖人聪明的话,可以利用这点信息来获
4、得更好的结果.简单的看法是:如果坚持自己的选择,那么只有礼物在自己选中的盒子里才能中奖,所以中奖的概率是亏;而如果3换的话,只有礼物在自己最初选中的盒子里时2才不中奖,所以中奖的概率变成了3这个问题在美国非常著名.原因是一个名叫玛丽莲沃斯莎凡特的专栏作家,据说她很长时间保持着智商最高女性的世界记录(1I Q=2 2 8),而这个测试结果是她在10 岁时得282023年第8 期数学教学到的.在大观(Parade)杂志上,她有一个专栏问问玛丽莲.19 9 0 年她在这个专栏中讲到了这个蒙题霍尔问题,并给出了正确的答案.谁知道这次让玛丽莲火了一把,她的读者们反映激烈.她说大概收到了1万封读者来信,而
5、且其中9 2%的人认为玛丽莲错了,而且错的离谱.这些人中还包括了不少愤怒的数学家.据说厄多斯知道这件事也不相信这个结果,直到他的同事给他看了计算机模拟的结果之后,他才勉强承认.大众对这个问题的反应或许能够说明“我们大脑的构造天生就不能很好地处理概率问题”。据说,下面的问题是经济学家冯米塞斯向数学家提出的.如果房间里有n(36 5)个人,他们的生日两两不同的的概率有多大?这n个人每人独立选择生日的做法有36 5 种,这是所有可能结果的总数.我们关心的事件E是每人选择的生日不同:第一个人可以在36 5天中任选一天作为他的生日,这天选走之后,第二个人就只能在剩下的36 4中选一天作为自已的生日了;依
6、此类推,所以n个人选择不同生日的结果总共有36 5(36 51)(36 5n+1)种.所以几个人生日两两不同的概率是365364365-n+1P(E)3653653651n365365准确计算上面式子的值并不那么容易,但我们可以做如下的估计.根据AMG M 不等式,a+bab所以上面的概率应该不超过365-n/2)n-1P(E)365当n=23时,生日两两不同的概率不超过49.5%,或者说,至少有两人有相同生日的概率大于50.5%;如果n=50,那么生日两两不同的概率不超过3.1%,反过来看的话,在一个50个人的班级里,至少有两位同学生日相同的概率大约是9 7%.看上去这是一个游戏,但它的确真
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